【正文】 = 6% 乙國(guó) Vσ = 8% 計(jì)算表明 ， 甲國(guó)企業(yè)員工月平均收入離散程度小 。 這是必須采用反映離中趨勢(shì)的 相對(duì)指標(biāo) ——標(biāo)志變異系數(shù)來(lái)比較 。 一位應(yīng)試者在 A項(xiàng)測(cè)試中得了 115分 ， 在 B項(xiàng)測(cè)試中得了 425分 。同時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)化值也給出了一組數(shù)據(jù)中各數(shù)值的相對(duì)位置。 ? 組間方差（ δ間 2） ：組平均數(shù)對(duì)總平均數(shù)的方差，表明各組之間的離差。 202 )(1)(1 ?? ??? xxnxxn2,1020 ??? ?xn ，練習(xí) 1： 有一正數(shù)組成的數(shù)列 。 ? ?? ?（分組資料，加權(quán)式）簡(jiǎn)單式）未分組資料???????ffxxnxx22,(??分組資料標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算 已知甲車間工人的平均日產(chǎn)量 42千克 ， 其標(biāo)準(zhǔn)差為 克 。 計(jì)算結(jié)果說明了什么問題 ？ 甲班 19 23 29 35 36 37 44 48 49 60 乙班 30 37 38 38 38 39 39 40 40 41 平均年齡為 38 例：以某企業(yè)某車間工人日產(chǎn)量資料為例 ， 計(jì)算平均差 421 0 04 2 0 0 ?????fxfx 1 0 06 6 0 ???????ffxxDA平均差越大 ， 標(biāo)志變動(dòng)度越大 ， 平均數(shù)代表性越小 ， 反之 ， 平均數(shù)代表性越大 。 特點(diǎn) 二、標(biāo)志變異指標(biāo) （平均差 A 標(biāo)志變異指標(biāo)可以說明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變動(dòng)過程的均衡性 、 節(jié)奏性和穩(wěn)定性 。 兩個(gè)小組的統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)： 甲組： 60 70 80 90 100 乙組： 70 75 80 85 90 標(biāo)志變異指標(biāo) （概念、作用、種類） 概念 標(biāo)志變異指標(biāo)又稱標(biāo)志變動(dòng)度指標(biāo) ， 它反映了總體各單位某數(shù)量標(biāo)志值之間的差異程度 ， 是度量統(tǒng)計(jì)分布離中趨勢(shì)的綜合指標(biāo) 。 通過分組計(jì)算組平均數(shù)就消除了這種結(jié)構(gòu)因素的影響 ， 從而反映了兩企業(yè)各類工人的實(shí)際工資水平 。 甲企業(yè) 乙企業(yè) 職工人數(shù)（人） 比重 （ % ） 工資總額 （元） 平均工資 （元） 職工人數(shù)（人） 比重 （ % ） 工資總額 （元） 平均工資 （元） 熟練工人 200 80 400000 2021 50 20 1 1 0 0 0 0 2200 非熟練工人 50 20 60000 1200 200 80 260000 1300 合計(jì) 25 100 460000 1840 250 100 370000 1480 注意用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù) 例：甲乙兩企業(yè)職工工資資料如下表 從表中資料可以看出 ， 甲企業(yè)職工的平均工資 1840元高于乙企業(yè)的 1480元 ， 但從分組后計(jì)算熟練工人和非熟練工人的平均工資情況恰好與之相反 。 鐘形對(duì)稱分布時(shí) ， X = Me = Mo 鐘形左偏分布時(shí) ， X Me Mo 鐘形右偏分布時(shí) ， Mo Me X 當(dāng)偏度適宜 ， 三者之間有數(shù)量關(guān)系： eMXMX ??? 30算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系 MoMe MeMo Me Mo xxMo Me xxxMo= Me= 根據(jù)皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)公式，在輕微偏態(tài)的頻數(shù)分布中，一旦三者之中兩者已知時(shí)，可利用公式近似估計(jì)第三者： )3(21)2(3123000MMXXMMXMMeee??????某科考試結(jié)果 ， 有半數(shù)考生成績(jī)?cè)?80分以上 ， 得 84分最多 ，試估計(jì)平均成績(jī) 。 各種平均指標(biāo)的比較 數(shù)據(jù)呈現(xiàn)對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布 —— 均值 偏態(tài)分布 —— 中位數(shù)或眾數(shù) 不能直接計(jì)算均值的數(shù)據(jù) —— 調(diào)和平均數(shù) （ 數(shù)據(jù)中出現(xiàn) 0時(shí)不能計(jì)算 ） 比率數(shù)據(jù) —— 幾何平均數(shù) （ 數(shù)據(jù)中有 0或負(fù)數(shù)時(shí)不能計(jì)算 ） 美國(guó)新聞?dòng)浾哌_(dá)萊爾 ???????????????????????? ?