【正文】 ? ? 1?lim ????? ?AAP NN （ ） 可以看出，當(dāng) ???N 時(shí)， NA? 收斂于 A 。近年來，科技進(jìn)步，隨著高速電子計(jì)算機(jī)的問世，使得運(yùn)用蒙特卡洛算法模擬大量數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)成為可能。 得出估計(jì)值后，通過中心極限定理，我們就可以得到估計(jì)的誤差量了。在對(duì)同一個(gè) ? 進(jìn)行 抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固定? ，將 n 增大 100 倍；要么固定 n 將 ? 減小 10 倍。 蒙特卡洛算法的優(yōu)缺點(diǎn) 蒙特卡洛算法能夠逼真的描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)，并且受幾何條件的限制很小。另外，它還具有同一時(shí)間計(jì)算多個(gè)方案和多個(gè)未知變化量的能力， 且其誤差容易確定。 關(guān)于期權(quán)的一些介紹 期權(quán)的概念 期權(quán)，也可以稱之為選擇權(quán)，它其實(shí) 是一種在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一款非常實(shí)用的衍生性金融工具。 表 21 期權(quán)交易中買賣雙方的權(quán)利與義務(wù)關(guān)系表 買方 賣方 權(quán)利與義務(wù)關(guān)系 有權(quán)利無義務(wù) 有義務(wù)無權(quán)利 期權(quán)費(fèi) 支出 收入 履行合約 主動(dòng)決定 被動(dòng)接受 最大損失 期權(quán)費(fèi)或期權(quán)金 無限 最大獲利 無限 期權(quán)費(fèi)或期權(quán)金 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 9 期權(quán)的分類 期權(quán)由于其交易方式、交易方向以及標(biāo)的物等方面的不同，導(dǎo)致產(chǎn)生了眾多的期權(quán)品種，只有對(duì)它們進(jìn)行合理的分類，我們才能對(duì)期權(quán)有更多更好的了解。歐式期權(quán)的結(jié)算日是履行合約后的一天到兩天。值得一提的是，雖然大多數(shù)的美式期權(quán)合同允許持 有者在交易日至履行合約日之內(nèi)的任意時(shí)間履行合約，但也存在少數(shù)美式期權(quán)合同明確規(guī)定一段比較短的時(shí)間履行合約，比如說“到期日前一周”。 除了以上三種常見期權(quán)，期權(quán)經(jīng)常性的還會(huì)分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)兩種。所謂的內(nèi)在價(jià)值，指的就是在期權(quán)內(nèi)部，零和期權(quán)立刻執(zhí)行的時(shí)候所具有的價(jià)值間的極大值或者極小值，也就是 ? ?? ?0,max ??KS ，在這個(gè)式子中， S 代表的就是標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)格， K 代表的則為期權(quán)執(zhí)行的價(jià)格。 虛值期權(quán)，與實(shí)值期權(quán)和兩平期權(quán)一樣，同樣是期權(quán)的持有者在立即執(zhí)行，其期權(quán)執(zhí)行結(jié)果是致使期權(quán)價(jià)值獲利小于零，此時(shí)持有者處于一種賠了的狀態(tài)，不存在期權(quán)價(jià)值了，故將其稱為虛值期權(quán)。值得一提的是，如果真的遇到了虛值期權(quán)現(xiàn)象，買方多數(shù)會(huì)選擇放棄履行約定權(quán)利，這樣做的話損失的部分并不會(huì)很多，僅僅限制于期權(quán)費(fèi)用而已。 期權(quán)價(jià)格的影響因素 假設(shè) S 是股票的初始價(jià)格， K 是履行合約的執(zhí)行價(jià)格， T 為期權(quán)合約到期的時(shí)間， t 表示目前的時(shí)間， TS 表示為在 T 時(shí)刻的時(shí)候，股票的市場(chǎng)價(jià)格， r 表示為從 T 時(shí)刻到期權(quán)到期執(zhí)行日的無風(fēng)險(xiǎn)利率，利息的話就按照連續(xù)的復(fù)利方式計(jì)算， C 表示購買的一種股票的歐式看漲期權(quán)價(jià)值， P 表示賣出的一種股票的歐式看跌期權(quán)價(jià)值， ? 表示股票價(jià)格產(chǎn)生變化的波動(dòng)率。