線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 程的解表達(dá)式說(shuō)明了齊次狀態(tài)方程的解實(shí)質(zhì)上是初始狀態(tài) x(t0)從初始時(shí)刻 t0到時(shí)刻 t系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，其轉(zhuǎn)移特性和時(shí)刻 t的狀態(tài) 完全由矩陣指數(shù)函數(shù) 和初始狀態(tài) x(t0)所決定。 ?引入上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣新定義 ， 主要是為了使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念易于推廣到時(shí)變系統(tǒng) 、 離散系統(tǒng)等 ， ?使得有可能對(duì)各種類(lèi)型系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解作統(tǒng)一描述 ， 更好地刻劃系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律 。 2) 塊對(duì)角矩陣 。 2. 矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) ?由矩陣指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式和 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義 ,可證明矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下性質(zhì)(Φ(t)為方陣 A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ) 1) Φ(0)=eA0=I 2) eA(t+s)=eAteAs ， Φ(t+s)=Φ(t)Φ(s) 式中 t和 s為兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量自變量 證明 由指數(shù)矩陣函數(shù)的展開(kāi)式 ,有 )(2222222. . .)(!. . .)2(!2)(. . .!. . .!2. . .!. . .!2stAkkkkkkAsAtstkAststAstAIskAsAAsItkAtAAtI???????????????????????????????????????eee3) [Φ(t2t1)]1=Φ(t1t2) ? ? )()(1)( 211212 eee ttAttAttA ????? ??4) 對(duì)于 n?n階的方陣 A和 B,下式僅當(dāng) AB=BA時(shí)才成立 e(A+B)t=eAteBt 5) 6) [Φ(t)]n=Φ(nt) 7) Φ(t2t1)Φ(t1t0)=Φ(t2t0)) e e e , ( ) ( ) ( )d A t A t A td A A t A t t At ? ? ? ? ? ? ?【 例 2】 求如下系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣 。 ? 由于上述定義式是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，故在用此法計(jì)算 eAt時(shí)必須考慮級(jí)數(shù)收斂性條件和計(jì)算收斂速度問(wèn)題，人工計(jì)算非常麻煩，一般只適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算。 【 例 3】 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) 解 1. 先求 A的特征值。 ?下面用兩種求解常微分方程的方法 ?直接求解法 ?拉氏變換法 ?將狀態(tài)方程 x’=Ax+Bu移項(xiàng) ， 可得 x’Ax=Bu 將上式兩邊左乘以 eAt， 則有 eAt[x’Ax]=eAtBu 即 d(eAtx)/dt=eAtBu ?在區(qū)間 [t0,t]內(nèi)對(duì)上式積分 ， 則有 1. 直接求解法 即 上式便是非齊次狀態(tài)方程的解。 ? 設(shè) W1(s)和 W2(s)分別為原函數(shù) f1(t)和 f2(t)的拉氏變換 ， 則 f1(t)和 f2(t)的卷積的拉氏變換為 結(jié)果與直接求解法完全相同。 ? 火箭燃料的消耗導(dǎo)致其質(zhì)量以及運(yùn)動(dòng)方程的參數(shù)的變化等。 Matlab問(wèn)題 ?矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算問(wèn)題有兩類(lèi) , ?一類(lèi)是數(shù)值計(jì)算 ， 即給定矩陣 A和具體的時(shí)間 t的值 ,計(jì)算矩陣指數(shù) eAt的值 。 ? Matlab的 expm()函數(shù)采用帕德 (Pade)逼近法計(jì)算矩陣指數(shù) eAt， 精度高 ， 數(shù)值穩(wěn)定性好 。 ? Matlab程序 m31執(zhí)行結(jié)果 如下 。 eAt=expm(A*t) 0123A?????????eAt = 2. eAt的符號(hào)計(jì)算 ?在 Matlab中 ， 對(duì)給定矩陣 A， 可通過(guò)符號(hào)計(jì)算工具箱的函數(shù) expm()計(jì)算變量 t的矩陣指數(shù)函數(shù) eAt的表達(dá)式 。 ?使用 Matlab的符號(hào)工具箱的函數(shù) expm()可直接計(jì)算關(guān)于符號(hào)矩陣變量 A的矩陣指數(shù)函數(shù) eA的表達(dá)式 。 其中 t定義為符號(hào)變量 ,輸入矩陣 A為一般 Matlab的數(shù)值矩陣 ,表達(dá)式A*t即為 Matlab的符號(hào)矩陣 。 A=[0 1。 ? Matlab程序 m33如下 。 B=[]。 2]。 圖 31 Matlab問(wèn)題 33的狀態(tài)響應(yīng)曲線圖 本章小結(jié) ? 本章討論狀態(tài)空間模型描述的線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 ， 該問(wèn)題是控制系統(tǒng)分析的主要問(wèn)題 ， 也是更好地進(jìn)行系統(tǒng)綜合與控制設(shè)計(jì)的前提 。（零初態(tài)響應(yīng)）
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