【正文】 數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 49 （ 16）（本題滿分 7 分） 計(jì)算二重積分 2 ddD y xy x y???，其中 D 是由直線 , 1, 0y x y x? ? ?所圍成的平面區(qū)域。 （ 17）（本題滿分 10分） 證明：當(dāng) 0 ab?? ? ? 時(shí)， s i n 2 c o s s i n 2 c o sb b b b a a a a??? ? ? ? ? （ 18）（本題滿分 8 分） 在 xOy 坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線 L 過點(diǎn) ? ?1,0M ，其上任意點(diǎn) ? ?? ?,0P x y x? 處的切線斜率與直線 OP 的斜率之差等于 ax （常數(shù) 0a ）。 （Ⅰ） 求 L 的方程； （Ⅱ） 當(dāng) L 與直線 y ax? 所圍成平面圖形的面積為 83 時(shí)，確定 a 的值。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 50 （ 19）（本題滿分 10分） 求冪級數(shù) ? ?? ?1 2111 21n nnxnn? ???? ?? 的收斂域及和函數(shù) ()sx 。 （ 20）（本題滿分 13分） 設(shè) 4 維向量組 ? ? ? ? ? ?T T T1 2 3 41 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 ,a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?T4,4,4,4 a? 問 a 為何值時(shí) 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 線性相關(guān)？當(dāng) 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 線性相關(guān)時(shí)，求其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出。 （ 21）（本題滿 分 13分） 設(shè) 3階實(shí)對稱矩陣 A 的各行元素之和均為 3，向量 ? ? ? ?TT121 , 2 , 1 , 0 , 1 , 1??? ? ? ? ?是線性方程組 0Ax? 的兩個(gè)解。 （ Ⅰ ） 求 A 的特征值與特征向量； （ Ⅱ ） 求正交矩陣 Q 和對角矩陣 ? ,使得 TQ AQ?? ； （ Ⅲ ） 求 A 及 632AE???????，其中 E 為 3階單位矩陣。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 51 （ 22）（本題滿分 13分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 ? ?1 , 1 021 , 0 240,Xxf x x? ? ? ????? ? ??????　 其 他， 令 ? ?2 ,Y X F x y? 為二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的分布函數(shù)。 （ Ⅰ ）求 Y 的概率密度 ??Yfy； （ Ⅱ ） Cov( , )XY ； （ Ⅲ ） 1,42F???????。 （ 23）（本題滿分 13分） 設(shè)總體 X 的概率密度為 ? ?, 0 1,。 1 ,1 2 ,0,xf x x???????? ? ? ???? 其 他 , 其中 ? 是未知參數(shù) ? ?01??? ， 1 2 n, ...,X X X 為來自總體 X 的簡單隨機(jī)樣本，記 N 為樣本值 12, ..., nx x x 中小于 1 的個(gè)數(shù)。 （ Ⅰ ）求 ? 的矩估計(jì)； （ Ⅱ ）求 ? 的最大似然估計(jì)。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 52 2020 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、選擇題： 1～ 8小題，每小題 4分，共 32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請把所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置 上 (1) 當(dāng) 0x ?? 時(shí)，與 x 等價(jià)的無窮小量是（） （ A） 1 xe? （ B） ln(1 )x? （ C） 11x?? （ D） 1 cos x? (2) 設(shè)函數(shù) ()fx在 0x? 處連續(xù)，下列 命題錯(cuò)誤的是（） （ A）若0 ()limx fxx?存在，則 (0) 0f ? （ B）若0 ( ) ( )limx f x f xx? ??存在，則 (0) 0f ? （ C）若0 ()limx fxx?存在，則 39。(0)f 存在 （ D）若0 ( ) ( )limx f x f xx? ??存在，則 39。(0)f 存在 (3) 如圖，連續(xù) 函數(shù) ()y f x? 在區(qū)間 ? ? ? ?3, 2 , 2,3?? 上的圖形分別是直徑為 1的上、下半圓周，在區(qū)間 ? ? ? ?2,0 , 0,2? 上圖形分別是直徑為 2的上、下半圓周，設(shè)0( ) ( ) ,xF x f t dt??則下列結(jié)論正確的是（） （ A） 3(3) ( 2)4FF? ? ? （ B） 5(3) (2)4FF? 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 53 （ C） 3( 3) (2)4FF?? （ D） 5( 3) ( 2)4FF? ? ? ? (4) 設(shè)函數(shù) ( , )f xy 連續(xù)，則二次積分 1sin2 ( , )xdx f x y dy???? 等于（） （ A） 10 arcsin ( , )ydy f x y dx?? ??? （ B） 10 arcsin ( , )ydy f x y dx?? ??? （ C） 1 a rc s in0 2 ( , )ydy f x y dx?? ??? （ D） 1 a rc s in0 2 ( , )ydy f x y dx?? ??? (5) 設(shè)某商品的需求函數(shù)為 160 2Q ???，其中 Q ， ? 分別表示需要量和價(jià)格，如果該商品需求彈性的絕對值等于 1，則商品的價(jià)格是（） （ A） 10 （ B） 20 （ C） 30 （ D） 40 (6) 曲線 1 ln(1 ),xyex? ? ? 