【正文】 8 安培定律 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 安培定律指出：在真空中載有電流 I1的回路 C1上任一線元 dl1對(duì)另一載有電流 I2的回路 C2上任一線元 dl2的作用力表示為 31122012)(4 RRdlIdlIdF ?????31122012)(4 2 1 RRdlIdlIFC C??? ? ????????? ??? ??3120221212 4 RRdlIudlIFCC ?第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 令 ? ??131104 C RRdlIB??若電流不是線電流，而是具有體分布的電流 J，則式 (329)改為 (329) 39。 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 例 31 設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a, 外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為 b， 內(nèi) 、 外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為 σ的導(dǎo)電媒質(zhì) ， 如圖 35 所示 ， 求同軸線單位長(zhǎng)度的漏電電導(dǎo) 。 由于恒定電場(chǎng)的旋度為零 ， 因而可以引入電位 φ, E=▽ φ。 應(yīng)該指出 ， 焦耳定律不適應(yīng)于運(yùn)流電流 。 此時(shí) ， 通過面積 S的電流就等于電流密度 J在 S上的通量 ， 即 ?? ??? SS dSJdSJI ?c o s第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 圖 32 面電流密度 ndldInlIJSS?????? 0l i mvJ ??第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 電荷守恒定律 ?? ????? VS dVdtddtdqdSJ ?dVtdSJVS ?? ????? ?0????????????? dVtJV?第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 要使這個(gè)積分對(duì)任意的體積 V均成立，必須使被積函數(shù)為零，即 0?????? tJ ?0??? t?0??? J? ??S dSJ 0第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) EJ ??材 料 電導(dǎo)率 σ/(S/m) 鐵 ( % ) 107 黃銅 107 鋁 107 金 107 鉛 107 銅 107 銀 10 硅 103 表 31 常用材料的電導(dǎo)率 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 圖 33 電動(dòng)勢(shì) 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) ? ?? AB dlE 39。 我們稱這一矢量場(chǎng)為電流場(chǎng) 。 導(dǎo)體內(nèi)每一點(diǎn)都有一個(gè)電流密度 ， 因而構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng) 。 一般情況下 ， 電流密度 J和面積元 dS的方向并不相同 。?第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 焦耳定律 當(dāng)導(dǎo)體兩端的電壓為 U， 流過的電流為 I時(shí) ， 則在單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力對(duì)電荷所作的功 ， 即功率是 UIP ? 在導(dǎo)體中 ， 沿電流線方向取一長(zhǎng)度為 Δl、 截面為 ΔS的體積元 ， 該體積元內(nèi)消耗的功率為 VEJSlEJIlEIUP ????????????第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 當(dāng) ΔV→ 0， 取 ΔP/ΔV的極限 ， 就得出導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度 ， 表示為 20lim EEJVPpV????????或 EJp ??此式就是焦耳定律的微分形式 。 以上的電場(chǎng)是指庫侖場(chǎng) ， 因?yàn)樵陔娫赐獾膶?dǎo)體中 ， 非庫侖場(chǎng)為零 。 這樣 ， 可以將良導(dǎo)體的表面看作等位面 。 圖 37 例 33 用圖 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 解： 導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率 ， 可將導(dǎo)體球看作等位體 。)39。 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 例 3 4 求載流 I的有限長(zhǎng)直導(dǎo)線 (參見圖 3 9)外任一點(diǎn)的磁場(chǎng) 。 不失一般性 ， 將場(chǎng)點(diǎn)取在 φ =0， 即場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為 (r, 0, z)， 源點(diǎn)坐標(biāo)為 (0， 0， z′)。,t a n39。,22rRredzedlrdzrzzrrRezrzererzzzzr????????????第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) ??? 22 s e c39。rer d zeezzredzeRdl zrz?????????所以 )s i n( s i n4c o s439。