為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)NXXNXMNNNe1222121未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (5個(gè)數(shù)據(jù)的算例 ) ? 原始數(shù)據(jù) : 24 22 21 26 20 ? 排 序 : 20 21 22 24 26 ? 位 置 : 1 2 3 4 5 中位數(shù) ? 22 ? 321521 ????? N位置未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (6個(gè)數(shù)據(jù)的算例 ) ? 原始數(shù)據(jù) : 10 5 9 12 6 8 ? 排 序 : 5 6 8 9 10 12 ? 位 置 : 1 2 3 4 5 6 位置 ? ? ? N+1 2 6+1 2 中位數(shù) ? ? 8 + 9 2 ? ? 中位數(shù)在第 （ ∑f)/2項(xiàng) ， 該項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù) 。 單項(xiàng)數(shù)列眾數(shù)的確定 觀察法：次數(shù)最多的標(biāo)志值即為眾數(shù) 。 n in n xxxxxG ??? ?321簡(jiǎn)單式：? ???? f fif fnnfff ixxxxxG ?321321加權(quán)式：取對(duì)數(shù)求解： 簡(jiǎn)單式： lgG =(lgx1+lgx2+lg x3+ … + lgxn） /n =∑lgx/ n 加權(quán)式 ： lgG =（ f1lgx1+ f2lgx2+ f3lgx3+ … + fn lgxn） = ∑(flgx)/ ∑f 公式 例 1：某地區(qū) 2021—2021年國(guó)民經(jīng)濟(jì)環(huán)比發(fā)展速度分別為80%、 90%、 120%、 150%， 則四年的平均發(fā)展速度為多少 ？ 例 2：某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品要經(jīng)過三道工序 ， 第一道工序的產(chǎn)品合格率是 92%， 第二道工序的產(chǎn)品合格率是 95%， 第三道工序的產(chǎn)品合格率是 90%， 要求計(jì)算該產(chǎn)品三道工序的平均合格率 。 三、平均指標(biāo) （幾何平均數(shù)） 概念 適用 n個(gè)變量值的連乘積的 n次方根 。 如果權(quán)數(shù) m=x ? ?affaxx ??? ??affaxx ????affaxx ??????????????a為接近平均數(shù)的常數(shù) ， 或中間組的組中值 △ 為等距數(shù)列的組距 算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì) ? （ 1） ∑（ x – x） = 0 ? （ 2） ∑( x –x)2= 最小值 ? （ 3） 各變量值加 （ 減 、 乘 、 除 ） 一個(gè)常數(shù) a， 其算術(shù)平均數(shù)也應(yīng)加 （ 減 、 乘 、 除 ） 常數(shù) a 某企業(yè)工人日產(chǎn)量如下表，求該企業(yè)平均日產(chǎn)量 產(chǎn)量 工人數(shù) 組中值 (xa)/△ (xa)f/△ 60以下 10 55 60—70 19 65 70—80 50 75 80—90 36 85 90—100 27 95 100—110 14 105 110以上 8 115 合計(jì) 164 產(chǎn)量 工人數(shù) 組中值 (xa)/△ (xa)f/△ 60以下 10 55 3 30 60—70 19 65 2 38 70—80 50 75 1 50 80—90 36 85 0 0 90—100 27 95 1 27 100—110 14 105 2 28 110以上 8 115 3 34 合計(jì) 164 39 85101643985101085????????????? ??????????????????ffxaffaxx? 平均指標(biāo)在實(shí)際中的應(yīng)用 ——《 平均指標(biāo)在教師教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)中的作用 》 二、平均指標(biāo) （調(diào)和平均數(shù)） ???????????????????????????mxmmxmxmxmmmmmmmxmxmxHxnxxxnnxxxHnnnnnnnn11111111111111112211212122112121??????概念 變量值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù) 。 在建國(guó)初期 ， 我國(guó)人口的平均壽命不到 40歲 。 