【正文】 如今，在金融史上最具歷史性意義的金融期權(quán)的定價模型最初是由布萊克 (Fisher Black)及斯科爾斯 (Myron Scholes) 在 1973年發(fā)表于美國的著名政治經(jīng)濟學雜志上的一篇文章中提到的，文章名稱為期權(quán)定價與公司債務。然而，在我國境內(nèi)，目前關(guān)于金融期權(quán)定價理論方面的研究仍處于剛剛起步的階段。牟曠凝 [4]則是探討了擬蒙特卡洛方法相較原始蒙特卡洛方法應用于金融期權(quán)定價問題的優(yōu)勢。 解決歐式期權(quán)定價問題主要應用是數(shù)值方法，解決歐式期權(quán)定價問題的數(shù)值法主要有三種 ,分別是由 Cox、 Ross和 Robinstein于 1979年提出的二叉樹圖法，有限差 分方法以及蒙特卡洛模擬算法。同濟大學的姜禮尚教授等人對美式期權(quán)的二叉樹法的收斂性問題也做出了研究，同時，他對于多個資產(chǎn)的美式期權(quán)定價問題也都有相應的研究。主要介紹了期權(quán)的發(fā)展趨勢，說明采用蒙特卡洛方法的優(yōu)勢及意義，同時講解了文章的研究背景及研究意義，論述國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，最后明確天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 3 了本文的研究內(nèi)容以及相應結(jié)構(gòu)安排。 利用蒙特卡洛算法生成歐式期權(quán)定價公式，進而得到基于蒙特卡洛算法下的歐式 期權(quán)價格。 第五章為本文結(jié)論章節(jié)。 中心極限定理是研究隨機變量之和的極限分布在何種情形下是正態(tài)的，并應用正態(tài)分布的良好性 質(zhì)解決實際問題。設(shè) 1? ， 2? ， ?? ， n? 為獨立分布的隨機變量序列，若 ? ? ?????KE ， nK ,2,1 ????則有 11lim1 ??????? ????? ??nK Kn nP，顯然，若 1? ， 2? ， ?? ， n? 是由 同一總體中得到的抽樣，那么由此大數(shù)定律可知樣本均值 ??nK Kn 11 ? ，當 n 很大時，以概率 1 收斂于總體均值 ? 。由于蒙特天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 5 卡洛算法的誕生，在 19 世紀，人們便是用這個方法演變出的投針試驗估算出了圓周率 ? 。 Y=rand(Number,1)。 end end mean(Num) ans = 蒙特卡洛算法的基本原理 蒙特卡洛算法大致可表述為：（ 1）建立一個與求解問題相關(guān)的概率模型，使得所需求得的解的值或者它的函數(shù)能夠表示為所建模型的數(shù)學期望。將該式子解釋的更為通俗一些就是說，我們通過某個試驗，得到 N 個觀察值，分別為 1X ， 2X ， ...，NX ，這在概率統(tǒng)計學中表示為從分布密度函數(shù) ??xf 中，抽取 N 個樣本 1X ， 2X ， ...，NX ，然后計算出 N 個隨機變量的值 ? ?1Xf ， ? ?2Xf ， ...， ? ?NXf ，再將上述這些 函數(shù)值累加起來，并最終計算出他們的算術(shù)平均值作為 A 的蒙特卡洛估計 ? ????N1i iN XfN1A? （ ） 所以說，由以上描述不難看出，蒙特卡洛算法的關(guān)鍵所在就是隨機抽樣。 事實上，在使用蒙特卡洛算法模擬時，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機變量，其中最基本和最重要的隨機變量便是在區(qū)間 ]1,0[ 上的產(chǎn)生的均勻分布的隨 機變量。在計算工具方面，例如表格工具 Excel 中的 Random 指令，數(shù)學工具 Matlab 中的 Randn 函數(shù)等等。設(shè)隨機變量 ? 的方差 ? ? ??? 2??D ，對于標準的正態(tài)分布的上 2/? 分位數(shù) 2/Z? ，有 ????? ??? ?????????? ???????? ??? ?? 12e x p21p 2/ 2/22/ dttnZZZn （ ） 這表明，置信水平 ?1 所對應的漸進置信區(qū)間可以表示為nZ ?? ? ?? 2/n。若兩個隨機變量 1? ， 2? 的數(shù)學期望 ? ? ? ? ??? ?? 21 EE ， 21 ??? ，那么無論從 1? 或 2? 中抽樣均可得到 ? 的蒙特卡洛估計值。除此之外，其收斂速度與待解決的問題的維數(shù)是不相關(guān)的。利用高級計算機進行計算時，使用該方法的程序結(jié)構(gòu)較為簡單，分塊性強，更容易令其實現(xiàn)。就期權(quán)的本質(zhì)而言，它其實指的是在未來的一定的時期內(nèi)可以隨意自由進行買賣 的權(quán)利，是買方向期權(quán)賣方支付一定數(shù)量的金額（權(quán)利金）后，擁有的 在未來的一段時間內(nèi)（特指美式期權(quán)）或未來的某一特定日期（特指歐式期權(quán)），以事先規(guī)定好的價格（履約價格）向期權(quán)賣方購買或出售一定數(shù)量的特定標的物的權(quán)利，但是并不負有期權(quán)必須買進或賣出的義務。