【正文】 邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角。+36176。. (1)若△ABC的面積等于3，求a，b。求出第三個(gè)角. 另外，和第二種情形完全一樣，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)角求出后，可以依據(jù)正弦定理求出第二個(gè)角，但仍舊需留意要先求較小邊所對(duì)的銳角. (5)已知三角，解△ABC. 解：滿意條件的三角形可以作出無窮多個(gè)，故此類問題解不. 3.“可解三角形”與“需解三角形” 解斜三角形是三角函數(shù)這章中的一個(gè)重要內(nèi)容，有些同學(xué)面對(duì)較為簡單(即圖中三角形不止一個(gè))的斜三角形問題，這既延長了思索時(shí)間，“可解三角形”和“需解三角形”這兩個(gè)概念，則情形就不一樣了. 所謂“可解三角形”，是指已經(jīng)具有三個(gè)元素(至少有一邊)的三角形。 ：若 是橢圓 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) 是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線 的斜率都存在，并記為 時(shí)，那么 之積是與點(diǎn) 位置無關(guān)的定值，試對(duì)雙曲線 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。使同學(xué)的綜合力量得到提高。 可能消失的狀況：兩個(gè)同學(xué)都做對(duì)，則連續(xù)為同學(xué)供應(yīng)展現(xiàn)的空間，讓同學(xué)來分析看似一樣的條件，為何①二解②一解狀況，假如第二同學(xué)也做出兩組解，則讓其他同學(xué)樂觀參加評(píng)判，發(fā)覺問題，找出對(duì)策。 (6)課堂總結(jié)，布置作業(yè)。求b. (同學(xué)口答、老師板書) 設(shè)計(jì)意圖：①加深對(duì)定理的熟悉。 ③了解向量學(xué)問的應(yīng)用。 的 軸在 軸上， 軸在 軸上，實(shí)軸長等于 ，虛軸長等于 ，焦距等于 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ， 漸近線方程是 ，離心率 ，若點(diǎn) 是雙曲線上的點(diǎn)，則 ， 。AC，求出角B. 求出第三邊c后，往往為了計(jì)算上的便利，應(yīng)用正弦定理求角，但為了避開爭論角是鈍角還是銳角，應(yīng)先求較小邊所對(duì)的角(它肯定是銳角)，當(dāng)然也可以用余弦定理求解. (3)已知兩邊及其中一條邊所對(duì)的角，如a、b、A，解△ABC. 解：①asinA=bsinB，經(jīng)過爭論求出B。=csinC，得c1=3，c2=5， ∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103. 解法二：由余弦定理，得b2=c2+a22cacosB， ∴72=c2+8228ccos60176。. ∵cosC=a2+b2c22ab=142+20212221420=113140≈ 1， ∴C≈36176。這些數(shù)學(xué)思想是對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)問的理性的、本質(zhì)的、高度抽象的、概括的熟悉，具有普遍的指導(dǎo)意義，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分，有利于加深同學(xué)對(duì)詳細(xì)數(shù)學(xué)學(xué)問的理解和把握. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：把握余弦定理。 (2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC). 證明：(1)依據(jù)正弦定理，可設(shè) asinA=bsinB= csinC= k， 明顯 k≠0，所以 左邊=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右邊. (2)依據(jù)余弦定理，得 右邊=2(bcb2+c2a22bc+cac2+a2b22ca+aba2+b2c22ab) =(b2+c2 a2)+(c2+a2b2)+(a2+b2c2) =a2+b2+c2=左邊. 知能訓(xùn)練 △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊分別為a、b、△ABC的面積S=c2(ab)2，則tanC2等于(　　) △ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿意4sin2A+C2cos2B=72. (1)求角B的度數(shù)。BD交AC于E，AB=2. (1)求cos∠CBE的值。 所以∠DAC=180176。180176?！郻≈176。 解法2：由已知遞推式，得 ，上述兩式相減，得 ，因此，數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。有的數(shù)列可以依據(jù)前幾項(xiàng)觀看出通項(xiàng)公式。 解讀： ：在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為： (數(shù)列 的前n項(xiàng)的和為 ). 解讀： 解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，查找周期。所以 ，即 ，所以 ?；騜≈176。). 解：(1)方法一：∵b=acosC， ∴由正弦定理，得sinB=sinA?cosC. 又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC， 即cosA?sinC=0. 又∵A、C∈(0，π)，∴cosA=0，即A=π2. ∴△ABC是A=90176。(75176。 (2)求AE. 解：(1)因?yàn)椤螧CD=90176。 (2)若b=3，a+c=3，且ac，求a、c的值. 答案： 　解析：由余弦定理及面積公式，得 S=c2a2b2+2ab=2abcosC+2ab=12absinC， ∴1cosCsinC=14. ∴tanC2=1cosCsinC=14. ：(1)由題意，知4cos2B4cosB+1=0，∴cosB=12. ∵0b180176。理解余弦定理的推導(dǎo)及其另一種形式，并能應(yīng)用它們解三角形. 