【正文】 小值為－ 2. 規(guī)范解答 2——如何解不等式恒成立問題 【問題研究】 在恒成立的條件下，如何確定參數(shù)的范圍是歷年來高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，近年來在新課標(biāo)地區(qū)的高考命題中，由于三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)知識(shí)的滲透，使原來的分離參數(shù)法、根的分布法增添了思維難度，因而含參數(shù)不等式的恒成立問題常出現(xiàn)在綜合題的位置 . 【解決方案】 解決這類問題的關(guān)鍵是將恒成立問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，或者區(qū)間根的分布問題，進(jìn)而運(yùn)用 最值原理或者區(qū)間根原理使問題獲解，常用方法還有函數(shù)性質(zhì)法，分離參數(shù)法等 . 【 示例 】 ?(本題滿分 12分 )已知函數(shù) f(x)＝ x2－ 2ax＋ 2，當(dāng) x∈ [－ 1，＋ ∞ )時(shí)， f(x)≥ a恒成立，求 a 的取值范圍． 利用函數(shù)性質(zhì)求 f(x)的最值，從而解不等式 f(x)min≥ a，得 a 的取值范圍．解題過程中要注意 a 的范圍的討論． [解答示范 ] ∵ f(x)＝ (x－ a)2＋ 2－ a2， ∴ 此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為 x＝ a(1 分 ) (1)當(dāng) a∈ (－ ∞ ，－ 1)時(shí)， f(x)在 [－ 1， ＋ ∞ )上單調(diào)遞增， ∴ f(x)min＝ f(－ 1)＝ 2a＋ 3.(3 分 ) 要使 f(x)≥ a 恒成立，只需 f(x)min≥ a，即 2a＋ 3≥ a， 解得 a≥ － 3，即－ 3≤ a＜－ 1.(6 分 ) (2)當(dāng) a∈ [－ 1，＋ ∞ )時(shí)， f(x)min＝ f(a)＝ 2－ a2.(8 分 ) 要使 f(x)≥ a 恒成立，只需 f(x)min≥ a， 即 2－ a2≥ a(10 分 ) 解得－ 2≤ a≤ 1，即－ 1≤ a≤ 1.(11 分 ) 綜上所述，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 [－ 3,1](12 分 ) 本題是利用函數(shù)的性質(zhì)求解 恒成立問題，主要的解題步驟是研究函數(shù)的性質(zhì)，由于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，拓展了這類問題深度和思維的廣度，因此，解答問題時(shí)，一般的解題思路是先通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，得到區(qū)間上對(duì)應(yīng)的函數(shù)最值． 【試一試】 當(dāng) x∈ (1,2)時(shí)，不等式 x2＋ mx＋ 40 恒成立，則 m 的取值范圍是________． 解析 法一 當(dāng) x∈ (1,2)時(shí)，不等式 x2＋ mx＋ 40 可化為： m－ ??? ???x＋ 4x ， 又函數(shù) f(x)＝－ ??? ???x＋ 4x 在 (1,2)上遞增， 則 f(x)－ 5， 則 m≤ － 5. 法二 設(shè) g(x)＝ x2＋ mx＋ 4 當(dāng)－ m2≤ 32，即 m≥ － 3 時(shí)， g(x)＜ g(2)＝ 8＋ 2m， 當(dāng)－ m2＞ 32，即 m＜－ 3 時(shí)， g(x)＜ g(1)＝ 5＋ m 由已知條件可得： ??? m≥ － 3，8＋ 2m≤ 0， 或 ??? m＜－ 3，5＋ m≤ 0. 解得 m≤ － 5 答案 (－ ∞ ，－ 5] 第 3 講 函數(shù)的奇偶性與周期性 【高考會(huì)這樣考】 1．判斷函數(shù)的奇偶性． 2．利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值． 3．考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合具體實(shí)例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性的概念，明確它們?cè)谘芯亢瘮?shù)中的作用和功能．重點(diǎn)解決綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題． 基礎(chǔ)梳 理 1．奇、偶函數(shù)的概念 一般地，如果對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)． 一般地，如果對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù)． 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱． 2． 奇、偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性 相同 ，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性 相反． (2)在公共定義域內(nèi) ① 兩個(gè)奇函數(shù)的和是 奇函數(shù) ，兩個(gè)奇函數(shù)的積是 偶函數(shù) ； ② 兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是 偶 函數(shù) ； ③ 一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是 奇函數(shù)． 3． 