【正文】 各出現(xiàn)一次 }， 4A ={正面出現(xiàn)兩次 }，則事件 (A) 321 , AAA 相互獨(dú)立 . (B) 432 , AAA 相互獨(dú)立 . (C) 321 , AAA 兩兩獨(dú)立 . (D) 432 , AAA 兩兩獨(dú)立 . [ ] 三、（本題滿分 8分） 設(shè) ).1,21[,)1( 1s in11)( ????? xxxxxf ??? 試補(bǔ)充定義 f(1)使得 f(x)在 ]1,21[ 上連續(xù) . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 30 四 、（本題滿分 8 分） 設(shè) f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 12222 ?????? vfuf ，又 )](21,[),( 22 yxxyfyxg ?? ,求 .2222ygxg ????? 五、（本題滿分 8分） 計(jì)算二重積分 .)s in ( 22)(22 d x d yyxeIDyx ?? ?? ??? ? 其中積分區(qū)域 D= }.),{( 22 ??? yxyx 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 31 六、（本題滿分 9分） 求冪級(jí)數(shù) ??? ??? 12 )1(2)1(1nnn xnx 的和函數(shù) f(x)及其極值 . 七、（本題滿分 9分） 設(shè) F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù) f(x),g(x)在 ),( ???? 內(nèi)滿足以下條件： )()( xgxf ?? ， )()( xfxg ?? ，且 f(0)=0, .2)()( xexgxf ?? (1) 求 F(x)所滿足的一階微分方程； (2) 求出 F(x)的表達(dá)式 . 八、（本題滿分 8分） 設(shè)函數(shù) f(x)在 [0， 3]上連續(xù)，在（ 0， 3）內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=)3,0(?? ，使 .0)( ???f 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 32 九、（本題滿分 13 分） 已知齊次線性方程組 ?????????????????????????????????,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nnnnnnnnxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxba?????????????? 其中 .01 ???ni ia 試討論 naaa , 21 ? 和 b 滿足何種關(guān)系時(shí)， (1) 方程組僅有零解； (2) 方程組有非零解 . 在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 . 十、（本題滿分 13 分） 設(shè)二次型 )0(222),( 31232221321 ?????? bxbxxxaxAXXxxxf T， 中二次型的矩 陣 A的特征值之和為 1，特征值之積為 12. (1) 求 a,b 的值； (2) 利用正交變換將二次型 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣 . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 33 十一、（本題滿分 13 分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 49 （ 16）（本題滿分 7 分） 計(jì)算二重積分 2 ddD y xy x y???，其中 D 是由直線 , 1, 0y x y x? ? ?所圍成的平面區(qū)域。 （ 20）（本題滿分 13分） 設(shè) 4 維向量組 ? ? ? ? ? ?T T T1 2 3 41 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 ,a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?T4,4,4,4 a? 問 a 為何值時(shí) 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 線性相關(guān)？當(dāng) 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 線性相關(guān)時(shí)，求其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出。 （ Ⅰ ）求 Y 的概率密度 ??Yfy； （ Ⅱ ） Cov( , )XY ； （ Ⅲ ） 1,42F???????。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 52 2020 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、選擇題： 1～ 8小題，每小題 4分，共 32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置 上 (1) 當(dāng) 0x ?? 時(shí)，與 x 等價(jià)的無窮小量是（） （ A） 1 xe? （ B） ln(1 )x? （ C） 11x?? （ D） 1 cos x? (2) 設(shè)函數(shù) ()fx在 0x? 處連續(xù)，下列 命題錯(cuò)誤的是（） （ A）若0 ()limx fxx?存在，則 (0) 0f ? （ B）若0 ( ) ( )limx f x f xx? ??存在，則 (0) 0f ? （ C）若0 ()limx fxx?存在，則 39。 （ 19）（本題滿分 11 分 ） 設(shè)函數(shù) ()fx， ()gx 在 ? ?,ab 上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又 ()fa＝ ()ga ，()fb＝ ()gb，證明： （Ⅰ ）存在 ( , ),ab?? 使得 ( ) ( )fg??? ； （ Ⅱ ）存在 ( , ),ab?? 使得 39。( )fg??? 。記 534B A A E? ? ?，其中 E 為 3 階單位矩陣。 ) , 1,2 (1 )0xf x x?????? ?????? ? ???????