【正文】 x） =f（ x） = .142142 ????? ? x xx x 由 f(0)=f(0)=f(0)，且 f(1)=f(1)=f(1+2)=f(1), 得 f(0)=f(1)=f(1)=0.∴在區(qū)間［ 1， 1］上，有 f（ x） =? ??????????????????1,0,10)0,1(14 2)1,0(14 2xxxxxxx (2)證明 當(dāng) x∈ (0,1)時， f(x)= .142?x x 設(shè) 0＜ x1＜ x2＜ 1, 則 f(x1)f(x2)= ,)14)(14( )12)(22(14 214 2 21 21122 21 1 ?? ?????? ?xx xxxxx xx x ∵ 0＜ x1＜ x2＜ 1,∴ 1222 xx? ＞ 0， 2 21xx? 1＞ 0,∴ f(x1)f(x2)＞ 0,即 f(x1)＞ f(x2), 故 f(x)在（ 0， 1）上單調(diào)遞減 . 歸納總結(jié) 1． bN ＝ a， ab＝ N， logaN＝ b(其中 N0， a0， a≠1)是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進(jìn)行它 們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算 .在運(yùn)算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應(yīng)化為同底 . 2．處理指數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解 . 3．含有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)的討論問題是重點(diǎn)題型，解決這類問題最基本的分類方案是以 “ 底 ”大于 1或小于 1分類 . 4．含有指數(shù)的較復(fù)雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù) (特別是二次函數(shù) )形成的 函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要注意知識的相互滲透或綜合 . 第 6 課時 對數(shù)函數(shù) 基礎(chǔ)過關(guān)題 1．對數(shù)： (1) 定義：如果 Nab? )1,0( ?? aa 且 ，那么稱 為 ，記作 ，其中 a稱為對數(shù)的底， N稱為真數(shù) . ① 以 10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)， N10log 記作 ___________． ② 以無理數(shù) )( ??ee 為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)， Nelog 記作 _________． (2) 基本性質(zhì)： ① 真數(shù) N為 (負(fù)數(shù)和零無對數(shù) )；② 01log ?a ；③ 1log ?aa ； ④ 對數(shù)恒等式： Na Na ?log ． (3) 運(yùn)算性質(zhì)： ① loga(MN)＝ ___________________________； ② logaNM＝ ____________________________； ③ logaMn＝ (n∈ R). ④ 換底公式 ： logaN＝ (a0， a≠ 1， m0， m≠ 1， N0) ⑤ log log .m n aa nbbm? . 2． 對數(shù)函數(shù) ： ① 定義：函數(shù) 稱為對數(shù)函數(shù)， 1) 函數(shù)的定義域?yàn)?( ； 2) 函數(shù)的值域?yàn)? ； 3) 當(dāng) ______時，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng) ______時為增函數(shù)； 4) 函數(shù) xy alog? 