周期性 (1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù) y＝ f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就稱函數(shù) y＝ f(x)為周期函數(shù)，稱 T 為這個(gè)函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中 存在一個(gè)最小 的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期． 一條規(guī)律 奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不 充分條件． 兩個(gè)性質(zhì) (1)若奇函數(shù) f(x)在 x＝ 0 處有定義，則 f(0)＝ 0. (2)設(shè) f(x)， g(x)的定義域分別是 D1， D2，那么在它們的公共定義域上： 奇＋奇＝奇，奇 奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶 偶＝偶，奇 偶＝奇． 三種方法 判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法： (1)定義法； (2)圖象法； (3)性質(zhì)法． 三條結(jié)論 (1)若對(duì)于 R 上的任意的 x 都有 f(2a－ x)＝ f(x)或 f(－ x)＝ f(2a＋ x)，則 y＝ f(x)的圖象關(guān)于直線 x＝ a 對(duì)稱． (2)若對(duì)于 R 上的任意 x 都有 f(2a－ x)＝ f(x)，且 f(2b－ x)＝ f(x)(其中 a＜ b)，則： y＝ f(x)是以 2(b－ a)為周期的周期函數(shù)． (3)若 f(x＋ a)＝－ f(x)或 f(x＋ a)＝ 1f?x?或 f(x＋ a)＝－ 1f?x?，那么函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為 T＝ 2a； (3)若 f(x＋ a)＝ f(x＋ b)(a≠ b)，那么函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為 T＝ 2|a－ b|. 雙基自測(cè) 1． (2020湖南 )已知函數(shù) f(x)＝ ex－ 1， g(x)＝－ x2＋ 4x－ f(a)＝ g(b)，則 b 的取值范圍為 ( )． A． [2－ 2， 2＋ 2] B． (2－ 2， 2＋ 2) C． [1,3] D． (1,3) 解析 函數(shù) f(x)的值域是 (－ 1，＋ ∞ )，要使得 f(a)＝ g(b)，必須使得－ x2＋ 4x－ 3＞－ x2－ 4x＋ 2＜ 0，解得 2－ 2＜ x＜ 2＋ 2. 答案 B 3． (2020陜西 )某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每 10 人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以 10 的余數(shù)大于 6 時(shí)再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y 與該班人數(shù) x 之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù) y＝ [x]([x]表示不大于 x 的最大整數(shù) )可以表示為 ( )． A． y＝ ??? ???x10 B． y＝ ??? ???x＋ 310 C． y＝ ??? ???x＋ 410 D． y＝ ??? ???x＋ 510 解析 根據(jù)規(guī)定各班每 10 人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以 10 的余數(shù)大于 6時(shí)再增選一名代表，即余數(shù)分別為 9 時(shí)可增選一名代表．因此利用取整函數(shù)可表示為 y＝ ??? ???x＋ 310 .故選 B. 答案 B 5．函數(shù) y＝ f(x)的圖象如圖所示．那么， f(x)的定義域是 ________；值域是 ________；其中只與 x 的一個(gè)值對(duì)應(yīng)的 y 值的范圍是 ________． 解析 任作直線 x＝ a，當(dāng) a 不在函數(shù) y＝ f(x)定義域內(nèi)時(shí)，直線 x＝ a 與函數(shù) y＝f(x)圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng) a 在函數(shù) y＝ f(x)定義域內(nèi)時(shí)，直線 x＝ a 與函數(shù) y＝ f(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)． 任作直線 y＝ b，當(dāng)直線 y＝ b 與函數(shù) y＝ f(x)的圖象有交點(diǎn)，則 b 在函數(shù) y＝ f(x)的值域內(nèi)；當(dāng)直線 y＝ b 與函數(shù) y＝ f(x)的圖象沒有交點(diǎn)，則 b 不在函數(shù) y＝ f(x)的值域內(nèi)． 答案 [－ 3,0]∪ [2,3] [1,5] [1,2)∪ (4,5] 考向一 求函數(shù)的定義域 【例 1】 ?求下列函數(shù)的定義域： (1)f(x)＝ |x－ 2|－ 1log2?x－ 1?； (2)f(x)＝ ln?x＋ 1?－ x2－ 3x＋ 4. [審題視點(diǎn) ] 理解各代數(shù)式有意義的前提，列不等式解得． 解 (1)要使函數(shù) f(x)有意義，必須且只須??? |x－ 2|－ 1≥ 0，x－ 10，x－ 1≠ 1. 解不等式組得 x≥ 3，因此函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?