【正文】 兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè) ，綻開整理 ，比較系數(shù)有 ，所以 ，所以 是等比數(shù)列，公比為 ，首項(xiàng)為 。,②已知三條邊分別是3 cm，4 cm，7 cm，解三角形. 活動(dòng)：結(jié)合課件、幻燈片等，老師可把同學(xué)分成幾組相互提問正弦定理、余弦定理的內(nèi)容是什么?各式中有幾個(gè)量?有什么作用?用方程的思想寫出全部的變形(包括文字?jǐn)⑹?，讓同學(xué)回答正、余弦定理各適合解決的解三角形類型問題、三角形內(nèi)角和定理、： 解斜三角形時(shí)可 用的定理和公式 適用類型 備注 余弦定理 a2=b2+c22bccosA b2=a2+c22accosB c2=b2+a22bacosC (1)已知三邊 (2)已知兩邊及其夾角 類型(1)(2)有解時(shí)只有一解 正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R (3)已知兩角和一邊 (4)已知兩邊及其中一邊的對角 類型(3)在有解時(shí)只有一解，類型(4)可有兩解、一解或無解 三角形面積公式 S=12bcsinA =12acsinB =12absinC (5)已知兩邊及其夾角 對于正弦定理，老師引導(dǎo)同學(xué)寫出其變式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，老師要引導(dǎo)同學(xué)寫出其變式(然后老師打出幻燈片)：∠A90176。∠A90176。22≈ 1. ∵0176。. p= 于是C=180176。)=176。+176。 (2)求△ABC的面積. 活動(dòng)：老師與同學(xué)一起共同探究本例，通過本例帶動(dòng)正弦定理、余弦定理的學(xué)問串聯(lián)，引導(dǎo)同學(xué)觀看條件b=acosC，假如利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有2RsinB=2RsinA?，則有b=a?a2+b2c22ab，+B+C=180176。的直角三角形. 方法二：∵b=acosC， ∴由余弦定理，得b=a?a2+b2c22ab， 2b2=a2+b2c2，即a2=b2+c2. 由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90176。=49， ∴b2+5b24=0. 解得b=3.(負(fù)值舍去). 由正弦定理：asinA=2R，即7sin120176?！螦CB=∠BDC=45176。所以∠ACD=30176。+ 45176。(75176。=DCsin60176。=(3)2+(6+22)2236+22624= 5，所以AB=5. (2)S△ABD=12ADBDsin75176。+60176。30176。+15176。二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，此題要求同學(xué)熟識相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時(shí)進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形. 證法一： (化為三角函數(shù)) a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC. 所以原式得證. 證法二： (化為邊的等式) 左邊=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2b22ac+b2?2a2R?b2+c2a22bc=ab2Rc(a2+c2b2+b2+c2a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC. 點(diǎn)評：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要留意三角函數(shù)公式的運(yùn)用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦兩角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB?！郻=60176。BC，b、c是方程x223x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△ABC的面積為32，求△ABC的三邊長. 解答：=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2， 由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB， ∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B. ∴sinA?cosA=sinB?cosB， 即sin2A=sin2B. ∴A+B=90176。假如小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角。知道解三角形問 題的幾種情形. ，提高數(shù)學(xué)語言的表達(dá)力量，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等學(xué)問間的關(guān)系，加深對數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的熟悉。則cosC=0，這時(shí)余弦定理變?yōu)閏2=a2+，余弦定理是勾股定理的推廣。 ②已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類問題是第三邊確定，因而其他兩個(gè)角也確定，. 把正弦定理和余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，：假如已知的是三角形的三邊和一個(gè)角的狀況，而求另兩角中的某個(gè)角時(shí)，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么這兩種方法哪個(gè)會(huì)更好些呢?老師與同學(xué)一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以依據(jù)余弦值直接推斷角是銳角還是鈍角，但仍要依據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小，. 