【正文】 2b2=a2+b2c2，即a2=b2+c2. 由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90176。的直角三角形. (2)∵△ABC的邊長為12，由(1)知斜邊a=12. 又∵△ABC最小角的正弦值為13， ∴Rt△ABC的最短直角邊長為1213=4. 另一條直角邊長為12242=82， ∴S△ABC=12482=162. 點評：以三角形為載體，以三角變換為核心，及正、余弦定理的敏捷運用. 變式訓(xùn)練 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且cosA=45. (1)求sin2B+C2+cos2A的值。 (2)若b=2，△ABC的面積S=3，求a. 解：(1)sin2B+C2+cos2A=1cos(B+C)2+cos2A =1+cosA2+2cos2A1=5950. (2)∵cosA=45，∴sinA=35. 由S△ABC=12bcsinA得3=122c35，解得c=5. 由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得a2=4+2522545=13， ∴a=13. 例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，若a=7，c=5，∠A=120176。，求邊長b及△ABC外接圓半徑R. 活動：老師引導(dǎo)同學(xué)觀看已知條件，有邊有角，可由余弦定理先求出邊b，以及正弦定理和余弦定理各自的作用. 解：由余弦定理，知a2=b2+c22bccosA，即b2+5225bcos120176。=49， ∴b2+5b24=0. 解得b=3.(負值舍去). 由正弦定理：asinA=2R，即7sin120176。=2R，解得R=733. ∴△ABC中，b=3，R=733. 點評：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b，讓同學(xué)體會這種解題方法，并探究其他的解題思路. 變式訓(xùn)練 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，+c2=a2+3bc，求： (1)A的大小。 (2)2sinB?cosCsin(BC)的值. 解：(1)由余弦定理，得cosA=b2+c2a22bc=3bc2bc=32， ∴∠A=30176。. (2)2sinBcosCsin(BC) =2sinBcosC(sinB?cosCcosBsinC) =sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C) =sinA =12. 例3如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75176。，∠ACB=∠BDC=45176。，DC=3，求： (1)AB的長。 (2)四邊形ABCD的面積. 活動：本例是正弦定理、余弦定理的敏捷應(yīng)用，結(jié)合三角形面積求解，難度不大，可讓同學(xué)自己獨立解決，體會正、余弦定理結(jié)合三角形面積的綜合應(yīng)用. 解：(1)因為∠BCD=75176。，∠ACB=45176。，所以∠ACD=30176。. 又因為∠BDC=45176。， 所以∠DAC=180176。(75176。+ 45176。+ 30176。)=30176。.所以AD=DC=3. 在△BCD中，∠CBD=180176。(75176。+ 45176。)=60176。， 所以BDsin75176。=DCsin60176。，BD =3sin75176。sin60176。=6+22. 在△ABD中，AB2=AD2+ BD22ADBDcos75176。=(3)2+(6+22)2236+22624= 5，所以AB=5. (2)S△ABD=12ADBDsin75176。=1236+226+24=3+234. 同理， S△BCD=3+34. 所以四邊形ABCD的面積S=6+334. 點評：本例解答對運算力量提出了較高要求，老師應(yīng)要求同學(xué)“列式工整、算法簡潔、運算正確”，養(yǎng)成規(guī)范答題的良好習(xí)慣. 變式訓(xùn)練 如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90176。，BD交AC于E，AB=2. (1)求cos∠CBE的值。 (2)求AE. 解：(1)因為∠BCD=90176。+60176。=150176。， CB=AC=CD， 所以∠CBE=15176。. 所以cos∠CBE=cos(45176。30176。)=6+24. (2)在△ABE中，AB=2， 由正弦定理，得AEsin(45176。15176。)=2sin(90176。+15176。)， 故AE=2sin30176。cos15176。=2126+24=62. 例4在△ABC中，求證：a2sin2B+b2sin2A=2absinC. 活動：此題所證結(jié)論包含關(guān)于△ABC的邊角關(guān)系，證明時可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式則通過余弦定理。二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，此題要求同學(xué)熟識相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時進行三角函數(shù)式的恒等變形. 證法一： (化為三角函數(shù)) a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC. 所以原式得證. 證法二： (化為邊的等式) 左邊=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2b22ac+b2?2a2R?b2+c2a22bc=ab2Rc(a2+c2b2+b2+c2a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC. 點評：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要留意三角函數(shù)公式的運用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦兩角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB。由角向邊轉(zhuǎn)化，要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二. 變 式訓(xùn)練 在△ABC中，求證： (1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C。 (2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC). 證明：(1)依據(jù)正弦定理，可設(shè) asinA=bsinB= csinC= k， 明顯 k≠0，所以 左邊=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右邊. (2)依據(jù)余弦定理，得 右邊=2(bcb2+c2a22bc+cac2+a2b22ca+aba2+b2c22ab) =(b2+c2 a2)+(c2+a2b2)+(a2+b2c2) =a2+b2+c2=左邊. 知能訓(xùn)練 △ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的三邊分別為a、b、△ABC的面積S=c2(ab)2，則tanC2等于(　　) △ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿意4sin2A+C2cos2B=72. (1)求角B的度數(shù)。 (2)若b=3，a+c=3，且ac，求a、c的值. 答案： 　解析：由余弦定理及面積公式，得 S=c2a2b2+2ab=2abcosC+2ab=12absinC， ∴1cosCsinC=14. ∴tanC2=1cosCsinC=14. ：(1)由題意，知4cos2B4cosB+1=0，∴cosB=12. ∵0b180176。，∴b=60176。. p= (2)由余弦定理，知3=a2+c2ac=(a+c)23ac=93ac， ∴ac=2.① 又∵a+c=3，② 解①②聯(lián)立的方程組，得a=2，c=1或a=1，c=2. ∵ac，∴a=2，c=1. 課堂小結(jié) 老師與同學(xué)一起回顧本節(jié)課我們共同探究的解三角形問題，特殊是已知兩邊及其一邊的對角時解的狀況，通過例題及變式訓(xùn)練，. 老師進一步點出，解三角形問題是確定線段 的長度和角度的大小，解三角形需要利用邊角關(guān)系，三角形中，有六個元素：三條邊、三個角。解三角形通常是給出三個獨立的條件(元素)，求出其他的元素，假如是特別的三角形，如直角三角形，兩個條件(元素)，正弦定理適用于已知兩角一邊，求其他要素。余弦定理適用于已知兩邊和夾角，或者已知三邊求其他要素. 作業(yè) 課本本節(jié)習(xí)題1—1B組7. 補充作業(yè) △ABC中，若tanAtanB=a2b2，試推斷△ABC的外形. △ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，A=60176。，BC，b、c是方程x223x+m=0的兩個實數(shù)根，△ABC的面積為32，求△ABC的三邊長. 解答：=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2， 由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB， ∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B. ∴sinA?cosA=sinB?cosB， 即sin2A=sin2B. ∴A+B=90176。或A=B， 即△ABC為等腰三角形或直角三角形. ，得bc=m，S△ABC=12bcsinA=12msin60176。=34m=32， ∴m=2. 則原方程變?yōu)閤223x+2=0， 解得兩根為x=3177。1. 又BC，∴bc. 故b=3+1，c=31.