【正文】 ity of intermediate point condition 01lim1n??????and 1()lim[]!xan?????????。關(guān)鍵詞：泰勒公式；斂散性；行列式；漸近性濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 1 ABSTRACTIn this paper，we discuss some problems of Taylor formula。畢 業(yè) 論 文題 目 泰勒公式的若干問題研究 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級 計(jì)算 0901 學(xué) 生 呂晗 學(xué) 號 20220921073 指導(dǎo)教師 徐美榮 二〇一三年 五 月二十五日摘 要 本文探討了泰勒公式的若干問題。最后討論了泰勒公式01lim1n??????1()lim[]!xan?????????與泰勒級數(shù)之間的關(guān)系以及泰勒公式與泰勒級數(shù)在計(jì)算方面的應(yīng)用。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function bined with concrete example to explain。 convergence。鮑培文 [5]給出了泰勒公?式與泰勒級數(shù)的異同和典型應(yīng)用問題。對于泰勒公式的應(yīng)用太少，我們要研究的泰勒公式問題，不僅要熟練應(yīng)用泰勒公式計(jì)算極值，還要研究泰勒公式在更多方面的作用，如當(dāng)“中間點(diǎn)”趨于零與無窮時(shí) 滿足的條件,利用泰勒公式計(jì)算行列式，利用泰勒公式證明函數(shù)凹凸性，以及?研究泰勒公式與泰勒級數(shù)之間的關(guān)系，更進(jìn)一步了解泰勒公式的性質(zhì)。39。 20220 00()()()() .!!nnfxfxfxfx?????????其中 ，稱為拉格朗日余項(xiàng)，以上函數(shù)展開式稱為泰勒級數(shù)。本部分在現(xiàn)行教材對泰勒公式證明的基礎(chǔ)上，研究泰勒公式的一種新的更為簡單的證明方法。n?(1)10)!nnfx????在以上兩個(gè)定義中，如果我們?nèi)√厥獾?，則得到相應(yīng)的麥克勞林公式。 泰勒公式的證明 下面我們首先討論帶有 Lagrange 型余項(xiàng)的泰勒公式的證明問題，主要是根據(jù)拉格朗日中值定理來討論泰勒公式的證明。 001()()()fxfRx?????2.現(xiàn)在問， 的具體形式是什么?1()Rx當(dāng) 時(shí)，由洛必達(dá)法則知 與 為當(dāng) 時(shí)的同階無窮小。 010()2()fxfK?????()濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 7 若函數(shù) 在鄰域 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理，有()fxD 。 20221()()()()2!fxfxfxRx????????.7同樣可知， 與 為 時(shí)的同階無窮小，則 ，并代2()Rx30)?0x?3220())xKx?入 式，得(.7)。由 和 式知 。 下面我們用一種不同的方法證明帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式。下面我們研究泰勒公式的應(yīng)用問題，主要包括在計(jì)算行列式，利用泰勒公式證明斂散性，判斷函數(shù)的凹凸性等方面的應(yīng)用。 ()nD?xyyzzx???? ? ? ? ??(注:此題可用代數(shù)知識的遞推法以及數(shù)學(xué)歸納法求解，但非常繁瑣，此題我們利用泰勒公式求解，達(dá)到簡便的作用。 1())kkfzy??()根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則，有 ， ，… ，1()()nnfxf???12()()nnfxfx???， (因?yàn)?)。zy???1()()nnfxyxy???z?()())nnnzxyzf??以上我們就討論了泰勒公式的在計(jì)算行列式方面的應(yīng)用，特別是利用泰勒公式求解行列式這一方法在高等代數(shù)中沒有介紹過，從而使行列式的求解又多了一種新方法，也為數(shù)學(xué)分析研究高等代數(shù)問題做了一個(gè)初步探索，以便為高等代數(shù)的教學(xué)起到促進(jìn)作用。1n???li1n?0? 這里我們無法判定 的斂散性。1(2)n?????21n?? 通過這個(gè)例子我們得到了利用泰勒公式可以判斷級數(shù)的斂散性，下面我們討論利用泰勒公式來判斷廣義積分的斂散性問題。32()4x???