本文重點介紹的是歐式期權(quán)，它是按 照交割時間來進行劃分的。目前國內(nèi)的外匯期權(quán)交易幾乎都是采用的歐式期權(quán)合同方式。 亞式期權(quán)從本質(zhì)上看就是創(chuàng)新后的歐式期權(quán)，它不同于歐式期權(quán)，取合約履行日標的資產(chǎn)的價格，而是期權(quán)合約期內(nèi)某段時間標的資產(chǎn)的價格的平均值，同時這段時間被稱為平均期，在對期權(quán)標的資產(chǎn)進行平均時，采用的方法就是算術(shù)平均法或者幾何平均法。所謂看漲期權(quán)就是指期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時間（或在某一確定有效期內(nèi)）以某一確定價格來購買標的資產(chǎn)。而在同時，期權(quán)根據(jù)其內(nèi)在價值的大小又分為了實值期權(quán)、虛值期權(quán)還有兩平期權(quán)三種。 總結(jié)一下，本文以賣權(quán)舉例：首先，由于標的物的市場價格低于其執(zhí)行價格，賣方買進標的物時的價格就會偏低，因而再賣出時價格就是上升，從而獲利，正是這種原因?qū)е铝藢嵵蒂u權(quán)的出現(xiàn)。針對于這三種情況，我們都必須提高警惕，期權(quán)市場誰都說不好，也許今天還是實值期權(quán)，明天可能就變成了虛值期權(quán)了。 標的資產(chǎn)價格 S 。執(zhí)行價格在期權(quán)合約里往往都有相當明確的規(guī)定，是期權(quán)交易所依照特殊的標準以增減的形式給出，這就導致了同一個標的資產(chǎn)確有很多個不同的價格。標的資產(chǎn)的波動率增加意味著期權(quán)的價格也會隨之增加，同時波動率的增加也意味著期權(quán)持有者也就是買方獲利會更多。相反的，剩余時間越少，離到期日越近，期權(quán)價格變動越快。無風險利率是與期權(quán)時間價值成反比的。利率的變化對于期權(quán)價值相對復雜些，不過簡單來說就是利率上升，不但會使得期權(quán)持有者成本增加，同時也增長了市場方面對資產(chǎn)的價格上的預測，繼而直接導致看漲期權(quán)價格上調(diào)，看跌期權(quán)的價格跌落。買家之所以會買入看漲期權(quán)，主要是因為買家在購買前，分析了有關(guān)期貨市場上價格的變動，通過分析，買家會認為期貨市場上該股上漲空間更大一些，所以，買家選擇了持有看漲期權(quán)，之后買家支付了一定金額的權(quán)利金，一旦市場上的價格如意料中大幅上漲，持有者便低收高賣從中獲利。世界上第一個完整的、直至現(xiàn)在都在應用中的期權(quán)定價模型就是問世于 1973 年的，由 Fisher Black 和 Myron Scholes 創(chuàng)立下的 BlackScholes 期權(quán)定價模型，以下簡稱 BS 模型。 不考慮交易費用或稅收等交易成本。 無風險利率 r 為一個固定常數(shù)且對所有期權(quán)到期日都一樣。它的使用范圍偏廣泛，包括歐式看 漲期權(quán)、歐式看 跌期權(quán)、美式看 漲期權(quán)、美式看 跌期權(quán)，只不過，由于它們的終值條件以及邊界條件不盡相同，導 致它們的價值也各不相同。 基于風險中性的期權(quán)定價原理，任何資產(chǎn)在風險中性概率測度下，對于持有者來說都是風險偏好中性的，可用風險中性概率求取期權(quán)的期望回報再將其進行無風險折現(xiàn)，這樣就得到了初始時刻的期權(quán)價值 。一般的，期權(quán)定價蒙特卡洛算法分為以下幾步： （ 1） 在風險中性的測度前提下，模擬期權(quán)標的資產(chǎn)價格的路徑，將時間區(qū)間? ?T,0 分成 n 個子區(qū)間 Ttttt n????????? 2100 ，標的資產(chǎn)價格過程的離散形式是 ? ? ? ? ? ? iiiii Zttttrijij etStS ????????? ?? ??? 112211 ??， ? ?1,0~ NZi （ ） （ 2） 嘗試計算下，在這條路徑下的期權(quán)的到期回報率，并且 可以試圖根據(jù)無風險利率求得期權(quán)到期回報的貼現(xiàn) ? ? ? ?KSrTC jTj ??? ,0m a xe xp （ ） （ 3） 重復前面兩個步驟，可以得到大量的期權(quán)回報的貼現(xiàn)值的抽樣 樣本。