【正文】 vYXXC o v ???（ 5） （ 6） ??? ),( 2121 dYcYbXaXC o v),(),(),( 221221 YXb d C o vYXb c C o vYXa d C o v ???),( 11 YXac C ov),( dYcXbYaXC o v ??b d D YYXC o vbcada c D X ???? ),()(（ 7） 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回相關(guān)系數(shù)的定義 DYDXYXC o vXY ??),(?隨機(jī)變量 的相關(guān)系數(shù) 定義為 YX, XY?,? .XYr或記為 標(biāo)準(zhǔn)尺度下的協(xié)方差 DYDXYXC ov??),(?DYDXEYYEXXE???? )])([()])([( DYEYYDX EXXE ???廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回相關(guān)系數(shù)的意義 考慮用 X的線性函數(shù) 來(lái)近似表示 Y。 的數(shù)學(xué)期望為 X與 Y的 協(xié)方差 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回切比雪夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望 ，方差 。 0?DX 1}{ ?? CXP廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化 則稱(chēng) ? ??? XX *設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望 ，方差 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 6 設(shè)隨機(jī)變量 ，求 DX。 )(XD廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 2 設(shè) X服從參數(shù)為 p的 0— 1分布，求 DX。 ])[( 2EXXE ? 記為 DX 或 )(XVar即 ])[( 2EXXEDX ??稱(chēng)為 隨機(jī)變量 X的 標(biāo)準(zhǔn)差 或 方差根 或 均方差 。以 表示落點(diǎn)的坐標(biāo)。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布 ，求 EX。 22 xxy ??),( YX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回24 xy ??例 6 向平面區(qū)域 內(nèi)隨機(jī)等可能地投擲一 所圍成的曲邊梯形面積的數(shù)學(xué)期望。他們估計(jì)出售生件產(chǎn)品可獲利 m元，而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致 n元的損失。 （ 1） 離散型 設(shè) (X,Y)的分布律為 ijji pyYxXP ??? },{ ?,3,2,1?i則有 )],([ YXgEEZ ? ? ??????1 1),(jijjiipyxg（ 2）連續(xù)型 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為 , ),( yxf 則有 ? ????? ?????? d x d yyxfyxgYXgEEY ),(),()],([其中 g為 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布，而 ， ),( YXgZ ?連續(xù)函數(shù)。 （ 1） 離散型 設(shè) X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂， ???1iii px 則有 （ 2）連續(xù)型 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度為 , )(xf ? ???? dxxfxg )()(若積分 絕對(duì) 收斂，則有 ????1)(iii pxXE? ????? dxxxfXE )()()]([ XgEEY ? ????1)(iii pxg? ?????? dxxfxgXgEEY )()()]([廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為 3101PX ?求 。 ),(~ 2??NX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知隨機(jī)變量 X的分布，而 )( XgY ? ，其中 g為連續(xù)函數(shù)。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回解 ?? ?????1001 d)1(d)1()( xxxxxxXE ,0?例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度為 ,010,101,1)(?????????????其它xxxxxf求 EX。(~ EXpnBX ，試求設(shè)廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 7（二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望） .)。試對(duì)這一想法作具體分析。 62636150:950:830:930:810:910:8概率時(shí)刻到站廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 5 設(shè)要在某地區(qū)進(jìn)行癌癥普查，為此要檢查每個(gè)人的血液。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 泊松分布，求 X的數(shù)學(xué)期望。記為 。 從上述例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的特征。 例如，在評(píng)定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，在許多場(chǎng)合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量就行了。 2 方差 167。 1 數(shù)學(xué)期望 167。但在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需要知道隨機(jī)變量的某些特征就行了。平均長(zhǎng)度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。 1 數(shù)學(xué)期望 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回引例： 試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好 ? 甲乙兩射手進(jìn)行打靶練習(xí)，各發(fā) 100箭，他們打中的環(huán)數(shù)及次數(shù)如下： X甲 8 9 10 頻數(shù) Nk 30 60 10 X乙 8 9 10 頻數(shù) Nk 35 35 30 甲的平均環(huán)數(shù) 1001010609308__ ??????甲X 10 0101010 060910 0308 ?????? ?1003010359358__ ??????乙X 10 0301010 035910 0358 ?????? ?nNx kkk???31環(huán)數(shù)為 的頻率 kx概率代替頻率 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i則稱(chēng)級(jí)數(shù) 的和為隨機(jī)變 ???1iii px若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂， ???1iii px量 X的 數(shù)學(xué)期望 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 2 設(shè) X服從參數(shù)為 p的 0— 1分布，求 EX。其規(guī)律為 一旅客 8:20到車(chē)站，求他候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。直觀想象，由于癌癥發(fā)病率較低，在 k不大時(shí)，多數(shù)情況下 k個(gè)人只需驗(yàn)一次血就夠了，所以平均說(shuō)來(lái)，用這種方法進(jìn)行驗(yàn)血大大降低了驗(yàn)血的工作量。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 7（二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望） .)。 )(XE即 若積分 則稱(chēng)積分 的值為隨機(jī)變量 X的 數(shù)學(xué) ? ???? dxxxf )(? ????? dxxxfEX )(廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度為 ,010,101,1)(?????????????其它xxxxxf求 EX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 4 設(shè)隨機(jī)變量 ，求 EX。 求隨機(jī)變量 Y的數(shù)學(xué)期望。 求隨機(jī)變量 Z的數(shù)學(xué)期望。 X 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 Y 0 1 2 3 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 2 設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為 ????? ????其它,01,1,23),( 23 xxyxyxyxf求數(shù)學(xué)期望 ).1(, XYEEY廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回22 )(),(),(s i n EXXEXEXE ?例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X服從 (0,π) 上的均勻分布 ,求 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 4 某公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種新產(chǎn)品，并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量。（ 1）求落點(diǎn)到 y軸距離的概率密度和分布函數(shù)；（ 2）求落點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方的數(shù)學(xué)期望。如到達(dá)一個(gè)車(chē)間沒(méi)有旅客下車(chē)就不停，以 X表示停車(chē)的次數(shù)，若每位旅客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能的，并且各旅客是否下車(chē)相互獨(dú)立，求 EX。 （ 2）已知隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 2的泊松 (Poisson)分布 , Y~N(2,4)， Z=XY，則 EZ= 若 X,Y獨(dú)立 ,則 E(XY)= 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回))21(,0( 2N|| YX ? ?? || YXE例 6（ 96）設(shè) X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量，則 （ 1）隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 7 設(shè)隨機(jī)落在曲線 與 x軸所圍閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的分布是均勻分布。 2 方 差 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回定義 設(shè) X為隨機(jī)變量，若 ])[( 2EXXE ?存在，稱(chēng) 為隨機(jī)變量 X的 方差 。 方差的意義 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回方差的計(jì)算 （ 1） 離散型 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i則有 ])[( 2EXXEDX ?? ?????