在到期行使期權(quán)的時(shí)侯，在絕大多數(shù)期權(quán)交易中，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)很接近于持有者手中持有的期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率 ? 。原因就是時(shí)間越充裕，標(biāo)的資產(chǎn)就越會(huì)有充裕的時(shí)間，有更多的機(jī)會(huì)向著對(duì)期權(quán)買家有利的方向變動(dòng)，最后，隨著時(shí)間一點(diǎn)點(diǎn)減少，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格發(fā)生變動(dòng)的概 率也就相應(yīng)減少了。這是人人都想得到的一種最理想的投資理念。并且隨著到期時(shí)間的縮短，期權(quán)價(jià)值也 會(huì)跟隨降低。相對(duì)的，如果期權(quán) 價(jià)格沒有上漲而是下跌了，期權(quán)持有者就可以選擇放棄期權(quán)或者以低價(jià)轉(zhuǎn)讓看漲期權(quán)，這樣做的話最大不過是損失了權(quán)利金而已。所以，期權(quán)定價(jià)一直以來都是金融數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域上最為復(fù)雜的問題之一。 證券允許賣空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。 市場(chǎng)上不存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)。設(shè) ? ?tSVV ,? ， V 是二元可微函數(shù)，若在隨機(jī)過程中， S 滿足如下的隨機(jī)微分方程 ? ? ? ?dWtSdttSSdS , ?? ?? （ ） 則有 ? ? ? ? ? ? dWSVStSdtSVStSSVStStVdV ??????????? ????????? ,21, 2222 ??? （ ） 根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)服從假設(shè)條件中的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，期權(quán)價(jià)值? ?tSVV ,? 的微分形式為 dWSVSdtSVSSVStVdV ??????????? ????????? ??? 222221 （ ） 進(jìn)而，我們可以構(gòu)造出無風(fēng)險(xiǎn)組合 SSVV ????? ，即有 dtrd ??? ，整理后得 0212222 ?????????? rVSVrSSVStV ? （ ） 表達(dá)式（ ）就是表示期權(quán)價(jià)格變化的 BS 模型。同理，根據(jù)伊藤公式可以得到 dWdtrSd ?? ????????? ?? 2ln2 （ ） ? ? ? ? ? ? ? ????????? ?????????? ???????????? ??? tTtTrNWWtTrSS tTtr 222 ,2~2lnln ???? （ ） ? ? ? ????????? ??????????? ?? tTtT WWtTrSS ??2e x p 2 （ ） 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，假設(shè) ? ?2,~ ??? N ， ?? e? ，則 ? 的密度函數(shù)為 ? ? ? ???????????????? ???0002lne x p2 1 22xxxxxp ? ???? （ ） 根據(jù)上述公式，得到標(biāo)的資產(chǎn) TS 的密度函數(shù)如下 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 15 ? ?? ?? ???????????????????????????????????????????????????00022lne x p21222xxtTtTrSxxtTxPt???? （ ） 在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，歐式看漲期權(quán)定價(jià)為： ? ? ? ?? ? ? ?? ?KSEtTrtSV TQ ???? ,0m a xe x p, （ ） ? ?? ?? ?? ?? ?? ?dxtTtTrSxtTxKdxtTtTrSxtTKSEKKTQ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????22222222lne x p222lne x p21,0m a x???????? （ ） 接下來，求解以上風(fēng)險(xiǎn)中性期望，對(duì)（ ）式的右側(cè)第一個(gè)廣義積分做變量替換 ? ?tT tTrSxy ?????????? ??? ??2ln2和 tTyu ??? ? ，可以得到 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?12ln22ln22222222212122lne x p21dNSedueSedueSedxtTtTrSxtTtTrtTtTrKSutTrtTtTrSKutTrK??