教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的證明及其基本應(yīng)用以及結(jié)合正弦定理解三角形. 課時(shí)支配 2課時(shí) 教學(xué)過程 第1課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.(類比導(dǎo)入)在探究正弦定理的證明過程中，從直角三角形的特別情形入手，然后將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再適當(dāng)運(yùn)用勾股定理進(jìn)行探究，這種導(dǎo)入比較自然流暢，易于同學(xué)接受. 思路2.(問題導(dǎo)入)假如已知一個(gè)三角形的兩條邊及其所夾的角，依據(jù)三角形全等的推斷方法，這個(gè)三角形是大小、外形完全確定的三角形，能否把這個(gè)邊角關(guān)系精確?????量化出來呢?也就是從已知的兩邊和它們的夾角能否計(jì)算出三角形的另一邊和另兩個(gè)角呢?依據(jù)我們把握的數(shù)學(xué)方法，比如說向量法，坐標(biāo)法，三角法，幾何法等，類比正弦定理的證明，你能推導(dǎo)出余弦定理嗎? 推動(dòng)新課 新知探究 提出問題 (1)通過對(duì)任意三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角量化，我們發(fā)覺了正弦定理，依據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、? (2)能否用平面幾何方法或向量方法或坐標(biāo)方法等探究出計(jì)算第三邊長的關(guān)系式或計(jì)算公式呢? (3)余弦定理的內(nèi)容是什么?你能用文字語言敘述它嗎?余弦定理與以前學(xué)過的關(guān)于三角形的什么定理在形式上特別接近? (4)余弦定理的另一種表達(dá)形式是什么? (5)余弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題?怎樣求解? (6)正弦定理與余弦定理在應(yīng)用上有哪些聯(lián)系和區(qū)分? 活動(dòng)：依據(jù)同學(xué)的認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合課件“余弦定理猜想與驗(yàn)證”，老師引導(dǎo)同學(xué)仍從特別情形入手，通過觀看、猜想、證明而推廣到一般. 如下圖，在直角三角形中，依據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理，那么對(duì)于任意三角形，能否依據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面，我們依據(jù)學(xué)校所學(xué)的平面幾何的有關(guān)學(xué)問來討論這一問題. 如下圖，在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，試依據(jù)b、c、∠A來表示a. ，故作CD垂直于AB于點(diǎn)D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理通過CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB，AD表示，進(jìn)而在Rt△： 過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則在Rt△CDB中，依據(jù)勾股定理，得 a2=CD2+BD2. ∵在Rt△ADC中，CD2=b2AD2， 又∵BD2=(cAD)2=c22c?AD+AD2， ∴a2=b2AD2+c22c?AD+AD2=b2+c22c?AD. 又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA， ∴a2=b2+c22bccosA. 類似地可以證明b2=c2+a22cacosB. c2=a2+b22abcosC. 另外，當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論. 這就是解三角形中的另一個(gè)重要定理——，用向量的方法探究余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量學(xué)問的工具性作用. 老師與同學(xué)一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式消失的，又涉及邊長問題，同學(xué)很簡單想到向量的數(shù)量積的定義式：a?b=|a||b|cosθ，其中θ為a，b的夾角. 用向量法探究余弦定理的詳細(xì)過程如下： 如下圖，設(shè)CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=ab， |c|2=c?c=(ab)?(ab) =a?a+b?b2a?b =a2+b22abcosC. 所以c2=a2+b22abcosC. 同理可以證明a2=b2+c22bccosA， b2=c2+a22cacosB. 這個(gè)定理用坐標(biāo)法證明也比較簡單，為了拓展同學(xué)的思路，老師可引導(dǎo)同學(xué)用坐標(biāo)法證明，過程如下： 如下圖，以C為原點(diǎn)，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(bcosC，bsinC)，依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式 AB=(bcosCa)2+(bsinC0)2， ∴c2=b2cos2C2abcosC+a2+b2sin2C， 整理，得c2=a2+b22abcosC. 同理可以證明：a2=b2+c22bccosA， b2=c2+a22cacosB. 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即 a2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosBc2=a2+b22abcosC 余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，每一個(gè)等式中都包含四個(gè)不同的量，它們分別是三 角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，得到余弦定理的另一種形式：