【正文】 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 1 ． 函數(shù)的極值 (1) 設(shè)函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn) x 0 附近有定義，如果對 x 0 附近的所有的點(diǎn)，都有 f ( x ) f ( x 0 ) ，那么 f ( x 0 ) 是函數(shù) f ( x ) 的一個(gè)極大值，記作 y 極大值＝ f ( x 0 ) ；如果對 x 0 附近的所有的點(diǎn)，都有 f ( x ) f ( x 0 ) ，那么 f ( x 0 )是函數(shù) f ( x ) 的一個(gè)極小值，記作 y 極小值 ＝ f ( x 0 ) ．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 1 ． (2022 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 3 ． (2022 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 5 ． (2022 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 (2) 由 (1) 知， f ( x ) ＝12( x － 5)2＋ 6ln x ( x 0) ， f ′ ( x ) ＝ x － 5 ＋6x＝? x － 2 ?? x － 3 ?x. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，解得 x1＝ 2 ， x2＝ 3 ，可得 x (0,2) 2 (2,3) 3 (3 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 極大值 極小值 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 福建 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x － a ln x ( a ∈ R ) ． ① 當(dāng) a ＝ 2 時(shí)，求曲線 y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) A (1 ， f (1 )) 處的切線方程； ② 求函數(shù) f ( x ) 的極值． 【解析】 函數(shù) f ( x ) 的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ) ＝ 1 －ax. ① 當(dāng) a ＝ 2 時(shí)， f ( x ) ＝ x － 2ln x ， f ′ ( x ) ＝ 1 －2x( x 0) ， 因而 f (1) ＝ 1 ， f ′ (1) ＝－ 1 ， ∴ 曲線 y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) A (1 ， f (1)) 處的切線方程為 y － 1 ＝－ ( x －1) ，即 x ＋ y － 2 ＝ 0. 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 e ax 的單調(diào)區(qū)間與極值． 【解析】 f ′ ( x ) ＝ ( x2) ′ eax＋ x2(eax) ′ ＝ ( ax ＋ 2) 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 ③ 當(dāng) a 0 時(shí)，令 f ′ ( x ) 0 ， ∴ 0 x －2a. ∴ 此時(shí) f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0 ，－2a) ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ( －∞ ， 0) 和 ( －2a，＋ ∞ ) ，函數(shù)在 x ＝－2a處取極大值，在 x ＝ 0 處取極小值． 【答案】 增區(qū)間 (0 ，－2a) ，減區(qū)間 ( － ∞ ， 0) 和 ( －2a，＋ ∞ ) 函數(shù)在 x ＝－2a處取極大值，在 x ＝ 0 處取極小值． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 1 處有極值，且極大值為 4 ，極小值為 1 ，求 a ， b ， c . 【思路】 顯然有 f ′ ( 1) ＝ f ′ ( － 1) ＝ 0. 難點(diǎn)區(qū)分： x 為何值f ( x ) 取得極大值． x 為何值 f ( x ) 取得極小值． 【解析】 f ′ ( x ) ＝ 5 ax4－ 3 bx2＝ x2(5 ax2－ 3 b ) ， 依題意知 x ＝－ 1 ， x ＝ 1 為方程 5 ax2－ 3 b ＝ 0 的兩根． ∴ 5 a ＝ 3 b . ∴ f ′ ( x ) ＝ 5 ax2( x2－ 1) ＝ 5 ax2( x ＋ 1 )( x － 1) ． f ( x ) ＝ ax5－53ax3＋ c . 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 (2) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x3 － 3 ax 2 ＋ 3 x ＋ 1. ① 設(shè) a ＝ 2 ，求 f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間； ② 設(shè) f ( x ) 在區(qū)間 (2,3) 中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求 a 的取值范圍． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 例 3 (201 4 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 思考題 3 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ln x － ax ( a ∈ R ) ． (1) 求函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間； (2) 當(dāng) a 0 時(shí)，求函數(shù) f ( x ) 在 [ 1, 2] 上的最小值． 【解析】 (1) f ′ ( x ) ＝1x－ a ( x 0) ， ① 當(dāng) a ≤ 0 時(shí)， f ′ ( x ) ＝1x－ a 0 ， 即函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)增區(qū)間為 (0 ，＋ ∞ ) ． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 例 4 (201 1 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 又 f (4) － f (1) ＝－272＋ 6 a 0 ，即 f (4) f (1) ． 所以 f ( x ) 在 [ 1,4] 上的最小值為 f (4) ＝ 8 a －403＝－163.得 a ＝ 1 ，x 2 ＝ 2 ，從而 f ( x ) 在 [1, 4] 上的最大值為 f (2) ＝103. 【答案】 (1) a － 19 (2) 10 3 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 【答案】 ????? a ＝ 2 ，b ＝ 3 或 ????? a ＝－ 2 ，b ＝－ 29. 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 1 ． 函數(shù)的最值是整個(gè)定義域上的問題，而函數(shù)的極值只是定義域的局部問題． 2 ． f ′ ( x0) ＝ 0 是 f ( x ) 在 x ＝ x0處取得極值的必要非充分條件，因?yàn)榍蠛瘮?shù)的極值，還必須判斷 x0兩側(cè)的 f ′ ( x ) 的符號是否相反． 3 ．求 f ( x ) 的最值應(yīng)注意在閉區(qū)間上研究，還是在開區(qū)間上研究，若閉區(qū)間上最值問題只需比較端點(diǎn)值與極值即可，若開區(qū)間上最值問 題，注意考查 f ( x ) 的有界性． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 答案 A 解析 因?yàn)楹瘮?shù) f ( x ) ＝12x4－ 2 x3＋ 3 m ， 所以 f ′ ( x ) ＝ 2 x3－ 6 x2. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 0 或 x ＝ 3. 經(jīng)檢驗(yàn)知 x ＝ 3 是函數(shù)的最小值點(diǎn)， 所以函數(shù)的最小值為 f (3) ＝ 3 m －272. 不等 式 f ( x ) ＋ 9 ≥ 0 恒成立， 即 f ( x ) ≥ － 9 恒成立． 所以 3 m －272≥ － 9 ，解得 m ≥32. 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 湖北 ) 已知 a 為常數(shù)，函數(shù) f ( x ) ＝ x (ln x － ax ) 有兩個(gè)極值點(diǎn) x 1 ， x 2 ( x 1 x 2 ) ，則 ( ) A ． f ( x 1 )0 ， f ( x 2 ) －12 B ． f ( x 1 )0 ， f ( x 2 ) －12 C ． f ( x 1 )0 ， f ( x 2 ) －12 D ． f ( x 1 )0 ， f ( x 2 ) －12 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版 安徽 ) 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ a ex＋1a ex ＋ b ( a 0) ． (1) 求 f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 內(nèi)的最小值； (2) 設(shè)曲線 y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) (2 ， f (2) ) 處的切線方程為 y ＝32x ，求 a ，b 的值． 答案 (1)0 a 1 時(shí)，最小值 2 ＋ b ； a ≥ 1 時(shí)，最小值 a ＋1a＋b (2) a ＝2e2 ， b ＝12 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時(shí)作業(yè) 新課標(biāo)版