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? （ ） 再對(duì)等式右側(cè)的第二個(gè)無窮積分，令 ? ?tT tTrSxu ? ????????? ???? ??2lnln2，可求得 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 16 ? ?? ?? ?? ?? ?22lnln22lnln22222222212122lne x p2dKNdueKdueKdxtTtTrSxtTxKtTtTrKSutTtTrSKuK?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? （ ） 將以上求出的計(jì)算結(jié)果帶入期望等式中，最終得到歐 式看漲期權(quán)的價(jià)格公式為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?21,0m a x, dNKedSNKSeEtSV tTrTtTrQ ???? ???? （ ） 其中 ? ?tTtTrKSd ?????????? ??? ??2ln21 ， tTdd ??? ?12 。 由此可知，計(jì)算期權(quán)價(jià)格即就是計(jì)算一個(gè)期望值，蒙特卡洛算法便是用于估計(jì)期望值的，因此可以得到期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛算法。 為了使上面闡述的理論更清楚些，我們舉個(gè)簡(jiǎn)單例子說明。 deltaT=1/50。 end plot(0:1/50:1,s) 使用蒙特卡洛算法模擬出來的路徑如下圖所示 ： 圖 31 A股蒙特卡洛算法路徑模擬圖 通過數(shù)學(xué)工具 Matlab，得到計(jì)算機(jī)計(jì)算出的歐式期權(quán)價(jià)格為 元。但是，大量次數(shù)的模擬仍然會(huì)給計(jì)算機(jī)帶來強(qiáng)大的負(fù)荷，這易使計(jì)算機(jī)發(fā)生死機(jī)狀態(tài)，那么，為了避免這種情況的發(fā)生又不影響期權(quán)價(jià)格的計(jì)算的精度，就引入了一個(gè)新的概念， 叫做邊際模擬價(jià)值，其計(jì)算方法如下式所示： 次模擬期權(quán)價(jià)值的波動(dòng)率邊際模擬價(jià)值 10 00/?，當(dāng)邊際模擬價(jià)值取到很小可以忽略不計(jì)時(shí)，我們就可以認(rèn)為所求值與近似值幾乎一致。 控制變量法 我們現(xiàn)在假設(shè)一隨機(jī)變量 Y 的數(shù)學(xué)期望 ??YE 的蒙特卡洛算法模擬出的估計(jì)量為 Y ，令 ? ?YE 的另一隨機(jī)變量的控制估計(jì)法變量為 CVY ，令 ? ?xCV XbYY ???? ，b 為任意一常數(shù)， X 為任一隨機(jī)變量，且 ? ?XEx ?? ， x? 為任意常數(shù)，同上， ? ?CVYE的蒙特卡洛算法估計(jì)量表示為 ? ?xCV XbYY ???? ，又 ? ? ? ?YEYE CV ? ，可知 ??YE 的無偏估計(jì)量為 CVY ，我們有 ? ? ? ?? ? 222 2 XYXXYYxCV bbXbYVa rYVa r ?????? ?????? （ ） 當(dāng) YXXYX bb ???? 222 ? 時(shí)，新產(chǎn)生的控制估計(jì)變量 CVY 的方差是小于原始隨機(jī)變量Y 的方差的，當(dāng) ? ?XYXYXV ar YXC ovb ? ???? )( ,* 時(shí)，產(chǎn)生的控制估計(jì)變量 CVY 的方差最小，最小方差為 ? ?? ?21 XYYVar ?? 。 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 23 從中，我們可以看出，對(duì)偶變量縮減方差法的比例為： ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?????? 11121212/2121iiiiiiiYV a rYV a rYYV a rYV a rYV a rYV a r （ ） 對(duì)于使用對(duì)偶控制變量法而言，通過（ ）式我們很容易發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng) 0?? 時(shí)，估計(jì)到的方差值才能夠得到縮減，若所估計(jì) 的算術(shù)式為單調(diào)函數(shù)的時(shí)候