概念 種類 位置平均數(shù) 眾數(shù) (Mode) 中位數(shù) (Median) 四分位數(shù) （ Quartile） 數(shù)值平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù) (Average ) 調(diào)和平均數(shù) (Harmean) 幾何平均數(shù) (Geomean) 特點(diǎn) （ 1） 反映總體各單位數(shù)量標(biāo)志而非品質(zhì)標(biāo)志的一般水平 （ 2） 抽象掉了總體各單位數(shù)量標(biāo)志值的差異 （ 3） 反映總體分布的集中趨勢(shì) 。 例：全面考核一個(gè)企業(yè)的工作成果和經(jīng)濟(jì)效益，需要計(jì)算哪些指標(biāo)？ （ 1）總量指標(biāo)：產(chǎn)品產(chǎn)量、總產(chǎn)值、凈產(chǎn)值等。 指出上述分析報(bào)告中哪些指標(biāo)計(jì)算有錯(cuò)誤并將錯(cuò)誤改正過來(lái) 。 （ 2） 用無(wú)名數(shù)表示 。 根據(jù)中國(guó)政府2021年進(jìn)行的第五次人口普查資料顯示 ， 全國(guó)人口出生性別比為 ， 即在出生的嬰兒中 ， 男女比例達(dá)到 :100， 比正常值 103至 107高出很多 ， 中國(guó)政府已經(jīng)提出 ， 到 2021年 ， 要實(shí)現(xiàn)全國(guó) “ 出生嬰兒性別比趨向正常 ， 初步形成新的婚育觀念和生育文化 ” 四、比較相對(duì)數(shù) （靜態(tài)相對(duì)數(shù)） 某一空間 條件下某一指標(biāo)數(shù)值 另一空間 條件下同一指標(biāo)數(shù)值 概念 公式 兩個(gè) 不同總體 的 同類指標(biāo) 數(shù)值之比（ 或：同一時(shí)期某一同類社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)在 不同空間 的對(duì)比 ） 比較相對(duì)數(shù) = （ 1） 反映兩個(gè)空間條件或兩個(gè)總體的差異程度 （ 2） 對(duì)比的同類指標(biāo)數(shù)值可以是總量指標(biāo) 、 相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo) （ 3） 用無(wú)名數(shù)表示： %、 倍數(shù) （ 4） 分子分母可以互換 特點(diǎn) ? 江蘇農(nóng)村 1995年人均收入為 3444元，同期甘肅農(nóng)村人均收入為 1029元，則江蘇人均收入是甘肅的 （ 3444/1029）或者說甘肅人均收入是江蘇的 % ?第一季度甲企業(yè)銷售額為 140萬(wàn)元 ， 乙企業(yè)為 180萬(wàn)元 ， 則甲企業(yè)的銷售額是乙企業(yè)的%， 乙企業(yè)的銷售額是甲企業(yè)的 ，說明乙企業(yè)的銷售額高于甲企業(yè) 。利用比例相對(duì)指標(biāo)可以分析國(guó)民經(jīng)濟(jì)中各種比例關(guān)系 。 （ 企業(yè)的銷售利潤(rùn)率 、 人均產(chǎn)值 、 計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)等 ） （ 3） 相對(duì)指標(biāo)便于記憶 ， 易于保密 。（ 利潤(rùn)額 、 國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值 、 產(chǎn)品銷售收入 ） 時(shí)點(diǎn)指標(biāo) ：在某一時(shí)點(diǎn)上的數(shù)量狀況 。 （ 1） 總量指標(biāo)數(shù)值用絕對(duì)數(shù)表示 ， 又稱絕對(duì)指標(biāo) 、 數(shù)量指標(biāo) （ 2） 總量指標(biāo)數(shù)值的大小與研究總體的范圍直接相關(guān) （ 3） 只有有限總體才能計(jì)算總量指標(biāo) 概念 特點(diǎn) ? 按內(nèi)容來(lái)分 ： 總體標(biāo)志總量： 總體各單位某一標(biāo)志值之和 總體單位總數(shù) ：總體單位的個(gè)數(shù) ? 按時(shí)間狀態(tài)分： 時(shí)期指標(biāo) ：反應(yīng)在一段時(shí)期內(nèi)的發(fā)展過程中累積的總結(jié)果 。 表現(xiàn)形式 ?無(wú)名數(shù)：系數(shù) 、 倍數(shù) 、 成數(shù) 、 百分?jǐn)?shù) 、 千分?jǐn)?shù) 、 百分點(diǎn) ?有名數(shù)：復(fù)合名數(shù) 人均糧食產(chǎn)量 （ 千克 /人 ） 、 社會(huì)平均工資 （ 元 /人年 ） 相對(duì)指標(biāo) （作用） （ 1） 反映現(xiàn)象間 在時(shí)間 、 空間 、 結(jié)構(gòu) 、 比例等方面 的數(shù)量差異 、 聯(lián)系程度 、 強(qiáng)弱程度和密度 （ 2） 相對(duì)指標(biāo)是國(guó)家進(jìn)行宏觀調(diào)控和企業(yè)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)活動(dòng)效果考核的重要工具 。 公式 比例相對(duì)數(shù) = （ 1） 與結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)的作用相同 ， 并可與之互相推算 （ 2） 以分組為前提