爭論結(jié)果： (1)、(2)、(3)、(6)見活動(dòng). (4)余弦定理的另一種表達(dá)形式是： cosA=b2+c2a22bccosB=c2+a2b22cacosC=a2+b2c22ab (5)利用余弦定理可解決兩類解三角形問題： 一類是已知三角形三邊，另一類是已知三角形兩邊及其夾角. 應(yīng)用示例 例1如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120176?；颉螦≈176。≈. 所以△ABC的面積≈123≈. 點(diǎn)評：在既可應(yīng)用正弦定理又可應(yīng)用余弦定理時(shí)， 角是鈍角時(shí)，用余弦定理可以馬上判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定. 變式訓(xùn)練 在△ABC中，已知a=14，b=20，c=12，求A、B和C.(精確到1176。(A+C)≈180176。. 例3如圖，△ABC的頂點(diǎn)為A(6,5)，B(2,8)和C(4,1)，求∠A.(176。求c及S△ABC. 活動(dòng)：依據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C，再利用正弦定理求出邊c，而三角形面積由公式S△ABC=，可利用余弦定理b2=c2+a22cacosB建立關(guān)于c的方程，亦能達(dá)到求c的目的. 解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60176。C2=176。而解法二更有耐人尋味之處，體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處，即可以用之建立方程，從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決，故解法二應(yīng)引起同學(xué)的留意. 綜合上述例題，要求同學(xué)總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍。=c2，即a2+b2ab=4， 又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3，所以12absinC=3，ab=4. 聯(lián)立方程組a2+b2ab=4，ab=4，解得a=2，b=2. (2)由正弦定理及已知條件，得b=2a， 聯(lián)立方程組a2+b2ab=4，b=2a，解得a=233，b=433. 所以△ABC的面積S=12absinC=233. 知能訓(xùn)練 △ABC中，已知C=120176。. 課堂小結(jié) ，然后再讓同學(xué)用文字語言敘述余弦定理，精確?????理解其實(shí)質(zhì)，并由同學(xué)回顧可用余弦定理解決哪些解三角形的問題. ：從方程的觀點(diǎn)來分析，余弦定理的每一個(gè)等式都包含了四個(gè)不同的量，知道其中三個(gè)量，從方程的角度進(jìn)行各種變形，達(dá)到辨明余弦定理作用的目的. ，定性發(fā)覺→定量探討→得到定理. 作業(yè) 課本習(xí)題1—1A組6。 ②依據(jù)cosA=b2+c2a22bc，求出角A。求出角C。 176。則A=__________. (2)在△ABC中，三個(gè)角A，B，C的對邊邊長分別為a=3，b=4，c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為__________. △ABC中，若(a+b+c)(a+bc)=3ab，并且sinC=2sinBcosA，試推斷△ABC的外形. △ABC中，設(shè)三角形面積為S，若S=a2(b c)2，求tanA2的值. 參考答案： 　解析：由b2bc2c2=0，即(b+c)(b2c)=0，得b=2c。由余弦定理，有 c2=a2+b22abcosC=3+923332=3， ∴a=c，則A=C=30176。 ，則該雙曲線的離心率等于 。 上一點(diǎn) 到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 ，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 。 1. 已知雙曲線 的焦點(diǎn)到漸近線的距離是其頂點(diǎn)到漸近線距離的2倍，則該雙曲線的離心率 2. 已知雙曲線 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在雙曲線上，且 ，則點(diǎn) 到 軸的距離為 。 重點(diǎn)：正余弦定理的證明和應(yīng)用 難點(diǎn)：利用向量學(xué)問證明定理 (二)教學(xué)目標(biāo) (1)學(xué)問目標(biāo)： ①要同學(xué)把握正余弦定理的推導(dǎo)過程和內(nèi)容。 (3)情感目標(biāo)：使同學(xué)領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐而又作用于實(shí)踐，培育同學(xué)的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好。 首先提出問題：RtΔABC中可建立哪些邊角關(guān)系? 目的：首先從同學(xué)熟識的直角三角形中引導(dǎo)同學(xué)自己發(fā)覺定理內(nèi)容，猜想，再完成一般性的證明，詳細(xì)環(huán)節(jié)如下： ①引導(dǎo)同學(xué)從SinA、SinB的表達(dá)式中發(fā)覺聯(lián)系。 第二步證明定理： ①用向量方法證明定理：同學(xué)不易想到，設(shè)計(jì)如下： 問題：如何消失三角函數(shù)做數(shù)量積欲轉(zhuǎn)化到正弦利用誘導(dǎo)公式做直角難點(diǎn)突破 實(shí)踐：師生共同完成銳角三角形中定理證明 獨(dú)立：同學(xué)獨(dú)立完成在鈍角三角形中的證明 總結(jié)定理：師生共同對定理進(jìn)行總結(jié)，再熟悉。 例1△ABC中，已知c=10，A=45176。求B和C. 例3△ABC中，a=60，b=50，A=38176。 (4)歸納小結(jié)。實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的情感目標(biāo)。 推斷解的狀況