與函數(shù) )1,0( ??? aaay x 且 互為反函數(shù) . ② 1) 圖象經(jīng)過點(diǎn) ( )，圖象在 ； 2) 對數(shù)函數(shù)以 為漸近線 (當(dāng) 10 ??a時，圖象向上無限接近 y軸；當(dāng) 1?a 時，圖象向下無限接近 y軸 )； 4) 函數(shù) y＝ logax與 的圖象關(guān)于 x軸對稱． ③ 函數(shù)值的變化特征： 10 ??a 1?a ① 時1?x ② 時1?x ③ 時10 ??x ① 時1?x ② 時1?x ③ 時10 ??x 典型例題 例 1 計(jì)算：（ 1） )32(log32 ?? （ 2） 2(lg 2 )2+lg 2 178。 （ 3）21lg493234lg 8 +lg 245 . 解 ： （ 1）方法一 設(shè) )32(log32 ??=x, (2+ 3 )x=2 3 =321?=（ 2+ 3 ） 1,∴ x=1. 方法二 )32(log 32 ?? = 32log? 321? = 32log? (2+ 3 )1=1. （ 2）原式 =lg 2 （ 2lg 2 +lg5） + 12lg2)2(lg 2 ?? =lg 2 (lg2+lg5)+|lg 2 1| =lg 2 +(1lg 2 )=1. （ 3）原式 =21（ lg32lg49） 34lg821 +21lg245 =21 (5lg22lg7)34179。 5)= 21lg10=21. 變式訓(xùn)練 1： 化簡求值 . （ 1） log2487+log21221log2421。 lg50+lg25。 (log43+log83). 解 ： (1)原式 =log2487+log212log2 42 log22=log2 .232log22 1log24248 127 2322 ?????? ? ? （ 2）原式 =lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （ 3）原式 =( .452lg6 3lg5)3lg2 2lg3lg 2lg ???? 例 2 比較下列各組數(shù)的大小 . （ 1） log332與 log556。 （ 3）已知 log21b＜ log21a＜ log21c,比較 2b,2a,2c的大小關(guān)系 . 解 ： （ 1）∵ log332＜ log31=0, log556＞ log51=0,∴ log332＜ log556. (2)方法一 ∵ 0＜ ＜ 1,＜ , 0＞ ? , ∴ ?, 即由換底公式可得 ＜ . 方法二 作出 y= y= . 如圖所示兩圖象與 x= ＜ . (3)∵ y=x21log為減函數(shù)，且 cab212121 logloglog ??, ∴ b＞ a＞ c,而 y=2x是增函數(shù)，∴ 2b＞ 2a＞ 2c. 變式訓(xùn)練 2： 已知 0＜ a＜ 1,b＞ 1,ab＞ 1，則 logabbb ba 1log,log,1的大小關(guān)系是 （ ） bbb ba 1loglog1 ?? B.bbb baa 1log1loglog ?? C.bbb aba 1log1loglog ?? D. bbb aab log1log1log ?? 解 ： C 例 3已知函數(shù) f(x)=logax(a＞ 0,a≠ 1)，如果對于任意 x∈［ 3， +∞）都有 |f(x)|≥ 1成立， 試求 a的取值范圍 . 解 ： 當(dāng) a＞ 1時，對于任意 x∈［ 3， +∞），都有 f(x)＞ 0. 所以， |f(x)|=f(x),而 f(x)=logax在［ 3， +∞）上為增函數(shù)， ∴對于任意 x∈［ 3， +∞），有 f(x)≥ loga3. 因此，要使 |f(x)|≥ 1對于任意 x∈［ 3， +∞）都成立 . 只要 loga3≥ 1=logaa即可，∴ 1＜ a≤ 3. 當(dāng) 0＜ a＜ 1時，對于 x∈［ 3， +∞），有 f(x)＜ 0, ∴ |f(x)|=f(x). ∵ f（ x） =logax在［ 3， + ∴ f（ x）在［ 3， +∞）上為增函數(shù) . ∴對于任意 x∈［ 3， + |f(x)|=f(x)≥ loga3. 因此，要使 |f(x)|≥ 1 對于任意 x∈［ 3， + 只要 loga3≥ 1 ∴ loga3≤ 1=logaa1,即a1≤ 3,∴31≤ a＜ 1. 綜上，使 |f(x)|≥ 1對任意 x∈［ 3， +∞）都成立的 a的取值范圍是： (1， 3］∪［31， 1） . 變式訓(xùn)練 3： 已知函數(shù) f（ x） =log2(x2axa)在區(qū)間（ ∞ , 1 3 ］上是單調(diào)遞減函數(shù) .求實(shí)數(shù) a的取值范圍 . 