等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和全面總結(jié)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 =44.(3)設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為 ad,a,a+d,依題意有 (ad)+a+(a+d)=12 (ad) （ 2）求公差 d的值和數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 . （ 1） 證明 因?yàn)?a1,a2,a4成等比數(shù)列，故 =a1a4. 而 {an}是等差數(shù)列，有 a2=a1+d,a4=a1+3d. 于是 (a1+d)2=a1(a1+3d), 即 +2a1d+d2= + a1=d. （ 2） 解 因?yàn)?S10=110， S10=10a1+ d， 所以 10a1+45d=110. 由（ 1） a1=d,代入上式得 55d=110, 故 d=2,an=a1+(n1)d=2n. 因此，數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 an=2n,n=1,2,3,….題型三 等差數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用【 例 3】 （ 12分）在等差數(shù)列 {an}中，已知 a1=20,前n項(xiàng)和為 Sn，且 S10=S15，求當(dāng) n取何值時(shí)， Sn取得最大值，并求出它的最大值 . （ 1）由 a1=20及 S10=S15可求得 d,進(jìn) 而求得通 項(xiàng) ，由通 項(xiàng) 得到此數(shù)列前多少 項(xiàng)為 正，或利用 Sn是關(guān)于 n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最 值的方法求解 .（ 2）利用等差數(shù)列的性 質(zhì) ，判斷出數(shù)列從第幾 項(xiàng) 開始 變 號(hào) .思維啟迪解 方法一 ∵ a1=20， S10=S15，∴ 1020+ d=1520+ d，∴ d= 4分∴ an=20+（ n1） 8 分∴ a13=0.即當(dāng) n≤12 時(shí)， an＞ 0,n≥14 時(shí)， an＜ 0. 10分∴ 當(dāng) n=12或 13時(shí)， Sn取得最大值，且最大值為S12=S13=1220+ =130. 12 分方法二 同方法一求得 d= 4分∴ Sn=20n+== 8分∵ n∈ N+,∴ 當(dāng) n=12或 13時(shí)， Sn有最大值，且最大值為 S12=S13=130. 12分方法三 同方法一得 d= 4分又由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0. 8分∴ 5a13=0,即 a13=0. 10分∴ 當(dāng) n=12或 13時(shí)， Sn有最大值，且最大值為 S12=S13=130. 12分探究提高 求等差數(shù)列前 n項(xiàng) 和的最 值 ，常用的方法：（ 1）利用等差數(shù)列的 單調(diào) 性，求出其正 負(fù)轉(zhuǎn) 折 項(xiàng) ；（ 2）利用性 質(zhì) 求出其正 負(fù)轉(zhuǎn) 折 項(xiàng) ，便可求得和的最 值 ；（ 3）利用等差數(shù)列的前 n項(xiàng) 和 Sn=An2+Bn（ A、 B為 常數(shù)）為 二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性 質(zhì) 求最 值 .知能遷移 3 在等差數(shù)列 {an}中， a16+a17+a18=a9=36,其前 n項(xiàng)和為 Sn. （ 1）求 Sn的最小值，并求出 Sn取最小值時(shí) n的值； （ 2）求 Tn=|a1|+|a2|+…+| an|. 解 （ 1）設(shè)等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng)為 a1,公差為 d, ∵ a16+a17+a18=3a17=36,∴ a17=12, ∴ d= =3, ∴ an=a9+(n9) 湖南） 設(shè) Sn是等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和， 已知 a2=3,a6=11,則 S7等于 （ ） 解析 ∵ a1+a7=a2+a6=3+11=14. ∴ S7=C4.（ 2022
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