假設(shè)現(xiàn)在有一種不含紅利的 A 股票，該股票的初始價格為 20 元，其定價過程符合我們所說的幾何布朗運動，且該支股票的年期預計收益率為 12%，其收益率的年波動率為 25%， 無風險利率 8%，該股執(zhí)行期權(quán)為 2 年，執(zhí)行價格為 20 元， 我們可將所給已知條天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 18 件數(shù)據(jù)化，即為 200?S ， ?? ， ?? ， 2?T ， 20?K ，數(shù)學工具 Matlab編寫代碼如下： rx=randn(100,50)。 sigma=。我們通過路 徑模擬次數(shù)的不斷增加，進而來比較一下不同路徑次數(shù)模擬下的歐式期權(quán)價格，如下表 31 所示： 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 19 表 31 蒙特卡洛算法路徑模擬次數(shù)與期權(quán)價值關(guān)系 模擬次數(shù) 期權(quán)價值 模擬次數(shù) 期權(quán)價值 1000 17000 2020 18000 3000 19000 4000 20200 5000 21000 6000 22020 7000 23000 8000 24000 9000 25000 10000 26000 11000 27000 12020 28000 13000 29000 14000 30000 15000 16000 通過上表，我們不難看出，運用蒙特卡洛 算法，模擬的次數(shù)越多，得到的結(jié)果就會越精確，期權(quán)價格的波動性也就越小，尤其是在 20200 次的路徑模擬之后，期權(quán)價格的波動，基本上穩(wěn)定停留在 [,]這段區(qū)間上了，證明這個時候的期權(quán)價格已經(jīng)很接近期權(quán)本身的真實值了，所得結(jié)果也相對穩(wěn)定下來。在本文第二章中，我們推導出了 BS 模型公式，用該公式我們得到的期權(quán)價格為： 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 20 ? ? 2 221 ?????????????? ??? tTtTrKSd ?? 0 4 9 5 3 0 3 ????? tTdd ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 3 3 5 4 9 0 3 ,0m a x, 21?????????????NeN dNKedSNKSEetSVtTrTQtTr 通過計算可以看出，兩者之間只差了 ，可見蒙特卡洛算法模擬歐式期權(quán)定價問題還是很精確的，只要模擬次數(shù)不斷增加，結(jié)果就會不斷的精確。接下來我們比較下利用控制變量方法進行方差縮減技術(shù)后的效果如下 ： ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?xXYx XbYV a rYV a rXbYV a r YV a r ??? ??????? *2* 1 1 （ ） 這表示，最優(yōu)系數(shù)為 *b 時，一般方法的模擬次數(shù)是 n ，但是使用改進后的控制變量法縮減方差后的模擬次數(shù)僅需要 ? ?21 XYn ?? 次就可以了，又因為 ? ?YXCov , 和天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 22 ? ?XVar 在一般情況下都是未知數(shù)，所以需要估測隨機變量 YX, 的獨立樣本，即 ? ? ? ??? ??? niin XXXV a r121 （ ） ? ? ? ?? ??? ???? nii n YYXXYXC o v1 1, （ ） 值得說明的是，如果控制變量方差技術(shù)效果明顯的話，我們就需要在解決問題時，找出與所要研究的問題的關(guān)聯(lián)性最大的控制變量，映射到實際期權(quán)問題中，也就是讓我們使用標的資產(chǎn)或者一些類似于歐式期權(quán)的那些有封閉解的簡單期權(quán)作為控制變量。 下面我們來做關(guān)于期權(quán)的進一步應用分析，首先，對偶變量法要模擬出兩組衍生證券的價值和，其一當然是用蒙特卡洛傳統(tǒng)方法得到，第二種就是改變了抽樣樣本的自身的符號從而得到的結(jié)果，最終模擬值就是取了兩種方式的平均值。而后者條件蒙特卡洛模擬方法就是用特殊條件下的隨機變量的期望值取締原一般條件下的隨機變量期望進行的模擬計算，這樣更有利于增加估計值的精確程度。 X=randn(Number_Data,1)。,39。它的具體操作步驟如下： 首先選擇 m 個基 mbbb , 21 ??? ，一般的，都是選擇自然界前 m 個素數(shù)。其分布函數(shù)可以表示為下式： ? ? dtexY x t?????? 2221? （ ） 由（ ）式可知，累積標 準正態(tài) 分布的 Y 軸理論上是服從單位 1 上的均勻分布的，我們可以通過已知的 Y 軸上的得到的值直接從 X 軸上，找到與 Y 軸相對應的X 值，假設(shè)現(xiàn)有一個服從正態(tài)分布的函數(shù) ??xg ，它的概率密度函數(shù)是 ??xf ，概率分布函數(shù)是 ??xF ，則可經(jīng)計