【正文】 12)(iii pEXx????1)()]([iii pxgXgE（ 2）連續(xù)型 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度為 , )(xf 則有 ? ????? dxxfxgXgE )()()]([])[( 2EXXEDX ?? ? ???? ?? dxxfEXx )()( 2廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回.)]([)()( 22 XEXEXD ??證明 })]([)(2{ 22 XEXXEXE ???22 )]([)()(2)( XEXEXEXE ???22 )]([)( XEXE ??一個重要公式 ])[( 2EXXEDX ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為 3101PX ?求 。 ),( ba廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 5 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其密度為 ???????? ?0,00,1)( /xxexf x ???求 DX。 0)( ?CD性質(zhì) 2 設(shè) X為隨機(jī)變量， C為常數(shù)，則有 )()( 2 XDCCXD ?性質(zhì) 3 設(shè) X,Y為兩個隨機(jī)變量，則有 )])([(2)()()( 22 EYYEXXa b EYDbXDabYaXD ??????特別地，若 X與 Y相互獨(dú)立，則有 )()()( 22 YDbXDabYaXD ???性質(zhì) 4 當(dāng)且僅當(dāng) 。 ),( pnB廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的二項分布 ,Y服從參數(shù)為 的泊松分布 ,且 X與 Y相互獨(dú)立 ,則 ,1 0 0 ?? pn3?? ?? )32( YXD廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回0)42( 2 ??? XXE?? }0{ XP例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的泊松分布，已知 則 ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回)2,1(~ ?UX?????????????????13121010001XXXXXY42,YY例 4 設(shè) ，記 ，求 Y及 的期望與方差。 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回協(xié)方差的定義 的數(shù)字特征。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??（ 1）離散型 ? ? ??? i j ijji pEYyEXx ))((（ 2）連續(xù)型 ?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??? ????? ???? ??? d x d yyxfEYyEXx ),())((協(xié)方差的計算 協(xié)方差的定義 的數(shù)學(xué)期望為 X與 Y的 協(xié)方差 。 bYa?又 })]({[ 2bXaYEe ???)(2)(2)(2)()( 2222 YaEXa b EXYbEaXEbYE ??????均方誤差 下面，我們來求 Y的最佳線性近似。 bYa?均方誤差 })]({[m i n 2, bXaYEba ?? })]({[ 200 XbaYE ??? )()1( 2 YD???相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) （ 1） 1|| ??（ 2） 1|| ?? 1}{ ??? bXaYP當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) a, b，使得 。 bYa?均方誤差 })]({[m i n 2, bXaYEba ?? })]({[ 200 XbaYE ??? )()1( 2 YD???相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) （ 1） 1|| ??（ 2） 1|| ?? 1}{ ??? bXaYP當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) a, b，使得 。 0?XY??),( YXC o v )])([( EYYEXXE ?? DYDX YXC o vXY ?? ),(?（ 1）若 ，則 X與 Y不相關(guān)。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度為 ),( YX??? ?????其它010,08),( xxyxyyxf試求數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，協(xié)方差 ，相關(guān) EYEX ,系數(shù) ,并求 。 DYDX , ),( YXC o v)35( YXD ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回xyOxy?1),( YXCo v EYEXE X Y ???? ? ?? 10 0 ]8[ x dxx yd yxy 15854??753294 ??2254?DYDXYXC ov??),(?225/1175/2225/4?? 33662? ?,752?DX 。2 2 511?DY,54?EX 。 若 ])[( kEXXE ? ?,2,1?k存在，則稱它為 X的 k階 中心矩 。若二階混合中心矩 ),( 21 nXXX ?則稱矩陣 ),( jiij XXC o vc ? )])([( jjii EXXEXXE ???nji ,2,1, ??都存在， ???????????????nnnnnncccccccccC??????212222111211為 n維隨機(jī)變量 的 協(xié)方差矩陣 。 一、數(shù)學(xué)期望 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為 , )(xf絕對收斂， ? ???? dxxxf )(期望 。 （ 1） 離散型 設(shè) X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i若級數(shù) 絕對收斂， ???1iii px 則有 )]([ XgEEY ? ????1)(iii pxg（ 2）連續(xù)型 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度為 , )(xf ? ???? dxxfxg )()(若積分 絕對 收斂，則有 ? ?????? dxxfxgXgEEY )()()]([廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布，而 ， ),( YXgZ ?連續(xù)函數(shù)。 ])[( 2EXXE ? 記為 DX 或 )(XVar即 ])[( 2EXXEDX ??稱為 隨機(jī)變量 X的 標(biāo)準(zhǔn)差 或 方差根 或 均方差 。 ).,( YXC o v記為 即 ?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??))(( EYYEXX ??稱函數(shù) 對給定的二維隨機(jī)變量 ， ),( YX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回),(),( XYC o vYXC o v ?),( XXC o vDX ? ),( YYC o vDY ?協(xié)方差的性質(zhì) （ 1） （ 2） （ 3） )()()(),( YEXEXYEYXC o v ???),(2)( 22 YXa b C o vDYbDXabYaXD ????（ 4） （ 8） ),(),( YXa b C o vbYaXC o v ?),(),(),( 2121 YXC o vYXC o vYXXC o v ???（ 5） （ 6） ??? ),( 2121 dYcYbXaXC o v),(),(),( 221221 YXb d C o vYXb c C o vYXa d C o v ???),( 11 YXac C ov),( dYcXbYaXC o v ??b d D YYXC o vbcada c D X ???? ),()(（ 7） 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回相關(guān)系數(shù)的定義 DYDXYXC o vXY ??),(?隨機(jī)變量 的相關(guān)系數(shù) 定義為 YX, XY?,? .XYr或記為 不相關(guān) 若 ，則稱隨機(jī)變量 X與 Y不相關(guān) 。以 X表示其中至少有一只球的盒子的最小號碼（例如 X=3表示第 1號，第 2號盒子是空的，第 3只盒子至少有一只球），試求 EX。 21, XX )( 21 XXE廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回19 設(shè)隨機(jī)變量 X服從幾何分布，其分布律為 1)1(}{ ???? kppkXP ?,2,1?k其中 是常數(shù)，求 EX,DX。 4321 2132 XXXXY ????（ 2）設(shè)隨機(jī)變量 X， Y相互獨(dú)立，且 22 25,640(~),25,720(~ NYNX求 的分布，并求概率 YXZYXZ ???? 21 ,2}.1400{},{ ??? YXPYXP廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回26 設(shè) A和 B是試驗(yàn) E的兩個事件 ,且 并定義隨機(jī)變量 X和 Y如下 ,0)(,0)( ?? BPAP????不發(fā)生若發(fā)生若AAX,0,1????不發(fā)生若發(fā)生若BBY,0,1證明若 ，則 X與 Y必定相互獨(dú)立。 i?4 )3,2,1( ?i（ 1）求該人的投籃命中率；（ 2）求該人投籃的平均得分。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回31}1{}0{}1{ ??????? XPXPXP2XY ? XY?例 7 設(shè) X的分布律為 記 ，求 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回