解 ： 令 g(x)=x2axa, 則 g(x)=（ x2a） 2a42a, 由以上知 g(x）的圖象關(guān)于直線 x=2a對稱且此拋物線開口向上 . 因?yàn)楹瘮?shù) f(x)=log2g(x)的底數(shù) 2＞ 1, 在區(qū)間（ ∞ ,1 3 ］上是減函數(shù)， 所以 g(x)=x2axa在區(qū)間（ ∞ ,1 3 ］上也是單調(diào)減函數(shù)，且 g(x)＞ 0. ∴?????????????????????0)31()31(3220)31(231 2 aaaga ，即 解得 22 3 ≤ a＜ 2. 故 a的取值范圍是 {a|22 3 ≤ a＜ 2}. 例 4 已知過原點(diǎn) O 的一條直線與函數(shù) y=log8x 的圖象交于 A、 B 兩點(diǎn)，分別過 A、 B 作 y 軸的平行與函數(shù) y=log2x的圖象交于 C、 D兩點(diǎn) . （ 1）證明 :點(diǎn) C、 D和原點(diǎn) O （ 2）當(dāng) BC平行于 x軸時，求點(diǎn) A的坐標(biāo) . （ 1） 證明 設(shè)點(diǎn) A、 B的橫坐標(biāo)分別為 x x2, 由題設(shè)知 x1＞ 1,x2＞ 1,則點(diǎn) A、 B的縱坐標(biāo)分別為 log8x log8x2. 因?yàn)?A、 B在過點(diǎn) O的直線上 ，所以228118 loglog x xx x ? 點(diǎn) C、 D的坐標(biāo)分別為 (x1,log2x1)、 (x2,log2x2), 由于 log2x1=2loglog8 18x=3log8x1,log2x2=3log8x2, OC的斜率為 k1=118112 log3log x xx x ?, OD的斜率為 ,log3log2282222 x xx xk ??由此可知 k1=k2,即 O、 C、 D在同一直線上 . （ 2） 解 ： 由于 BC 平行于 x 軸，知 log2x1=log8x2，即得 log2x1=31log2x2,x2=x31, 代入 x2log8x1=x1log8x2，得 x31log8x1=3x1log8x1,由于 x1＞ 1,知 log8x1≠ 0,故 x31=3x1, 又因 x1＞ 1,解得 x1= 3 ,于是點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 3 ， log8 3 ). 變式訓(xùn)練 4： 已知函數(shù) f(x)=log211??xx+log2(x1)+log2(px). （ 1）求 f(x)的定義域； （ 2）求 f(x)的值域 . 解 ： （ 1） f(x)有意義時，有????????????????,③0,②01,①011xpxxx 由①、②得 x＞ 1,由③得 x＜ p,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)榉强諗?shù)集，故 p＞ 1,f(x)的定義域是 (1,p). （ 2） f(x)=log2［ (x+1)(px)］ =log2［ （ x21?p） 2+4)1( 2?p］ (1＜ x＜ p), ①當(dāng) 1＜21?p＜ p，即 p＞ 3 時， 0＜ (x4 )1(4 )1()2 1 222 ????? ppp, ∴ log2?????? ????? 4 )1()2 1( 22 ppx≤ 2log2(p+1)2. ②當(dāng)21?p≤ 1，即 1＜ p≤ 3 時， ∵ 0＜ (x ),1(24 )1()2 1 22 ????? ppp ∴ log2?????? ????? 4 )1()2 1( 22 ppx＜ 1+log2(p1). 綜合①②可知： 當(dāng) p＞ 3時， f(x)的值域是（ ∞ ,2log2(p+1)2］ 。 （ 2） y=112??xx。 g(x)的圖象可能是 （ ） 解 ： A 變式訓(xùn)練 2： 設(shè) a＞ 1,實(shí)數(shù) x,y滿足 |x|logay1=0,則 y關(guān)于 x的函數(shù)的圖象形狀大致是 ( ) 解 ： B 例 3設(shè)函數(shù) f(x)=x22|x|1 (3≤ x≤ 3). （ 1）證明： f(x)是偶函數(shù)； （ 2）畫出函數(shù)的圖象； （ 3）指出函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上 f(x) （ 4）求函數(shù)的值域 .