【正文】 2020 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、選擇題： 1～ 8小題，每小題 4分，共 32分，下列每 小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) . （ 1） 設(shè)函數(shù) ()fx在區(qū)間 [1,1]? 上連續(xù)，則 0x? 是函數(shù) 0 ()() x f t dtgx x? ? 的（ ） 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 58 （ A）跳躍間斷點 . （ B）可去間斷點 . （ C）無窮間斷點 . （ D）振蕩間斷點 . （ 2） 如圖 ， 曲線段方程為 ()y f x? ，函數(shù) ()fx在區(qū)間 [0, ]a 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則定積分0 ()a txf xdx?等于（ ） （ A）曲邊梯形 ABOD 面積 . （ B） 梯形 ABOD 面積 . （ C）曲邊三角形 ACD 面積 . （ D）三角形 ACD 面積 . （ 3） 已知 24( , ) xyf x y e ?? ，則 （ A） (0,0)xf? ， (0,0)yf? 都存在 （ B） (0,0)xf? 不存在， (0,0)yf? 存在 （ C） (0,0)xf? 存在， (0,0)yf? 不存在 （ D） (0,0)xf? ， (0,0)yf? 都不存在 （ 4） 設(shè)函數(shù) f 連續(xù)，若 2222()( , )uvDf x yF u v d xd yxy?? ??? ，其中 uvD 為圖中陰影部分，則 Fu? ??（ ） （ A） 2()vf u （ B） 2()vfuu （ C） ()vfu （ D） ()vfuu （ 5） 設(shè) A 為階非 0矩陣， E 為 n 階單位矩陣，若 3 0A? ，則（ ） （ A） EA? 不可逆， EA? 不可逆 . （ B） EA? 不可逆， EA? 可逆 . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 59 （ C） EA? 可逆， EA? 可逆 . （ D） EA? 可逆， EA? 不可逆 . （ 6） 設(shè) 1221A ???????則在實數(shù)域上域與 A 合同的矩陣為（ ） （ A） 2112????????. （ B） 2112????????. （ C） 2112??????. （ D） 1221????????. （ 7） 隨機變量 ,XY獨立同分布，且 X 分布函數(shù)為 ??Fx，則 ? ?max ,Z X Y? 分布函數(shù)為（ ） （ A） ? ?2Fx. （ B） ? ? ? ?F x F y . （ C） ? ? 211Fx??????. （ D） ? ? ? ?11F x F y??? ? ? ?? ? ? ?. （ 8） 隨機變量 ? ?~ 0,1XN ， ? ?~ 1,4YN 且相關(guān)系數(shù) 1XY? ? ，則（ ） （ A） ? ?2 1 1P Y X? ? ? ?. （ B） ? ?2 1 1P Y X? ? ?. （ C） ? ?2 1 1P Y X? ? ? ?. （ D） ? ?2 1 1P Y X? ? ?. 二、填空題： 914小題，每小題 4分，共 24分，請將答案寫在答題紙指定位置上 . （ 9） 設(shè)函數(shù)2 1,() 2 ,x x cfx xcx? ???? ? ???在 ( , )???? 內(nèi)連續(xù)，則 c? . （ 10） 設(shè) 341()1xxfx xx????，則 222 ( ) _ _ _ _ _ _f x dx ??. （ 11） 設(shè) 22{ ( , ) 1}D x y x y? ? ?，則 2()D x y dxdy?????????????????????. （ 12） 微分方程 0xy y???滿足條件 (1) 1y ? 的解是 y? ?????????????????. （ 13） 設(shè) 3階矩陣 A 的特征值為 1， 2， 2， E 為 3階單位矩陣，則 14 _____AE? ?? . （ 14） 設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為 1的泊松分布，則 ? ?2P X EX???????????????????. 三、解答題： 15－ 23小題，共 94分 .請將解答寫在答題紙指定的位置上 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 60 (15) （本題滿分 10分） 求極 限20 1 sinlim lnx xxx?. (16) （本題滿分 10分） 設(shè) ( , )z z x y? 是由方程 ? ?22x y z x y z?? ? ? ? ?所確定的函數(shù)，其中 ? 具有 2階導(dǎo)數(shù)且 1???? 時 . （Ⅰ）求 dz （Ⅱ）記 ? ? 1, zzu x yx y x y????????? ? ???，求 ux?? . (17) （本題滿分 11分） 計算 max( ,1) ,D xy dxdy??其中 { ( , ) 0 2 , 0 2 }D x y x y? ? ? ? ?. (18) （本題滿分 10分） 設(shè) ??fx是周期為 2的連續(xù)函數(shù)， （Ⅰ）證明對任意的實數(shù) t ，有 ? ? ? ?220tt f x dx f x dx? ???； （Ⅱ）證明 ? ? ? ? ? ?20 2xttG x f t f s d s d t???????????是周期為 2的周期函數(shù)． 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 61 (19) （本題滿分 10分） 設(shè)銀行存款的年 利率為 ? ，并依年復(fù)利計算，某基金會希望通過存款 A萬元，實現(xiàn)第一年提取 19萬元，第二年提取 28 萬元， ? ，第 n年提?。?10+9n）萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問 A至少應(yīng)為多少萬元？ (20) （本題滿分 12分） 設(shè) n 元線性方程組 Ax b? ，其中 2221212 nnaaaAaa ??????????，12nxxxx?????????????，100b????????????? （Ⅰ）求證行列式 ? ?1 nA n a?? 。 （ 23）（本題滿分 11 分） 設(shè)二維隨機變量 ( , )XY 的 概率密度為 2 , 0 1 , 0 1 .( , ) 0, x y x yf x y ? ? ? ? ? ??? ?? 其 他 （ Ⅰ ）求 ? ?2P X Y? ； （ Ⅱ ）求 Z X Y??的概率密度 ()Zfz。 （ 21）（本題滿分 11 分） 設(shè)線性方程組 1 2 31 2 321 2 302 0 (1 )40x x xx x a xx x a x? ? ? ??? ? ??? ? ? ?? 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 56 與方程 1 2 32 1 ( 2 )x x x a? ? ? ? 有公共解，求 a 的值及所有公共解。( ) 39。(0)f 存在 (3) 如圖，連續(xù) 函數(shù) ()y f x? 在區(qū)間 ? ? ? ?3, 2 , 2,3?? 上的圖形分別是直徑為 1的上、下半圓周，在區(qū)間 ? ? ? ?2,0 , 0,2? 上圖形分別是直徑為 2的上、下半圓周，設(shè)0( ) ( ) ,xF x f t dt??則下列結(jié)論正確的是（） （ A） 3(3) ( 2)4FF? ? ? （ B） 5(3) (2)4FF? 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 53 （ C） 3( 3) (2)4FF?? （ D） 5( 3) ( 2)4FF? ? ? ? (4) 設(shè)函數(shù) ( , )f xy 連續(xù)，則二次積分 1sin2 ( , )xdx f x y dy???? 等于（） （ A） 10 arcsin ( , )ydy f x y dx?? ??? （ B） 10 arcsin ( , )ydy f x y dx?? ??? （ C） 1 a rc s in0 2 ( , )ydy f x y dx?? ??? （ D） 1 a rc s in0 2 ( , )ydy f x y dx?? ??? (5) 設(shè)某商品的需求函數(shù)為 160 2Q ???，其中 Q ， ? 分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于 1，則商品的價格是（） （ A） 10 （ B） 20 （ C） 30 （ D） 40 (6) 曲線 1 ln(1 ),xyex? ? ? 漸近線的條數(shù)為（） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 (7) 設(shè)向量組 1? , 2? , 3? 線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（） （ A） 12??? ， 23??? ， 31??? (B) 12+??， 23+??， 31+?? （ C） 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2? ? ? ? ? ?? ? ? (D) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2? ? ? ? ? ?? ? ? (8) 設(shè)矩陣 2 1 11 2 11 1 2A??????? ? ???????， 1 0 00 1 0000B???????????，則 A與 B（） （ A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9) 某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為，則此人第 4 次射擊恰好第 2 次命中目標(biāo)的概率為（） （ A） 23 (1 )pp? (B) 26 (1 )pp? (C) 223 (1 )pp? (D) 226 (1 )pp? (10) 設(shè)隨機變量 ( , )XY 服從二維正態(tài)分布，且 X 與 Y 不相關(guān)， ( ), ( )xyf x f y 分別表示X, Y 的概率密度，則在 Yy? 條件下， X 的條件概率密度 ()XYf xy 為（） （ A） ()Xfx (B) ()Yfy 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 54 (C) ( ) ( )XYf x f y (D) ()()XYfxfy 二、填 空題： 1116 小題，每小題 4 分，共 24 分，請將答案寫在答題紙指定位置上 (11) 323 1l im ( si n c os ) __ __ __ __2 xx xx xxx?? ?? ???. (12) 設(shè)函數(shù) 123y x? ? ，則 ()(0) __ __ __ __ _ny ? . (13) 設(shè) ( , )f uv 是二元可微函數(shù)， ( , ),yxzfxy?則 zzxyxy???________. (14) 微分方程 31 ()2dy y ydx x x?? 滿足 1 1xy ? ? 的特解為 y? __________. (15) 設(shè)距陣0 1 0 00 0 1 0 ,0 0 0 10000A?????????則 3A 的秩為 _______. (16) 在區(qū)間 (0,1)中隨機地取兩個數(shù) ,這兩數(shù)之差的絕對值小于 12 的概率為 ________. 三、解答題 ： 17－ 24 小題，共 86 分 .請將解答寫在答題紙指定的位置上 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟 . （ 17）（本題滿分 10分） 設(shè)函數(shù) ()y yx? 由方程 ln 0y y x y? ? ?確定，試判斷曲線 ()y yx? 在點（ 1， 1）附近的凹凸性。 1 ,1 2 ,0,xf x x???????? ? ? ???? 其 他 , 其中 ? 是未知參數(shù) ? ?01??? ， 1