漸近線的條數(shù)為（） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 (7) 設(shè)向量組 1? , 2? , 3? 線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（） （ A） 12??? ， 23??? ， 31??? (B) 12+??， 23+??， 31+?? （ C） 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2? ? ? ? ? ?? ? ? (D) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2? ? ? ? ? ?? ? ? (8) 設(shè)矩陣 2 1 11 2 11 1 2A??????? ? ???????， 1 0 00 1 0000B???????????，則 A與 B（） （ A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9) 某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為，則此人第 4 次射擊恰好第 2 次命中目標(biāo)的概率為（） （ A） 23 (1 )pp? (B) 26 (1 )pp? (C) 223 (1 )pp? (D) 226 (1 )pp? (10) 設(shè)隨機(jī)變量 ( , )XY 服從二維正態(tài)分布，且 X 與 Y 不相關(guān)， ( ), ( )xyf x f y 分別表示X, Y 的概率密度，則在 Yy? 條件下， X 的條件概率密度 ()XYf xy 為（） （ A） ()Xfx (B) ()Yfy 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 54 (C) ( ) ( )XYf x f y (D) ()()XYfxfy 二、填 空題： 1116 小題，每小題 4 分，共 24 分，請將答案寫在答題紙指定位置上 (11) 323 1l im ( si n c os ) __ __ __ __2 xx xx xxx?? ?? ???. (12) 設(shè)函數(shù) 123y x? ? ，則 ()(0) __ __ __ __ _ny ? . (13) 設(shè) ( , )f uv 是二元可微函數(shù)， ( , ),yxzfxy?則 zzxyxy???________. (14) 微分方程 31 ()2dy y ydx x x?? 滿足 1 1xy ? ? 的特解為 y? __________. (15) 設(shè)距陣0 1 0 00 0 1 0 ,0 0 0 10000A?????????則 3A 的秩為 _______. (16) 在區(qū)間 (0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù) ,這兩數(shù)之差的絕對值小于 12 的概率為 ________. 三、解答題 ： 17－ 24 小題，共 86 分 .請將解答寫在答題紙指定的位置上 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟 . （ 17）（本題滿分 10分） 設(shè)函數(shù) ()y yx? 由方程 ln 0y y x y? ? ?確定，試判斷曲線 ()y yx? 在點(diǎn)（ 1， 1）附近的凹凸性。 （ 18）（本題滿分 11 分） 設(shè)二元函數(shù) 222. 1 .( , ) 1 , 1 2 .x x yf x y xyxy? ???? ? ? ? ?? ?? 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 55 計(jì)算二重積分 ( , ) .D f x y d???其中 ? ?( , ) 2D x y x y? ? ?。 （ 19）（本題滿分 11 分 ） 設(shè)函數(shù) ()fx， ()gx 在 ? ?,ab 上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又 ()fa＝ ()ga ，()fb＝ ()gb，證明： （Ⅰ ）存在 ( , ),ab?? 使得 ( ) ( )fg??? ； （ Ⅱ ）存在 ( , ),ab?? 使得 39。39。( ) 39。39。( )fg??? 。 （ 20）（本題滿分 10分） 將函數(shù)2 1() 34fx xx? ??展開成 1x? 的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。 （ 21）（本題滿分 11 分） 設(shè)線性方程組 1 2 31 2 321 2 302 0 (1 )40x x xx x a xx x a x? ? ? ??? ? ??? ? ? ?? 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 56 與方程 1 2 32 1 ( 2 )x x x a? ? ? ? 有公共解，求 a 的值及所有公共解。 （ 22）（本題滿分 11 分） 設(shè) 3 階實(shí)對稱矩陣 A 的特征值 1 2 3 11 , 2 , 2 , (1 , 1 , 1 ) T? ? ? ?? ? ? ? ? ?是 A 的屬于 1? 的一個(gè)特征向量。記 534B A A E? ? ?，其中 E 為 3 階單位矩陣。 （ Ⅰ ）驗(yàn)證 1? 是矩陣 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值與特征向量； （ Ⅱ ）求矩陣 B。 （ 23）（本題滿分 11 分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的 概率密度為 2 , 0 1 , 0 1 .( , ) 0, x y x yf x y ? ? ? ? ? ??? ?? 其 他 （ Ⅰ ）求 ? ?2P X Y? ； （ Ⅱ ）求 Z X Y??的概率密度 ()Zfz。 （ 24）（本題滿分 11 分） 設(shè)總體 X 的概率密度為 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 57 1 0,21( 。 ) , 1,2 (1 )0xf x x?????? ?????? ? ???????， 其 他. 其中參數(shù) (0 1)???? 未知， 12, ,... nX X X 是來自總體 X 的簡單隨機(jī)樣本， X 是樣本均值 。 （ Ⅰ ）求參數(shù) ? 的矩估計(jì)量 ? ； （ Ⅱ ）判斷 24X 是否為 2? 的無偏估計(jì)量，并說明理由 。 2020 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、選擇題：