【正文】 1)f(x2)=x1+14x (x2+24x )= ,)4)((212121 xx xxxx ?? 所以當(dāng) x≤ 2或 x≥ 2時(shí)， f(x)遞增 ,當(dāng) 2＜ x＜ 0或 0＜ x＜ 2時(shí)， f(x)遞減 . 故 x=2時(shí)， f(x)最大值 =f(2)=4,x=2時(shí)， f(x)最小值 =f(2)=4, 所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋?∞， 4］∪［ 4， +∞），無最大（?。┲?. （ 3 y= 2222 )20()2()10()0( ??????? xx , 可視為動(dòng)點(diǎn) M（ x,0）與定點(diǎn) A（ 0， 1）、 B（ 2， 2）距離之和，連結(jié) AB，則直線 AB 與 x 軸的交點(diǎn)（橫坐標(biāo)）即為所求的最小值點(diǎn) . ymin=|AB|= 13)21()20( 22 ???? ，可求得 x=32時(shí)， ymin= 13 . 顯然無最大值 .故值域?yàn)椋?13 ， +∞） . 變式訓(xùn)練 3： 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù) f(x)的邊際函數(shù) Mf(x)定義為 Mf（ x） =f（ x+1） f（ x） .某公司每月最多生產(chǎn) 100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn) x（ x＞ 0）臺(tái)的收入函數(shù)為 R（ x） =3 000x20x2 (單位：元 )，其成本函數(shù)為 C（ x） =500x+4 000（單位：元），利潤是收入與成本之差 . （ 1）求利潤函數(shù) P（ x）及邊際利潤函數(shù) MP（ x （ 2）利潤函數(shù) P（ x）與邊際利潤函數(shù) MP（ x 解 ： （ 1） P（ x） =R（ x） C（ x） =（ 3 000x20x2） （ 500x+4 000） =20x2+2 500x4 000 （ x∈［ 1， 100］且 x∈ N,） MP（ x） =P（ x+1） P（ x） =20（ x+1） 2+2 500（ x+1） 4 000（ 20x2+2 500x4 000） =2 48040x （ x∈［ 1， 100］且 x∈ N） . （ 2） P（ x） =20(x )21252+74 125，當(dāng) x=62或 63時(shí)， P(x)max=74 120（元） . 因?yàn)?MP（ x） =2 48040x是減函數(shù)，所以當(dāng) x=1時(shí)， MP(x)max=2 440(元） . 因此，利潤函數(shù) P（ x）與邊際利潤函數(shù) MP（ x）不具有相同的最大值 . 例 4． （ 2022178。 1,即 f(x)的定義域是 {1， 1}. ∵ f（ 1） =0， f(1)=0,∴ f(1)=f(1),f(1)=f(1), 故 f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) . （ 2）方法一 易知 f(x)的定義域?yàn)?R， 又∵ f(x)=log2［ x+ 1)( 2??x ］ =log2112?? xx=log2(x+ 12?x )=f(x), ∴ f(x)是奇函數(shù) . 方法二 易知 f(x)的定義域?yàn)?R， 又∵ f（ x） +f（ x） =log2［ x+ 1)( 2??x ］ +log2(x+ 12?x )=log21=0,即 f(x)=f(x), ∴ f(x)為奇函數(shù) . （ 3）由 |x2|＞ 0，得 x≠ 2. ∴ f（ x）的定義域 {x|x≠ 2}關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故 f(x)為非奇非偶函數(shù) . 變式訓(xùn)練 1： （ 1） f（ x） =（ x2）xx??22 （ 2） f（ x） =2|2| )1lg(2 2???x x （ 3） f（ x） =???????? ????.1(2 ),1|(|0),1(2）xx xxx 解 ： （ 1）由xx??22≥ 0，得定義域?yàn)椋?2， 2），關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故 f（ x）為非奇非偶函數(shù) . （ 2）由??? ??? ?? .02|2| 01 22x x ， 得定義域?yàn)椋?1， 0）∪（ 0， 1） . 這時(shí) f（ x） =2222 )1lg(2)2( )1lg( x xx x ?????? ?. ∵ f（ x） = ? ? ),()1lg ()( )(1lg 2 22 2 xfx xx x ????? ??