【正文】 ，使用對(duì)偶控制變量法的方差的縮減效果會(huì)更加明顯，但是如果需求解得方程是線性方程的話，那么利用對(duì)偶變量法求得的估量值的誤差就為零，也就是可以直接求得真實(shí)值了。不難看出，前者本質(zhì)上就是增大了對(duì)估計(jì)值更有用的隨機(jī)抽樣出現(xiàn)的概率，這樣做的目的確保了估計(jì)值模擬效率的提高。 為了看得更直觀些，我們嘗試用 Matlab 生成隨機(jī)點(diǎn)在平面上的分布情況，見下圖（利用數(shù)學(xué)軟件 Matlab 生成的 1000 個(gè)點(diǎn)的隨機(jī)分布圖）天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 24 圖 41 生成 1000個(gè)隨機(jī)數(shù)的分布圖 圖 41生成代碼如下： Number_Data=100。r.39。例如，將 n 維的Halton 序列可以表示成 nhhh , 21 ??? ，不難看出，其中的每一個(gè) 隨機(jī)數(shù)都會(huì)是一個(gè) n天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 25 維向量，即表示為 ? ?iniii hhhh , 21 ???? 。我們都知道累計(jì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 密 度函數(shù)的積分。 任取一個(gè)整數(shù) n ，使它成為基是 jb 的數(shù)位，表示為 ? ??? ??Iiiji bnan0， 這樣于隨機(jī)數(shù)序列中的某個(gè)元素的第 j 個(gè)向量就為 ? ? ? ?10??? ?? ?jjIi ijn bnax ，為了更直觀些，下面我們來舉個(gè)例子：我們?nèi)?3?m ，表示是 3 維的隨機(jī)數(shù)序列，取自然界的前三個(gè)素?cái)?shù)為 5，取數(shù)字 17?n ，基于 5 為底，則可 以表示為 21000117? ，312217? ， 53217? ，將其反序分別為， 1000 22 23，再在數(shù)字前面加上小數(shù)點(diǎn)，便得到了 Halton 序列 ? ?532 2 0 0 0 ，? ，經(jīng)計(jì)算得 ? ?5 2 0 0 0 ,9 2 5 9 2 ,5 0 1 9 5 ?h ，再取數(shù)字 18?n ，仿照上述過程，依次循環(huán)就可得到整個(gè)序列了。MarkerSize39。 Y=randn(Number_Data,1)。 擬蒙特卡洛算法 在本文第二章中就有介紹經(jīng)典的蒙特卡洛算法在取隨機(jī)數(shù)時(shí)，大多是采用Excel 軟件 rand 函數(shù)和數(shù)學(xué)工具 Matlab 中的 randn 函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，這些函數(shù)里面給出的隨機(jī)數(shù)雖然滿足于大部分的隨機(jī)要求，但是這些 生成的隨機(jī)數(shù)字仍然會(huì)存在一些無法忽略的較大偏差，有可能隨機(jī)性較強(qiáng)，數(shù)字分布的并不均勻，因此為了避免這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，我們有必要對(duì)蒙特卡洛算法進(jìn)行改進(jìn)，我們引入一個(gè)新的概念叫做低偏差序列，該序列的作用主要就是可以使得生成的隨機(jī)數(shù)均勻化，隨機(jī)數(shù)的均勻的程度越高，產(chǎn)生的偏差也就會(huì)越小，對(duì)于經(jīng)典蒙特卡洛算法改進(jìn)的效果就越是明顯。 除了上述兩種縮減方差技術(shù)外，我們還有重要性抽樣技術(shù)以及條件蒙特卡洛路徑模擬兩種手段。 對(duì)偶變量法 提到縮減方差技術(shù)，對(duì)偶變量法也是其中之一，它利用的是變量間的負(fù)相關(guān)性，例如說對(duì)于積分 ? ?dyyfY ?? 10，利用原始蒙特卡洛算法就可以得到如下關(guān)于 Y的兩個(gè)估計(jì)值： ? ? ???? ??Ni iNi ia YNufNY 1111 （ ） ? ? ???? ???Ni iNi ib YNufNY 139。 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 21 4 蒙特卡洛算法的改進(jìn) 縮減方差技術(shù) 我們已經(jīng)在 節(jié)中討論過蒙特卡洛算法的優(yōu)點(diǎn)了，雖然蒙特卡洛算法在計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí)已經(jīng)很精確了，但是它依然有很多不足的地方，因?yàn)樵撍惴▽?duì)于相對(duì)較復(fù)雜的證券而言，只能通過大量的模擬，否則就會(huì)產(chǎn)生較大誤差，這樣在處理問題上會(huì)有很大的限制，而且在前幾節(jié)中，我們也說過蒙特卡洛算法的收斂速度是 ???????? 