傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關系與應用本科畢業(yè)論文-預覽頁
【正文】 （）的函數(shù)，都稱為周期函數(shù)。所有這些函數(shù)具有各自的周期，例如和的周期為，但它們的共有周期為（即所有周期的最小公倍數(shù)）。 三角級數(shù)、三角函數(shù)及其正交性在物理學中，我們知道，簡諧振動是一種簡單的周期運動，而在簡諧振動中，一種標準而簡單的簡諧振動可由下面函數(shù)描述， （1）我們不難看出，更一般的簡諧振動 ，可通過適當?shù)淖儞Q為（1），將無窮多個如（1）式那樣的簡諧振動疊加，便得到函數(shù)項級數(shù) （2）如果（2）式收斂到函數(shù),即 （3）則易見是周期為的函數(shù)，從的角度看，如果（3）式成立()，則我們便將更一般或更復雜的周期為的函數(shù)分解為簡單標準的簡諧振動的疊加，這對研究的各種性質(zhì)帶來了很大的方便。也稱(6)為正三角函數(shù)系。設是以2為周期的函數(shù)，通過變量置換，則在上也可積，這時函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式是 (1)其中 n=0,1,2… (2) n=1,2…因為，所以。而=是間斷點，由定義可知按收斂準則，傅里葉級數(shù)在間斷點處應收斂到事實上，以=代入級數(shù)（2），得級數(shù)和為零。 積分定理2 如果在區(qū)間上分段連續(xù)，其傅里葉級數(shù)為則 F （3）證明 （4）利用公式（2），得 （5）上式代入式（4），即得所證。對上式逐項微分得 上式正是方波的傅里葉級數(shù)。事實上，第一個例子中的級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。其傅里葉級數(shù)中的系數(shù)和隨著趨向于無窮大時，他們至少應與（其中為與無關的常數(shù)）一樣快的趨向于零。因此，函數(shù)愈光滑，其傅里葉級數(shù)的系數(shù)收斂得越快，反之，只要考慮某函數(shù)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)的收斂快慢程度，就可以判斷該函數(shù)的光滑程度。若F(t)在上滿足以下條件：(1)在任一有限區(qū)間上滿足Dirchlet條件（即在任意有限區(qū)間上滿足：a連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；b只有有限個極值點）； (2) 在無限區(qū)間上絕對可積，那么在的連續(xù)點處有 由此定義 （）稱為函數(shù)的傅里葉變換，記作為，即 （）其中由()式定義，公式（）稱為的傅里葉逆變換。因此在設計矩形波放大器時，要求它的通頻帶寬帶約為矩形脈沖的10倍。求解方程（2），可得：經(jīng)過傅里葉逆變換，可得：為了使的表達式比較簡單明了，下面來化簡上式可得：其中下面來求解 （其中a.0）假設且b0,令，則有其中表示在復平面的等直線，把轉(zhuǎn)化成實軸，則可計算，所以有所以 根據(jù)卷積原理，則偏微分方程（1）的解為 注：上面求解偏微分方程中用到的化歸思想，實際上就是開始時使用傅里葉變換，將偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的問題，解出這個常微分方程的問題的解，然后利用傅里葉逆變換求原問題的解。可見，引入了脈沖函數(shù)之后，對周期函數(shù)和非周期函數(shù)可以用相同的觀點和方法進行分析運算，這將給信號分析帶來了很大的方便。老師不拋棄不放棄每一個學生的教學態(tài)度，吃苦耐勞的工作作風，以及樂觀開朗的生活態(tài)度是我們在以后的工作中值得我們?nèi)W習，并激勵著我們不斷進步。 17
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