∴ f（ x）為偶函數(shù) . （ 3） x＜ 1時(shí)， f（ x） =x+2， x＞ 1,∴ f（ x） =（ x） +2=x+2=f（ x） . x＞ 1時(shí)， f（ x） =x+2， x＜ 1， f(x)=x+2=f(x). 1≤ x≤ 1時(shí)， f（ x） =0， 1≤ x≤ 1,f（ x） =0=f（ x） . ∴對(duì)定義域內(nèi)的每個(gè) x 都有 f（ x） =f（ x） .因此 f（ x）是偶函數(shù) . 例 2 已知函數(shù) f(x),當(dāng) x,y∈ R時(shí)，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). （ 1）求證： f(x) （ 2）如果 x∈ R+， f（ x）＜ 0,并且 f(1)=21,試求 f(x)在區(qū)間［ 2， 6］上的最值 . （ 1） 證明： ∵函數(shù)定義域?yàn)?R，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 . ∵ f（ x+y） =f（ x） +f（ y），令 y=x,∴ f(0)=f(x)+f(x).令 x=y=0, ∴ f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0.∴ f（ x） +f（ x） =0，得 f(x)=f(x), ∴ f(x)為奇函數(shù) . （ 2） 解 ： 方法一 設(shè) x,y∈ R+，∵ f（ x+y） =f（ x） +f（ y ∴ f（ x+y） f（ x） =f（ y） . x∈ R+， f（ x）＜ 0, ∴ f(x+y)f(x)＜ 0, ∴ f(x+y)＜ f(x). ∵ x+y＞ x, f(x)在（ 0， +∞）上是減函數(shù) .又∵ f（ x）為奇函數(shù)， f（ 0） =0 ∴ f（ x）在（ ∞ ,+∞）上是減函數(shù) .∴ f（ 2）為最大值， f(6)為最小值 . ∵ f(1)=21,∴ f(2)=f(2)=2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［ f（ 1） +f（ 2）］ =3. ∴所求 f(x)在區(qū)間［ 2， 6］上的最大值為 1，最小值為 3. 方法二 設(shè) x1＜ x2,且 x1,x2∈ R. 則 f(x2x1)=f［ x2+(x1)］ =f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1). ∵ x2x1＞ 0,∴ f(x2x1)＜ 0.∴ f(x2)f(x1)＜ f(x)在 R上單調(diào)遞減 . ∴ f（ 2）為最大值， f（ 6）為最小值 .∵ f（ 1） =21 ∴ f（ 2） =f（ 2） =2f（ 1） =1， f（ 6） =2f（ 3） =2［ f（ 1） +f（ 2）］ =3. ∴所求 f(x）在區(qū) 間［ 2， 6］上的最大值為 1，最小值為 3. 變式訓(xùn)練 2： 已知 f(x)是 R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x∈ (∞ ,0)時(shí)， f(x)=xlg(2x),求 f(x)的解析式 . 解 ： ∵ f（ x）是奇函數(shù)，可得 f(0)=f(0),∴ f(0)=0. 當(dāng) x＞ 0時(shí)， x＜ 0,由已知 f(x)=xlg(2+x),∴ f（ x） =xlg（ 2+x）， 即 f（ x） =xlg(2+x) （ x＞ 0） .∴ f(x)=??? ??? ??? ).0()2lg( ),0()2lg( xxx xxx 即 f(x)=xlg(2+|x|) (x∈ R). 例 3 已知函數(shù) f(x)的 定義域?yàn)?R，且滿足 f(x+2)=f(x) . （ 1）求證： f(x) （ 2）若 f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng) 0≤ x≤ 1時(shí)， f(x)=21x,求使 f(x)=21在［ 0， 2 009］上的所有 x的個(gè)數(shù) . （ 1） 證明 ： ∵ f（ x+2） =f（ x ∴ f（ x+4） =f（ x+2） =［ f（ x）］ =f（ x）， ∴ f（ x）是以 4為周期的周期函數(shù) . （ 2） 解 ： 當(dāng) 0≤ x≤ 1時(shí)， f(x)=21x, 設(shè) 1≤ x≤ 0,則 0≤ x≤ 1,∴ f（ x） =21（ x） =21x. ∵ f(x)是奇函數(shù)，∴ f（ x） =f（ x） , ∴ f（ x） =21x，即 f(x)= 21x. 故 f(x)= 21x(1≤ x≤ 1) 又設(shè) 1＜ x＜ 3,則 1＜ x2＜ 1, ∴ f(x2)=21(x2), 又∵ f（ x2） =f（ 2x） =f（（ x） +2） =［ f（ x）］ =f（ x ∴ f（ x） =21（ x2 ∴ f（ x） =21（ x2）（ 1＜ x＜ 3） . ∴ f（ x） =??????????????)31()2(21)11(21xxxx 由 f(x)=21,解得 x=1. ∵ f（ x）是以 4為周期的周期函數(shù) . f(x)=21的所有 x=4n1 (n∈ Z). 