因此 ，即 是 。 ()12nx??? ?證明: 令 ， ，則 ，由泰勒公式得:01ix?0iixh?0(1,2)iixhn???，2022()()()i iiffff???0(,)iix??? ()2022 11()n nni i ii ifxffxhfh? ??? ???0()f?21niifh???因?yàn)?，因此有 即()成立。11()ln()ni ifx???因此有 所以 ，即()式成立。+h??0limn????證明: 令 。0li1nm???01linma?????? 下面討論當(dāng)區(qū)間長度趨于無窮時(shí)的情況。A?0,2,1in?? 證明:1)由條件存在 .當(dāng) 時(shí)有 ，于是當(dāng) 時(shí)1max{}?1x?()2Ax????1x?有=1 1(1)(1)()(1)2x rnnnnxAxtdtd?????????????(1) 1())nxx????由此不等式知 。3)令 則 ，由引理 2，連續(xù) 次應(yīng)()10())!knkaFx????()+limnxFxA????n用洛必達(dá)法則，并注意到 ，便得((1)()???????? ，即為 3）中的結(jié)論。00())!nnf?定理 [14] 在泰勒中值定理的假設(shè)條件下，再設(shè) ，且()lim=nxfA????濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 17 ， ,則泰勒中值定理中的中間點(diǎn) ，有漸近估計(jì)式(,)xa???()0nfx?(,)ax??，其中 為非零常數(shù)， 為實(shí)數(shù)， 且 。由泰勒中值定理并連續(xù) 次應(yīng)用洛必達(dá)法則則有()limix????,2,i? 。()()+11limlinnxxff??????)ix?????其次，作輔助函數(shù) ，()nGxFx????由引理 有 。但我們有0?定理 [14] 在定理 中的條件下，若 ，再設(shè) ，且=0?()lim[]nxfxAB??????， ，則泰勒中值定理中的中間點(diǎn) .有漸近估計(jì)式(,)xa????()0nfxA??,a??。 ()()11())!!nnnxpAfa????又 。?5 泰勒公式與泰勒級數(shù) 泰勒公式和泰勒級數(shù)在解決實(shí)際問題中有某些的相似性,但是它們引入不同,因此還是有一定的差異性，由于泰勒公式是通過重復(fù)運(yùn)用柯西中值定理得來的,過程比濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 20 較復(fù)雜,泰勒級數(shù)屬于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的冪級數(shù),與泰勒公式類似在近似計(jì)算、極限運(yùn)算、級數(shù)與廣義積分的斂散性判斷等方面也有具體應(yīng)用。2022 00()()()()!!nnxfxfxfx????????? ??的級數(shù)為函數(shù) 在 的泰勒級數(shù)。(x特別，當(dāng) 是 的 次多項(xiàng)式，將 展成 的多項(xiàng)式，在初等數(shù)學(xué)中，)fn()fx0)x?只能采用待定系數(shù)法，在高等數(shù)學(xué)中，當(dāng)學(xué)了泰勒公式后，我們可以先求出 ，0()fx， ， ， ， ，再按泰勒公式展成 的多項(xiàng)式形式0()fx?0()f?? 0()nfx? 0()x。25yx??對于形如 的方程，當(dāng) ， 可在 內(nèi)展為+()pyx????()px?Rx??的冪級數(shù)時(shí)，那么在 內(nèi)，必有形如 的解。32 23 )1nnx?? 0?則 的麥克勞林公式為()fx471034363()()1nnfxx????????， ?？傊?，泰勒公式與泰勒級數(shù)的應(yīng)用范圍相當(dāng)?shù)膹V泛，巧妙合理的利用泰勒公式與泰勒級數(shù)，可以解決一些較難解決的高階導(dǎo)問題，在其他方面的應(yīng)用有待于我們進(jìn)一步地研究和探討。泰勒公式在各個(gè)學(xué)科中也有廣濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 23 泛的應(yīng)用，如果能很好的應(yīng)用它來解題，會使更多的人能更好的學(xué)好數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域會發(fā)展的更好。很慶幸這四年來我遇到了如此多的良師益友，無論在學(xué)習(xí)上、生活上，還是工作上，都給予了我無私的幫助和熱心的照顧，讓我在一個(gè)充滿溫馨的環(huán)境中度過四年的大學(xué)生活。 ”這是我少年時(shí)最喜歡的詩