高考理科數(shù)學(xué)空間向量及其運(yùn)算復(fù)習(xí)資料-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 向量的加法 、 減法與數(shù)乘向量運(yùn)算 ， 是溝通向量之間內(nèi)在聯(lián)系的重要依據(jù) . 31 ? 4. 空間直線的向量參數(shù)表示式： 是一個(gè)以向量形式表示的直線方程，直線 l上的點(diǎn) P和實(shí)數(shù) t之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 .若取a= ，則向量式 表示 P、 A、B三點(diǎn)共線 . ? 5. 向量的基底表示是向量運(yùn)算的一個(gè)重點(diǎn) .利用三角形法則和平行四邊形法則，將一個(gè)向量分解成兩個(gè)向量的和或差，經(jīng)過(guò)若干次分解，就能得出向量的基底表示 . OP OA t a??AB O P O A t AB??32 第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 第 講 （第一課時(shí)） 33 考點(diǎn) 搜索 ●空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，空間向量的坐標(biāo) ●空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，空間兩點(diǎn)間的距離公式 ●直線的方向向量，平面的法向量高考 高考 猜想 1. 利用空間向量判斷或證明線面平行、垂直 . 2. 利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求空間角和距離 . 34 ? 1. 如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直 ， 且長(zhǎng)都為 1， 則這個(gè)基底叫做_____________， 常用 {i， j， k}來(lái)表示 . ? 2. 在空間選定一點(diǎn) O和一個(gè)單位正交基底{i， j， k}， 以 O為原點(diǎn) ， 分別以 i、 j、 k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸： x軸 、 y軸 、z軸 ， 它們都叫做 ________， 點(diǎn) O叫做原點(diǎn) ， 向量 i、 j、 k都叫做 __________， 單位正交基底 坐標(biāo)軸 坐標(biāo)向量 35 ? 通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做 _________ ,分 別稱為 xOy平面、 yOz平面、 zOx平面 . ? 3. 在空間直角坐標(biāo)系中，記右手拇指指向_____的正方向，食指指向 _____的正方向，如果中指能指向 _____的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系 . ? 4. 在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中 ,對(duì)空間任一向量 a,滿足 a=a1i+a2j+a3k的有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,a3)叫做 a的坐標(biāo) ,簡(jiǎn)記為 a=_________. 坐標(biāo)平面 x軸 y軸 z軸 (a1,a2,a3) 36 ? 5. 在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中，對(duì)空間任一 ? 向量 a，滿足 a=xi+yj+zk的有序?qū)崝?shù)組 (x,y,z) ? 叫做點(diǎn) A的坐標(biāo)，記作 _________,其中 x,y,z ? 分別叫做點(diǎn) A的 _______________________. ? 6. 設(shè) a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則 A(x,y,z) 橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo) 37 ? a+b=________________。b= ____________。 ? (2)在平面 PAD內(nèi)求一 ? 點(diǎn) F，使 EF⊥ 平面 PCB. 33DP AE45 ? 解： (1)以點(diǎn) D為原點(diǎn)，以 DA、 DC、 DP所在直線分別為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(2， 0， 0)， B(2， 2， 0)， C(0， 2， 0). ? 設(shè) E(1， 1， m). ? 所以 =(1， 1， m) ? =(0， 0， 2m). ? 所以 cos〈 ， 〉 ? = 解得 m=1. ? 所以點(diǎn) E的坐標(biāo)是 (1， 1， 1). AEDPAEDP222331 1 2mmm?? ? ?46 ? (2)因?yàn)?F∈ 平面 PAD，所以可設(shè) F(x， 0， z)， ? 則 =(x1， 1， z1). ? 因?yàn)?EF⊥ 平面 PCB， ? 所以 . ? 由 (x1， 1， z1)DA1→＝ 0 ，且 n DA1→＝ 0 ，且 n AC=1， CB=2，側(cè)棱 AA1=1，側(cè)面 AA1B1B的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為 D， ? B1C1的中點(diǎn)為 M. ? 求證： CD⊥ 平面 BDM. ? 證明： 如圖建立直角坐標(biāo)系， ? 則 B( ， 0， 0)， B1( ， 1， 0)， ? A1(0， 1， 1)， D( ， ， )， ? M( ， 1， 0). 題型 3 垂直問(wèn)題的判定與證明 2 22212122256 ? 所以 =( ， ， )， =( ， 1， 1)， ? =(0， ， ). ? 于是有 ? ? 所以 CD⊥ A1B，且 CD⊥ DM. ? 因?yàn)?A1B和 DM為平面 BDM內(nèi)兩條相交直線， ? 所以 CD⊥ 平面 BDM. 1212022C D A B? ? ? ? ?2212CD 12 1AB 2DM 1212210 4 024CD D M? ? ? ? ? ?57 ? 點(diǎn)評(píng)： 利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證空間兩直線垂直問(wèn)題的一般步驟是：先建立空間直角坐標(biāo)系 ， 然后寫(xiě)出 (或求出 )關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo) ， 再計(jì)算出直線所對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo) ， 最后計(jì)算其數(shù)量積 ， 并判斷是否為零 . 58 ? 如圖所示，已知在矩形 ABCD中， ? AB=1， BC=a(a0)， PA⊥ 平面 ABCD， ? 且 PA=1. ? (1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系， ? 并寫(xiě)出點(diǎn) P、 B、 D的坐標(biāo)； ? (2)問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù) a在什么范圍 ? 時(shí)， BC邊上能存在點(diǎn) Q， ? 使得 PQ⊥ QD？ 59 ? 解： (1)以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB、 AD、 AP ? 所在直線分別為 x、 y、 z軸建立坐標(biāo)系， ? 如圖所示 . ? 因?yàn)?PA=AB=1， BC=a， ? 所以 P(0， 0， 1)， B(1， 0， ? 0)， D(0， a， 0). ? (2)設(shè)點(diǎn) Q(1， x， 0)， ? 則 =(1,xa,0), =(1,x,1). DQ QP60 ? 由 =0，得 x2ax+1=0. ? 顯然當(dāng)該方程有實(shí)數(shù)解時(shí)， ? BC邊上才存在點(diǎn) Q， ? 使得 PQ⊥ QD，故 Δ=a24 ≥ 0. ? 因?yàn)?a0，故 a的取值范圍為［ 2,+∞). 18
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