21nO ，速度相對(duì)較慢，所以為了提高精度，就得成倍加大試驗(yàn)次數(shù)，這樣會(huì)顯得很繁瑣，正因如此，控制方差就成了蒙特卡洛算法中最為重要的步驟。我們?nèi)〉氖悄M后得到的期權(quán)平均價(jià)格為 。 s=[100*ones(100,1) zeros(100,50)]。 r=。 （ 4） 求得樣本平均值，進(jìn)而得到期權(quán)價(jià)格的蒙特卡洛模擬值 ? ? ? ?m KSrTCmCmjjTmjjMC???????? 11,0m a xe x p1 （ ） 另外，我們還可以通過 以上公式得到蒙特卡洛模擬值與真實(shí)值的概率化誤差邊界，這也是蒙特卡洛方法為期權(quán)定價(jià)的優(yōu)勢之一。蒙特卡洛算法就是一種基于風(fēng)險(xiǎn)中性原理的期權(quán)數(shù)值定價(jià)方法。 歐式看漲、看跌期權(quán)的終邊值條件分別為： 歐式看漲期權(quán)終、邊值條件為 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 14 ? ? ? ?KSTSV T ?? ,0m a x, （ ） ? ???? ???? SS STSV 00, （ ） 通過求解得出歐式看漲期權(quán)的解析解為 ? ? ? ? ? ? ? ?21, dNKedSNtSV tTr ???? （ ） 其中 ? ? dxedN d x????? 2221? ， ? ? ? ?? ?tT tTrKSd ? ???? ? ? 2//ln 21， tTdd ??? ?12 ， T為期權(quán)的執(zhí)行 日期， K 為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。 股票波動(dòng)率相對(duì)穩(wěn)定。 無風(fēng)險(xiǎn)利率 r 為一個(gè)固定常數(shù)且對(duì)所有期權(quán)到期日都一樣。當(dāng)然，隨著學(xué)術(shù)上的不斷推廣，接下來又相繼產(chǎn)生了多種期權(quán)定價(jià)方法，如最小二項(xiàng)式定價(jià)方法、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法以及鞅定價(jià)方法等等，但在這些方法中， BS 期權(quán)定價(jià)模型是期權(quán)定價(jià)問題的核心和基礎(chǔ)。如果買方對(duì)市場價(jià)格分析不準(zhǔn)確，有兩種可能，一種是價(jià)格也上漲了，不過 幅度很小，這樣也是可以取得一點(diǎn)利潤的，至少彌補(bǔ)了權(quán)利金的損失，另一種可能就是，市場上的價(jià)格下跌了，賣方選擇不履行約定，那么期權(quán)持有者的損失就是必然的了，不過持有者的最大損失也就是期初支付的權(quán)利金的金額。 期權(quán)的交易原理 首先，買方看準(zhǔn)市場，買入已事先約定好標(biāo)的物價(jià)格的看漲期權(quán)，然后支付少量的權(quán)利金，至此便享有了買入期貨的權(quán)利。當(dāng)其他期權(quán)影響因素固定不變時(shí)，若無風(fēng)險(xiǎn)利率增長，則標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)期增長率有可能會(huì)上升，這就致使期權(quán)買方在未來的某一時(shí)刻收到的現(xiàn)金流現(xiàn)值很有可能會(huì)下降，這樣只會(huì)使得看跌期權(quán)價(jià)值相對(duì)下降，故而，我們得出結(jié)論，無風(fēng)險(xiǎn)利率與看跌期權(quán)價(jià)值成反比，然而，就看漲期權(quán)，我們認(rèn)為無風(fēng)險(xiǎn)利率是與看漲 期權(quán)成正比的。 無風(fēng)險(xiǎn)利率。 距期權(quán)執(zhí)行日的剩余時(shí)間。一般的，在一種期權(quán)交易的開始，交易市場都會(huì)按照特定的價(jià)格間距，給出幾組不同的價(jià)格，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)情況適時(shí)加價(jià)，至于對(duì)于每種期權(quán)到底有多少種價(jià)格，這就取決該項(xiàng)期標(biāo)的資產(chǎn)交易中的波動(dòng)情況了。