線性系統(tǒng)的運動分析-展示頁
2025-01-21 15:40本頁面
【正文】 謂非齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中輸入項的作用 ， 狀態(tài)方程解對輸入具有非齊次性 。 ? 所謂齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中不考慮輸入項 (u(t)=0)的作用 ，滿足方程解的齊次性 。 自由運動：系統(tǒng)的自治方程 的解，零輸入響應(yīng)； 強迫運動：系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下的強迫方程 x’=Ax+Bu t ?[t0,ta] 的解，零初態(tài)響應(yīng)。 這些條件對于實際的物理系統(tǒng)總是能滿足的，但從數(shù)學(xué)的觀點而言，條件太強了，將其減弱為： ①、②、③ （ P86） ?零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 線性系統(tǒng)滿足疊加原理 在初始狀態(tài)和輸入向量作用下的運動，分解為兩個單獨的分運動 ?初始狀態(tài) → 自由運動。 ?時變系統(tǒng)而言，矩陣 A(t)和 B(t)的所有元在時間定義區(qū)間 [t0,ta]上均為 t的實值連續(xù)函數(shù)，而輸入的元u(t)在時間定義區(qū)間 [t0,ta]上是連續(xù)實函數(shù)，則其狀態(tài)方程的解 x(t)存在且唯一。 ?狀態(tài)方程的解 x(t) 給出了系統(tǒng)運動形態(tài)對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的依賴關(guān)系。 由初始狀態(tài)和外輸入作用所引起的響應(yīng)。 ?運動分析的實質(zhì) 狀態(tài)方程 : x’=Ax+Bu x(0)=x0 t≥0 ?分析：從數(shù)學(xué)模型出發(fā)，定量地和精確地定出系統(tǒng)運動的變化規(guī)律，為系統(tǒng)的實際運動過程作出估計。 ?狀態(tài)空間描述的建立為分析系統(tǒng)的行為和特性提供了可能性。 引言 第 三 章 線性系統(tǒng)的運動分析 ? 線性定常系統(tǒng)的運動分析 線性時變連續(xù)系統(tǒng)的運動分析（介紹） 小 結(jié) Matlab問題 引言 ?分析分為定量分析和定性分析 ?定量分析：對系統(tǒng)的運動規(guī)律進(jìn)行精確的研究，即定量地確定系統(tǒng)由外部激勵作用所引起的響應(yīng)。 ?定性分析對決定系統(tǒng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有重要意義的幾個關(guān)鍵性質(zhì)，如 ?能控性、 ?能觀性、 ?穩(wěn)定性等。 ?進(jìn)行分析的目的：揭示系統(tǒng)狀態(tài)的運動規(guī)律和基本特性。 ?數(shù)學(xué)：給定初始狀態(tài) x0和外輸入 u作用，求解出狀態(tài)方程的解。 ?系統(tǒng)的運動是對初始狀態(tài)和外輸入作用的響應(yīng)，但運動的形態(tài)主要是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)所決定的，即由參數(shù)矩陣所決定的。 ?解的存在性和唯一性條件 狀態(tài)方程的滿足初始條件的解存在且唯一時，對系統(tǒng)的運動分析才有意義。 ?對于線性定常系統(tǒng)：系數(shù)矩陣 A 和 B均為常陣，只要其元的值為有限值，則條件滿足，解存在且唯一。 ?輸入作用 → 強迫運動。 x’=Ax t ?[t0,ta] ?在討論一般線性定常連續(xù)系統(tǒng)的運動分析之前 ， 先討論線性定常齊次狀態(tài)方程的解 ， 以引入矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣等概念 。 ?研究齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)本身在無外力作用下的 自由 (自治 )運動 。 ?研究非齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)在外力作用下的 強迫運動 。 ?所謂齊次狀態(tài)方程，即為下列不考慮輸入的 自治方程 x’=Ax 齊次狀態(tài)方程滿足初始狀態(tài) ? 對上述齊次狀態(tài)方程 ,常用的常微分方程求解方法有 ? 級數(shù)展開法和 ? 拉氏變換法 2種。 ? 該方程中 x(t)為標(biāo)量變量 ， a為常數(shù) 。 ? 因此 ， 該解經(jīng)泰勒展開可表征為無窮級數(shù) ， 即有 ? 式中 ， qk(k=1,2,...)為待定級數(shù)展開系數(shù) 。 ? 因此，使 t有相同冪次項的各項系數(shù)相等，即可求得 ? 令 x(t)的解表達(dá)式中 t=0，可確定 q0=x(0) ? 因此 ， x(t)的解表達(dá)式可寫為 )(32 221012321 ???? ??????????? ? kkkk tqtqtqqatkqtqtqq21 0 2 1 0 1 0, , ,1 ! 2 2 ! !kkka a a a aq q q q q q q qkk ?? ? ? ? ?)0(e)0(. . .!. . .!21)( 22xxtkataattx atkk????????? ??????? 上述求解標(biāo)量微分方程的級數(shù)展開法 ， 可推廣至求解向量狀態(tài)方程的解 。 ? 將所設(shè)解代入該向量狀態(tài)方程 x’=Ax， 可得 q1+2q2t+3q3t2 +…+ kqktk1+…= A(q0+q1t+q2t2 +…+ qktk+…) ? 如果所設(shè)解是方程的真實解 ， 則對任意 t， 上式均成立 。 ? 由于它類似于標(biāo)量指數(shù)函數(shù)的無窮級數(shù)展開式 ， 所
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