令 0≤ 4n1≤ 2 009,則41≤ n≤20221, 又∵ n∈ Z，∴ 1≤ n≤ 502 （ n∈ Z） , ∴在［ 0， 2 009］上共有 502個(gè) x使 f(x)=21. 變式訓(xùn)練 3： 已知函數(shù) f(x)=x2+|xa|+1,a∈ R. （ 1）試判斷 f(x)的奇偶性； （ 2）若 21≤ a≤21，求 f(x)的最小值 . 解 ： (1)當(dāng) a=0時(shí)，函數(shù) f(x)=(x)2+|x|+1=f(x), 此時(shí) ,f(x)為偶函數(shù) .當(dāng) a≠ 0時(shí)， f(a)=a2+1,f(a)=a2+2|a|+1, f(a)≠ f(a),f(a)≠ f(a),此時(shí)， f(x) 為非奇非偶函數(shù) . （ 2）當(dāng) x≤ a時(shí) ,f(x)=x2x+a+1=(x21)2+a+43 , ∵ a≤21,故函數(shù) f(x)在（ ∞， a］上單調(diào)遞減， 從而函數(shù) f(x)在（ ∞， a］上的最小值為 f(a)=a2+1. 當(dāng) x≥ a時(shí)，函數(shù) f(x)=x2+xa+1=(x+21)2a+43, ∵ a≥ 21，故函數(shù) f(x)在［ a， +∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù) f(x)在［ a， +∞ )上的 最小值為 f(a)=a2+1. 綜上得，當(dāng) 21≤ a≤21時(shí)，函數(shù) f(x)的最小值為 a2+1. 歸納總結(jié) 1． 奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性質(zhì)，對(duì)一個(gè)函數(shù)首先應(yīng)判斷它是否具有這種性質(zhì) . 判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)首先檢驗(yàn)函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷（或證明）函數(shù)是否具有奇偶性 . 如果要證明一個(gè)函數(shù)不具有奇偶性，可以在定義域內(nèi)找到一對(duì)非零實(shí)數(shù) a與－ a，驗(yàn)證 f(a)177。 21315?a = 2167?a )2534( ??? =a21? . ∵ a=91，∴原式 =3. （ 2） 方法一 化去負(fù)指數(shù)后解 . .1111)( 111 baabab baabbaab ba ?????????? ∵ a= ,9,91 ?b ∴ a+b= .982 方法二 利用運(yùn)算性質(zhì)解 . .11)( 1111 111 11 11 ababba bba aab ba ??????? ???? ??? ?? ?? ∵ a= ,9,91 ?b∴ a+b= .982 變式訓(xùn)練 1： 化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù) ） : （ 1） 。③ 0＜ a＜ b。(2)y=2 62??xx . 解 ： （ 1）函數(shù)的定義域?yàn)?R. 令 u=6+x2x2,則 y=(u)21. ∵二次函數(shù) u=6+x2x2的對(duì)稱軸為 x=41, 在區(qū)間［41， +∞）上， u=6+x2x2是減函數(shù)， 又函數(shù) y=( )21u是減函數(shù)， ∴函數(shù) y=(226)21 xx??在 ［41， +∞）上是 增函數(shù) . 故 y=(226)21 xx??單調(diào)遞增區(qū)間為［41， +∞） . （ 2）令 u=x2x6,則 y=2u, ∵二次函數(shù) u=x2x6的對(duì)稱軸是 x=21, 在區(qū)間［21， +∞）上 u=x2x6是增函數(shù) . 又函數(shù) y=2u為增函數(shù)， ∴函數(shù) y=2 62??xx 在區(qū)間 ［21， +∞）上是增函數(shù) . 故函數(shù) y=2 62??xx 的 單調(diào)遞增區(qū)間是［21， +∞） . 例 4． 設(shè) a＞ 0,f(x)=xx aa ee? 是 R上的偶函數(shù) . （ 1）求 a的值； （ 2）求證： f(x)在（ 0， +∞）上是增函數(shù) . （ 1） 解 ： ∵ f（ x）是 R上的偶函數(shù)，∴ f（ x） =f（ x）， ∴ ,eeee xxxx aaaa ??? ?? ∴（ a )e1e)(1 xxa ?=0對(duì)一切 x均成立， ∴ aa1=0