對(duì)于歐式看漲期權(quán)而言，由于其到期執(zhí)行價(jià)格是固定的，所以說如果期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格上升的話，那么歐式看漲期權(quán)的價(jià)格也會(huì)天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 11 跟隨著增加。 為了更方便于大家的參閱，本文將實(shí)值期權(quán)、兩平期權(quán)以及虛值期權(quán)與買、賣權(quán)制成了表 格 22，其中 S 代表標(biāo)的物的市場價(jià)， K 則代表期權(quán)最終執(zhí)行價(jià)格。其次，由于買進(jìn)標(biāo)的物的市場價(jià)等 于賣出時(shí)的執(zhí)行價(jià)格，賣方從中未盈利，這便是兩平期權(quán)。 實(shí)值期權(quán)，顧名思義，指的就是具有真實(shí)價(jià)格的期權(quán)，也就是說期權(quán)的持有人對(duì)于期權(quán)是立即執(zhí)行的，由于持有者的立即執(zhí)行，致使期權(quán)價(jià)值獲利大于零，故將其稱為實(shí)值期權(quán)。所謂看跌期權(quán)就是指期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時(shí)間（或在某一確定有效期內(nèi)）以某一確定價(jià)格來出售標(biāo)的資產(chǎn)。 由此可見，歐式期權(quán)本少利大，但在獲利的時(shí)間上不具靈活性；相反的，美式期權(quán)雖然靈活，但付費(fèi)十分昂貴。 美式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的有效期內(nèi)，包括期權(quán)到期日在內(nèi)的任何時(shí)間，持有者都可以行使該項(xiàng)權(quán)利。目前市面上的期權(quán)種類主要有三種，分別是：歐式期權(quán)、美式期權(quán)、亞式期權(quán)三類。期權(quán)在金融領(lǐng)域中，實(shí)質(zhì)上是將權(quán)力和義務(wù)分開進(jìn)行定價(jià)的，從而使權(quán)利的受益人在規(guī)定時(shí)間內(nèi)決定是否進(jìn)行交易，行使其本就有的權(quán)利，而義務(wù)方不 允許拒絕。 當(dāng)然，無論什么方法都是有利有弊的，蒙特卡洛算法也不會(huì)存在例外。維數(shù)若要變化，只會(huì)引起抽樣所需的時(shí)間及計(jì)算估計(jì)量的時(shí)間的變化，并不會(huì)影響誤差，這個(gè)優(yōu)點(diǎn)決定了蒙特卡洛算法對(duì)多維問題的適應(yīng)性。為比較其誤差，我們可以假設(shè)獲得 i? 的一個(gè)抽樣所需的機(jī)時(shí)為 1t ，那么在時(shí)間 T 內(nèi)生成的抽樣數(shù) ii tT/n ? ，若使2211n n?? ? ，則需使 2211 tt ?? ? 。實(shí)際上，由此不僅確定了置信區(qū)間，還可以確定蒙特卡洛算法上的概率化誤差邊界，其誤差為n?? ?2/Z，誤差收斂速度是 ? ?2/1?nO 。從嚴(yán)格意義上來講，這種隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生并不是隨機(jī)的，而是根據(jù)確定的遞推公式獲得的，所以被稱之為偽隨機(jī)數(shù)，然而雖然它不是真正意義上的隨機(jī)數(shù)，但也并不會(huì)影響到估算結(jié)果。蒙特卡洛生成的隨機(jī)數(shù)簡而言之就是服從此種均勻分布的隨機(jī)變量。假設(shè) N 取到無限大，根據(jù)大數(shù)定律， NA? 將會(huì)幾乎取代 A 的值，最終作為 A 的近似值存在。（ 2）對(duì)該模型進(jìn)行大量的抽樣數(shù)據(jù)模擬，用抽樣生成的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值作為所求得的解的近似估計(jì)值。 Num=zeros(length(X),1)。 值得一提的是，蒙特卡洛算法生成的數(shù)據(jù)事實(shí)上是偽隨機(jī)數(shù)。 蒙特卡洛算法誕生于 17 世紀(jì)，當(dāng)時(shí)的人們很聰明的知道利用某種事件的發(fā)生頻率來決定事件發(fā)生概率。設(shè) 1? ， 2? ， ?? ， n? 為獨(dú)立分布的隨機(jī)變量序列，若 ? ? ?????KE ， ? ? ??? 2??KD ， nK ,2,1 ???? ，則有 ? ?1,01 Nnn dnK K ???? ??? ，其等價(jià)形式為 ??????? ???????? ???????????????? xnKKndttxnnP2e x p211l i m21????