【正文】 （ 3） 用無名數(shù)表示： %、 m:n、 1:m:n （ 4） 分子 、 分母可以互換 特點(diǎn) 例：某地區(qū)某年末人口數(shù)為 108萬人 ， 其中男性 ， 女性 ， 如果以女性人口數(shù)為 100， 則男性人口數(shù)是女性的 %， 男女比例為 :100 例：我國 2021年末從業(yè)人員為 73740萬人 ， 其中第一產(chǎn)業(yè)為 36870萬人 ， 第二產(chǎn)業(yè)為 15780萬人 ， 第三產(chǎn)業(yè)為 21090萬人 ， 三個(gè)產(chǎn)業(yè)從業(yè)人數(shù)比例為 100： 57： 43 比例相對(duì)指標(biāo)對(duì)于國民經(jīng)濟(jì)調(diào)控具有重要意義 。 中國不少經(jīng)濟(jì)落后地區(qū)和農(nóng)村存在著較嚴(yán)重的重男輕女現(xiàn)象 ，人們通過超聲波等現(xiàn)代技術(shù)人為地選擇出生嬰兒的性別 ， 導(dǎo)致女嬰出生數(shù)減少 。 實(shí)際 完成數(shù) 計(jì)劃 任務(wù)數(shù) 計(jì)劃完成率 = （ 1） 兩個(gè)同類指標(biāo)之比 。 特點(diǎn) 某企業(yè)統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告中寫到： “ 我廠今年銷售收入計(jì)劃規(guī)定 2500萬元 ， 實(shí)際完成了 2550萬元 ， 超額完成計(jì)劃 2%；銷售利潤率計(jì)劃規(guī)定 8%， 實(shí)際 12%， 超額完成計(jì)劃 4%；勞動(dòng)生產(chǎn)率計(jì)劃規(guī)定比去年提高 5%， 實(shí)際比去年提高%， 完成計(jì)劃 110%；產(chǎn)品單位成本計(jì)劃規(guī)定比去年下降 3%， 實(shí)際比去年下降 %， 實(shí)際比計(jì)劃多下降 。 公式 另一有聯(lián)系的指標(biāo)數(shù)值 強(qiáng)度相對(duì)數(shù) = 2021年年底我國人口數(shù)為 127627萬人 ， 按 960萬 km2土地面積計(jì)算 ， 則：我國人口密度 =127627/960=(人 /km2) 2021年全國電話普及率 /百人 ? （ 1） 反映現(xiàn)象的強(qiáng)度 、 密度和普遍程度 ? （ 2） 兩個(gè)不同類的指標(biāo)數(shù)值之比 ? （ 3） 有無名數(shù)和復(fù)合名數(shù)兩種表示方法 ? （ 4） 有些強(qiáng)度相對(duì)數(shù)既有正指標(biāo) ， 也有逆指標(biāo) ， 二者互為倒數(shù) 特點(diǎn) 某地零售商業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)某地人口數(shù)（千人）或某地人口數(shù)（千人）某地零售商業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)商業(yè)網(wǎng)密度??例：某城市人口 200萬人 ， 有零售商業(yè)機(jī)構(gòu)10000個(gè) ， 則： ?正指標(biāo) =10000/2021000=5個(gè) /千人 ?逆指標(biāo) =2021000/10000=200人 /個(gè) 八、計(jì)算和運(yùn)用相對(duì)指標(biāo)應(yīng)注意的問題 （ 1） 可比性原則：總體范圍可比 時(shí)間長(zhǎng)度可比 經(jīng)濟(jì)內(nèi)容可比 計(jì)算方法可比 （ 2） 相對(duì)指標(biāo)與總量指標(biāo)結(jié)合原則 （ 3） 各種相對(duì)指標(biāo)結(jié)合的原則 （ 4） 注意不同基數(shù)的相對(duì)指標(biāo)不能直接相加 相對(duì)指標(biāo)的計(jì)算都是以一定的基數(shù)為基礎(chǔ)的 ， 因此 ， 除了同一時(shí)期 、 同一總體的結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)可以相加外 ， 其余幾種相對(duì)指標(biāo)都不能簡(jiǎn)單地相加 。 反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度 ， 因此也稱為離中趨勢(shì) ， 它從另一個(gè)側(cè)面說明了集中趨勢(shì)測(cè)度值的代表程度 數(shù)據(jù)分布的特征和測(cè)度 集中趨勢(shì) 數(shù)據(jù)的特征和測(cè)度 離散程度 平均數(shù) 中位數(shù) 眾 數(shù) 變異系數(shù) 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 四分位差 平均差 全距 四分位數(shù) 平均指標(biāo) 變異指標(biāo) 平均指標(biāo) （概念、種類、特點(diǎn)、作用） 平均指標(biāo)是指 同質(zhì)總體 中各單位某一 數(shù)量標(biāo)志 值在一定時(shí)間和空間條件下所達(dá)到的 一般水平 的綜合指標(biāo) ， 用來描述靜態(tài)數(shù)列分布集中趨勢(shì) 。 （ 縱向 ） （ 3） 進(jìn)行數(shù)量上的估計(jì) 、 推斷 ， 是抽樣推斷理論里需計(jì)算的基本指標(biāo) 。 ? （ 3） 當(dāng) f1=f2=f3=…… =fn時(shí) ， 加權(quán)平均數(shù) = 簡(jiǎn)單平均數(shù) ? （ 4） 組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí) ， 假定該組標(biāo)志值是完全均勻分布的 ， 以各組的組中值為各組變量值 ， 計(jì)算的平均數(shù)是近似值 。 ? 在研究同一問題時(shí) ， 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的意義是相同的 ， 只是由于所掌握的資料不同 ， 而采用不同的計(jì)算方法而已 。 （ 1） 早 、 中 、 晚各買 1斤 ， 平均價(jià)格是多少 ？ （ 2） 早 、 中 、 晚各買 1元錢的 ， 平均價(jià)格是多少 ？ （ 3） 早 、 中 、 晚各買 1元 、 2元 、 3元 ， 平均價(jià)格又是多少 ？ 例：某公司所屬甲、乙兩企業(yè)的勞動(dòng)生產(chǎn)率及產(chǎn)值資料如下： 甲企業(yè) 乙企業(yè) 勞動(dòng)生產(chǎn)率 （元 / 人） 人數(shù) （人） 勞動(dòng)生產(chǎn)率 （元 / 人） 產(chǎn)品產(chǎn)值 （元） 800 — 1000 1000 — 1200 1200 以上 20 50 30 950 1050 1300 16150 6300 0 32500 合計(jì) 100 —— 111650 要求：分別計(jì)算甲、乙兩企業(yè)的平均勞動(dòng)生產(chǎn)率。 ?例如 ， 各年的發(fā)展速度 ， 生產(chǎn)流水線各道工序的產(chǎn)成品合格率 ，按復(fù)利計(jì)息的各年本利率等等 。 當(dāng)某種社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象不可能或無必要全面登記出各單位標(biāo)志值及各標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)，來計(jì)算算術(shù)平均數(shù)時(shí)，可用最普遍出現(xiàn)的標(biāo)志值，即眾數(shù)來代替其一般水平。 未分組資料中位數(shù)的確定 先排序 ， 再找到中位數(shù)的位置 ， 在第(n+1)/2項(xiàng) ， 該項(xiàng)對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù) 。 中位數(shù) 根據(jù)同一資料分別計(jì)算和確定五種平均數(shù)，得到的結(jié)果一般是不同的。次數(shù)分布特征不同 ， 三者的關(guān)系就不同 。 否則 ， 平均數(shù)不僅不能反映總體的本質(zhì)特征 ， 而且還會(huì)抹煞現(xiàn)象之間的本質(zhì)區(qū)別 ， 歪曲現(xiàn)象真相 。 正是由于這種工資水平不同的職工人數(shù)結(jié)構(gòu)差別的影響 ， 使得甲企業(yè)的總平均工資高于乙企業(yè) 。 從此例可看出，平均水平掩蓋了總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值的差異程度，所以，在分析實(shí)際問題時(shí)，除了要反映總體的一般水平外，還需要把總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值之間的差異程度反映出來，即需用標(biāo)志變異指標(biāo)來反映這些問題。 衡量平均指標(biāo)代表性的大小 標(biāo)志變異指標(biāo)越大 ， 平均指標(biāo)的代表性越小 。 甲班 19 23 29 35 36 37 44 48 49 60 乙班 30 37 38 38 38 39 39 40 40 41 組距數(shù)列的全距 （ R） = 最高值組上限值 最低值組下限值 產(chǎn)量（件） 50～ 60 60～ 70 70～ 80 80～ 90 90～ 100 合計(jì) 人數(shù)（人） 2 8 16 10 4 40 四分位差 ? 把一組數(shù)列 4等分，形成三個(gè)分割點(diǎn)： Q Q Q3 ? 四分位差 =Q3— Q1 數(shù)據(jù)： 42 50 51 58 62 65 70 72 85 不受兩端各 25%數(shù)值的影響； 衡量中位數(shù)代表性的高低； 不反映所有標(biāo)志值的差異程度 ， 所以類同全距 ， 也是一個(gè)較粗略的指標(biāo) 。 （分組資料）加權(quán)平均差：未分組資料）簡(jiǎn)單平均差：???????ffxxADnxxAD ( 例：有甲 、 乙兩個(gè)培訓(xùn)班 ， 各有 10名學(xué)員 ， 其年齡 （ 歲 ） 形成的數(shù)列如下 ， 計(jì)算平均差 。 其意義與平均差基本相同 ， 也是根據(jù)各個(gè)標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)求其平均離差后再來進(jìn)行計(jì)算的 ， 但由于采用求離差平方的方法消除離差和等于 0的影響 ， 數(shù)學(xué)處理比平均差更為合理和優(yōu)越 。 哪個(gè)車間的平均產(chǎn)量的代表性要小些 ？ 422021400 ??? ?? fxfx?? 20 012 2021 ??????ffxx? 