， 其 他. 其中參數(shù) (0 1)???? 未知， 12, ,... nX X X 是來自總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， X 是樣本均值 。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 62 （ 21）（本題滿分 10分） 設(shè) A 為 3 階矩陣， 12,aa為 A 的分別屬于特征值 1,1? 的特征向量，向量 3a 滿足3 2 3Aa a a??， （Ⅰ）證明 1 2 3,a a a 線性無關(guān)； （Ⅱ）令 ? ?1 2 3,P a a a? ，求 1PAP? . （ 22）（本題滿分 11分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立， X 的概率分布為 ? ? ? ?1 1, 0 ,13P X i i? ? ? ?， Y 的概率密度為 ? ? 1 0 10Y yfy ???? ?? 其 它，記 Z X Y?? （Ⅰ）求 1 02P Z X????????； （Ⅱ）求 Z 的概率密度 ()Zfz． （ 23） （本題 滿分 11分） 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 63 設(shè) 12, , , nX X X 是總體為 2( , )N?? 的 簡(jiǎn) 單 隨 機(jī) 樣 本 . 記11 n iiXXn ?? ?，2211 ()1 n iiS X Xn ???? ?， 2 21T Sn?? . （Ⅰ）證明 T 是 2? 的無偏估計(jì)量 . （Ⅱ）當(dāng) 0, 1????時(shí)，求 DT . 2020 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、選擇題： 1～ 8小題，每小題 4分，共 32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上 . （ 1） 函數(shù) 3() sinxxfx x??? 的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 (A)1. (B)2. (C)3. (D)無窮多個(gè) . （ 2） 當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) sinf x x ax?? 與 2( ) ln(1 )g x x bx??是等價(jià)無窮小，則 (A) 1a? ， 16b?? . （ B） 1a? ， 16b? . (C) 1a?? ， 16b?? . （ D） 1a?? ， 16b? . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 64 （ 3） 使不等式1 sin lnx t dt xt ?? 成立的 x 的范圍是 (A)(0,1) . (B)(1, )2? . (C)( , )2?? . (D)( , )??? . （ 4） 設(shè)函數(shù) ? ?y f x? 在區(qū)間 ? ?1,3? 上的圖形為 則函數(shù) ? ? ? ?0xF x f t dt? ?的圖形為 (A) (B) (C) (D) （ 5）設(shè) ,AB均為 2 階矩陣， *,AB? 分 別為 ,AB的伴隨矩陣，若 | | 2,| | 3AB??，則分塊矩陣 OABO??????的伴隨矩陣為 (A) **32OBAO??????. (B) **23OBAO??????. ()fx O 2 3 x 1 2 1 1 ()fx O 2 3 x 1 1 1 ()fx O 2 3 x 1 2 1 1 ()fx O 2 3 x 1 2 1 1 1 ()fx 2 O 2 3 x 1 1 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 65 (C) **32OABO??????. (D) **23OABO??????. （ 6） 設(shè) ,AP均為 3階矩陣， TP 為 P 的轉(zhuǎn)置矩陣，且 1000 1 00 0 2TP AP???????， 若 1 2 3 1 2 2 3( , , ) , ( , , )PQ? ? ? ? ? ? ?? ? ?，則 TQAQ 為 (A) 2 1 01 1 00 0 2??????. (B) 1 1 01 2 00 0 2??????. (C) 2 0 00 1 00 0 2??????. (D) 1000 2 00 0 2??????. （ 7） 設(shè)事件 A 與事件 B互不相容，則 (A) ( ) 0PAB ? . (B) ( ) ( ) ( )P AB P A P B? . (C) ( ) 1 ( )P A P B?? . (D) ( ) 1P A B??. （ 8） 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，且 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (0,1)N ， Y 的概率分布為1{ 0 } { 1} 2P Y P Y? ? ? ?，記 ()zFZ為隨機(jī)變量 Z XY? 的分布函數(shù)，則函數(shù) ()ZFz的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù) 為 (A) 0. (B)1. (C)2. (D)3. 二、填空題： 9~14小題，每小題 4分，共 24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上 . （ 9） cos3 20lim 11xxeex?? ??? . （ 10） 設(shè) ()yxz x e?? ，則(1,0)zx? ?? . （ 11） 冪級(jí)數(shù)21 ( 1)nnnne xn????? 的收斂半徑為 . （ 12） 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 ()Q QP? ,其對(duì)應(yīng)價(jià)格 P 的彈性 ? ? ，則當(dāng)需求量為 10000件時(shí)，價(jià)格增加 1元會(huì)使產(chǎn)品收益增加 元 . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 66 （ 13） 設(shè) (1,1,1)T?? , (1,0, )Tk?? ，若矩陣 T?? 相似于 3 0 0000000??????，則 k? . (1