， ?????? x 。主要是對(duì)本文的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)。 蒙特卡洛算法的基本思路是根據(jù)資產(chǎn)價(jià)格呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)，模擬出資產(chǎn)在期權(quán)持有期內(nèi)的價(jià)格走勢，得出資產(chǎn)在期權(quán)到期日的不同價(jià)格分布。 第二章主要介紹與本文相關(guān)的理論知識(shí)基礎(chǔ)?？偨Y(jié)一下也就是說國內(nèi)的研究方向主 要是集中在數(shù)值方法上，對(duì)近似解析方法的研究則是還比較少。蒙特卡洛模擬算法在學(xué)術(shù)界上來說正式誕生是在 1949年，由 。徐博馳和田波平副教授 [5]也研究了隨機(jī)沖擊環(huán)境對(duì)于金融市場上期權(quán)定價(jià)的影響，并指出了 BlackScholes模型是存在一定的局限性的。早在1997年中，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予 ，我國就已經(jīng)開始掀起了關(guān)于金融衍生工具的研究熱潮，自此開 始，我國也不斷地有專著，譯著和與金融衍生物話題相關(guān)的論文問世。天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 2 他們在研究最初的推導(dǎo)過程之前，做了一系列的基本假設(shè)，在這些假設(shè)條件下他們推導(dǎo)出了著名的 BlackScholes模型 微分方程以及期權(quán)定價(jià)公式 ，之后 則 對(duì)該模型做出了相當(dāng)重要的推廣和改進(jìn)。本文主要用到的是早在 19 世紀(jì)就已被提出的蒙特卡洛法，蒙特卡洛法即為利用計(jì)算機(jī)生成大量隨機(jī)數(shù)，進(jìn)而模擬標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，得出相應(yīng)的期權(quán)收益，并將此收益依照無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)，再得到多次貼現(xiàn)后的平均值，最終得出期權(quán)估計(jì)值的方法。金融衍生產(chǎn)品事實(shí)上可以稱之為一種合約，它的價(jià)值是依賴于基礎(chǔ)資產(chǎn)的，隨基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)值的變動(dòng)而變動(dòng)。第五章為 結(jié)論，是對(duì)本文的研究結(jié)果進(jìn)行總結(jié)。第一章為緒論部分，重點(diǎn)闡述了文章的研究背景、研究意義以及國內(nèi)外研究現(xiàn)狀。眾所周知，期權(quán)又被稱為選擇權(quán)，是在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一種衍生性 金融工具。與金融市場相適應(yīng)的一些金融衍生品也孕育而出，而對(duì)于它們的分析研究也就顯得尤為重要，其中期權(quán)更是在金融市場中占有一席之地的。本文針對(duì)基于蒙特卡洛算法下的歐式期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行研究，在研究上共分為五章。第四章為蒙特卡洛算法改進(jìn)方法，主要是闡述了改進(jìn)后的擬蒙特卡洛模擬算法，結(jié)合了 Halton 偏低差序列后，使得期權(quán)價(jià)格更接近歐式看漲期權(quán)價(jià)格的真實(shí)值。金融衍生產(chǎn)品，顧名思義，它是金融產(chǎn)業(yè)的派生物，是一種金融工具。 然而在 BlackScholes 模型中，無風(fēng)險(xiǎn)利率、紅利率、股票波動(dòng)率均為常數(shù)，這顯然不符合現(xiàn)實(shí)，現(xiàn)實(shí)中的期權(quán)不僅形式多變，而且利率也是隨機(jī)的，其標(biāo)的資產(chǎn)的市場價(jià)格更是受各方面因素的影響，所以說 BlackScholes 模型是具有局限性的，并且毫無疑問大量事實(shí)表明通過 BlackScholes 模型得到的期權(quán)價(jià)格與市場實(shí)際價(jià)格是有一定差異的，在對(duì) BlackScholes 模型改進(jìn)的過程中，有幾種最為主要的期權(quán)研究方法相應(yīng)而出，分別為：蒙特卡洛法、倒向隨機(jī)微分方程法、鞅方法、二叉樹法以及有限差分法?，F(xiàn)