0 ??由矢量恒定式 ? ? ?????V S dSAA d V第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 則有 dVRI d ldSBVS C???????????? ?? ? 1439。30)39。 注意到 R=rr′， 這個(gè)立體角為 。 對(duì)于對(duì)稱分布的電流 ， 我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式 ， 從電流求出磁場(chǎng) 。m(特斯拉 因?yàn)槿鬊=▽ A， 另一矢量 A′=A+ ▽ Ψ， 其中 Ψ是一個(gè)任意標(biāo)量函數(shù) ， 則 BAAA ????????????? ?39。([39。21)39。21139。)39。 磁化強(qiáng)度 M的單位是 A/m(安培 /米 )。139。39。39。 圖 3 – 15 例 3 7用圖 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 解 ：取圓柱坐標(biāo)系的 z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合 ， 磁介質(zhì)的下底面位于 z=0處 ， 上底面位于 z=L處 。 非線性磁介質(zhì)的磁化率與磁場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān) ， 非均勻介質(zhì)的磁化率是空間位置的函數(shù) ， 各向異性介質(zhì)的 M和 H的方向不在同一方向上 。 鐵磁材料的 B和 H的關(guān)系是非線性的 ， 并且 B不是 H的單值函數(shù) ， 會(huì)出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象 ， 其磁化率 χm的變化范圍很大 ， 可以達(dá)到 106量級(jí) 。 因同軸線為無限長(zhǎng) ， 則其磁場(chǎng)沿軸線無變化 ， 該磁場(chǎng)只有 φ分量 ， 且其大小只是 r的函數(shù) 。 當(dāng) r≤a時(shí)， 電流 I在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，且流向 +z方向。 將積分形式的磁通連續(xù)性原理 (即 ∮ S Bμ1, 因而 θ2 171。 時(shí) ，θ2=176。 此時(shí) ， 磁場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度 ， 即 ? mH ??? 稱為磁場(chǎng)的標(biāo)量位函數(shù) (簡(jiǎn)稱為標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位 )， 單位A (安培 )。 永磁體的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于空氣的磁導(dǎo)率 ， 因而永磁體表面是一個(gè)等位 (磁標(biāo)位 )面 ， 這時(shí)可以用靜電比擬法來計(jì)算永磁體的磁場(chǎng) 。 對(duì)于密繞線圈 ， 可以近似認(rèn)為各匝的磁通相等 ， 從而有 Ψ=NΦ。 同樣 ， 我們可以用載流回路 C2的磁場(chǎng)在回路 C1上產(chǎn)生的磁鏈 Ψ21與電流 I2的比來定義互感 M21， 即 互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率和回路的匝數(shù)。 圖 321 平行雙導(dǎo)線 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 解： 設(shè)導(dǎo)線中電流為 I， 由無限長(zhǎng)導(dǎo)線的磁場(chǎng)公式 ， 可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 )(2200xdIxIB??? ????磁場(chǎng)的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。 在這一過程中 ， 電源作的功轉(zhuǎn)變成磁場(chǎng)能量 。 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 當(dāng)保持回路 2 的電流 i2=0時(shí) ， 回路 1中的電流 i1在 dt時(shí)間內(nèi)有一個(gè)增量 di1, 周圍空間的磁場(chǎng)將發(fā)生改變 ， 回路 1和 2 的磁通分別有增量 dΨ11和 dΨ12， 相應(yīng)地在兩個(gè)回路中要產(chǎn)生感應(yīng)電勢(shì) E1=dΨ11/dt和 E2=dΨ12/dt。 若在 dt時(shí)間內(nèi) ， 電流 i2有增量 di2， 這時(shí)回路 1中感應(yīng)電勢(shì)為 E1=dΨ21/dt， 回路 2 中的感應(yīng)電勢(shì)為 E2=dΨ22/dt。 于是得到 ? ?? Vm B d VHW 21磁場(chǎng)能量密度為 HBw m ?? 21第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 例 3 10 求無限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感 。Δr， 所以 ?rWFWrFmrm?????????寫成矢量形式，有 ?mWF ???第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 2. 當(dāng)各個(gè)回路的電流不變時(shí) ， 各回路的磁鏈要發(fā)生變化 ， 在各回路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電勢(shì) ， 電源要作功 。 由安培回路定律可以求出兩導(dǎo)體板之間磁場(chǎng)為 B=exμ0JS0， 導(dǎo)體外磁場(chǎng)為零