方差的簡(jiǎn)捷計(jì)算方法： ? ?? ?222222222222???????????????????????????????fxfffxxffxffxxxnxnxnxnxx??工人日產(chǎn)量 工人數(shù) f 組中值 x x2 x2f 2030 10 25 625 6250 3040 70 35 1225 85750 4050 90 45 2025 182250 5060 30 55 3025 90750 合計(jì) 200 — 6900 365000 ? ?2003 6 5 0 0 0 2222??????????????? ??????fxfffxffxx?方差的數(shù)學(xué)性質(zhì) 變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減變量平均數(shù)的平方 2222 )(1 xnxxxn ??????? 變量與算術(shù)平均數(shù)計(jì)算的方差小于變量與其他任何常數(shù)的方差 。 ? 組內(nèi)方差（ δ內(nèi) 2） ：組內(nèi)標(biāo)志值對(duì)組平均數(shù)的方差，表明各組內(nèi)部的離差。 標(biāo)準(zhǔn)差與平均差的關(guān)系 對(duì)同一資料 ， 所求的平均差一般比標(biāo)準(zhǔn)差要小 ， 即 ??..DA? ?? ?? ?? ? ????????????????????? ???????????? ??????????....0....22222222222DADADADAnxxnxxnxxnxxxxyxxyxy，即所以即則設(shè)% % % ?3?x ?2?x ??x ?2?x??x ?3?xx在對(duì)多個(gè)具有不同量綱的指標(biāo)進(jìn)行處理時(shí)，常常需要對(duì)各指標(biāo)數(shù)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。在 A項(xiàng)測(cè)試中 ， 其平均分?jǐn)?shù) 100分 ， 標(biāo)準(zhǔn)差是 15分；在 B項(xiàng)測(cè)試中 ， 其平均分?jǐn)?shù)是 400分 ， 標(biāo)準(zhǔn)差是 50分 。 因此 ， 若研究的總體不同 ， 或計(jì)量單位不同 ， 或平均數(shù)相差懸殊 ，它們離中趨勢(shì)的絕對(duì)數(shù)是不可以比較的 。 標(biāo)志變異系數(shù) （ 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) ） 的應(yīng)用 比較計(jì)量單位相同，平均數(shù)差異大的兩組變量的離散程度 例如，某市成人組和幼兒組身高資料如下： 平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 成人組： 168厘米 幼兒組： 73厘米 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：成人組 Vσ = % 幼兒組 Vσ = % 計(jì)算表明成人組身高離散程度小于幼兒組。 異眾比率越大 ，說明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越大 ， 眾數(shù)的代表性就越差；反之 ， 眾數(shù)的代表性越好 。 這兩種一般只能用 “ 是 ” 、 “ 否 ”或 “ 有 ” 、 “ 無 ” 來表示標(biāo)志 ， 稱為是非標(biāo)志 。 你準(zhǔn)備采用什么方法來評(píng)價(jià)組裝方法的優(yōu)劣 ？ 方法 A 方法 B 方法 C 164 167 168 165 170 165 164 168 164 162 163 166 167 166 165 129 130 129 130 131 130 129 127 128 128 127 128 128 125 132 125 126 126 127 126 128 127 126 127 127 125 126 116 126 125 方法 A 平均數(shù) = 標(biāo)準(zhǔn)偏差 = 離散系數(shù) = 方法 B 平均數(shù) = 標(biāo)準(zhǔn)偏差 = 離散系數(shù) = 方法 C 平均數(shù) = 標(biāo)準(zhǔn)偏差 = 離散系數(shù) = 第五節(jié) 偏態(tài)與峰度 扁平分布 尖峰分布 偏態(tài) 峰度 左偏分布 右偏分布 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！ 偏度（ skewness) 偏度一詞是由統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜于 1895年首次提出的 。 ??)(30 eMxMxSK ???? 動(dòng)差法：運(yùn)用統(tǒng)計(jì)動(dòng)差測(cè)定偏度 ， 計(jì)算麻煩 ， 但精確性較高 。 是描述次數(shù)分布形態(tài)的另一重要特征值 。 甲、乙兩單位工人的生產(chǎn)資料如下 試分析 （ 1）哪個(gè)單位工人的生產(chǎn)水平高？ （ 2）哪個(gè)單位工人 的生產(chǎn)水平整齊？ 日產(chǎn)量（件/人） 甲單位工人數(shù)（人） 乙單位總產(chǎn)量（件） 1 2 3 120 60 20 30 120 30 合計(jì) 200 180