[3，＋ ∞ )． (2)要使函數(shù)有意義，必須且只須 ??? x＋ 10，－ x2－ 3x＋ 40， 即 ??? x－ 1，?x＋ 4??x－ 1?0， 解得：－ 1x1. 因此 f(x)的定義域?yàn)?(－ 1,1)． 求函數(shù)定義域的主要依據(jù)是 (1)分式的分母不能為零； (2)偶次方根的被開方式其值非負(fù)； (3)對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于 1. 【訓(xùn)練 1】 (2020江西 )若 f(x)＝ 1log12?2x＋ 1?，則 f(x)的定義域?yàn)?( )． A.??? ???－ 12， 0 B.??? ???－ 12， 0 C.??? ???－ 12，＋ ∞ D． (0，＋ ∞ ) 解析 由 log12(2x＋ 1)＞ 0，即 0＜ 2x＋ 1＜ 1， 解得－ 12＜ x＜ 0. 答案 A 3．下列各對(duì)函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是 ( )． A． f(x)＝ lg x2， g(x)＝ 2lg x B． f(x)＝ lgx＋ 1x－ 1， g(x)＝ lg(x＋ 1)－ lg(x－ 1) C． f(u)＝ 1＋ u1－ u， g(v)＝ 1＋ v1－ v D． f(x)＝ ( x)2， g(x)＝ x2 答案 C 4． (2020江蘇 )已知實(shí)數(shù) a≠ 0，函數(shù) f(x)＝ ??? 2x＋ a， x＜ 1，－ x－ 2a， x≥ 1. 若 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，則 a 的值為 ________． 解析 分類討論： (1)當(dāng) a＞ 0 時(shí)， 1－ a＜ 1,1＋ a＞ 1. 這時(shí) f(1－ a)＝ 2(1－ a)＋ a＝ 2－ a； f(1＋ a)＝－ (1＋ a)－ 2a＝－ 1－ 3a. 由 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，得 2－ a＝－ 1－ 3a， 解得 a＝－ 32， 不符合題意，舍去． (2)當(dāng) a＜ 0 時(shí)， 1－ a＞ 1,1＋ a＜ 1， 這時(shí) f(1－ a)＝－ (1－ a)－ 2a＝－ 1－ a； f(1＋ a)＝ 2(1＋ a)＋ a＝ 2＋ 3a， 由 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，得－ 1－ a＝ 2＋ 3a， 解得 a＝－ 34. 綜合 (1)， (2)知 a 的值為－ 34. 答案 － 34 閱卷報(bào)告 1——忽視函數(shù)的定義域 【問題診斷】 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域．如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)同增異減的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．由于思維定勢(shì)的原因，考生容易忽視定義域，導(dǎo)致錯(cuò) 誤． 【防范措施】 研究函數(shù)的任何問題時(shí)，把求函數(shù)的定義域放在首位，即遵循 “ 定義域優(yōu)先 ” 的原則． 【 示例 】 ? 求函數(shù) y＝ log13(x2－ 3x)的單調(diào)區(qū)間． 錯(cuò)因 忽視函數(shù)的定義域，把函數(shù) y＝ log13t 的定義域誤認(rèn)為 R 導(dǎo)致出錯(cuò)． 實(shí)錄 設(shè) t＝ x2－ 3x. ∵ 函數(shù) t 的對(duì)稱軸為直線 x＝ 32， 故 t 在 ??? ???－ ∞ ， 32 上單調(diào)遞減，在 ??? ???32，＋ ∞ 上單調(diào)遞增． ∴ 函數(shù) y＝ log13(x2－ 3x)的單調(diào)遞增區(qū)間 是 ??? ???－ ∞ ， 32 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 ??? ???32，＋ ∞ . 正解 設(shè) t＝ x2－ 3x，由 t＞ 0，得 x＜ 0 或 x＞ 3，即函數(shù)的定義域?yàn)?(－ ∞ ， 0)∪ (3，＋ ∞ )． 函數(shù) t 的對(duì)稱軸為直線 x＝ 32， 故 t 在 (－ ∞ ， 0)上單調(diào)遞 減，在 ( )3，＋ ∞ 上單調(diào)遞增． 而函數(shù) y＝ log13t 為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù) y＝ log13(x2－3x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (－ ∞ ， 0)，單調(diào)遞減區(qū)間是 (3，＋ ∞ )． 【試一試】 求函數(shù) f(x)＝ log2(x2－ 2x－ 3)的單調(diào)區(qū)間． [嘗試解答 ] 由 x2－ 2x－ 3＞ 0，得 x＜－ 1 或 x＞ 3， 即函數(shù)的定義域?yàn)?(－ ∞ ，－ 1)∪ (3，＋ ∞ )． 令 t＝ x2－ 2x－ 3，則其對(duì)稱軸為 x＝ 1，故 t 在 (－ ∞ ，－ 1)上是減函數(shù)，在 (3，＋∞ )上是增函數(shù)． 又 y＝ log2t 為單調(diào)增函數(shù)． 故函數(shù) y＝ log2(x2－ 2x－ 3)的單調(diào)增區(qū)間為 (3，＋ ∞ )，單調(diào)減區(qū)間為 (－ ∞ ，－ 1)． 第 2 講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 【高考會(huì)這樣考】 1．考查求