【正文】 函數(shù)單調(diào)性和最值的基本方法． 2．利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間． 3．利用函數(shù)的單調(diào)性求最值和參數(shù)的取值范圍． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)首先回扣課本，從 “ 數(shù) ” 與 “ 形 ” 兩個角度來把握函數(shù)的單調(diào)性和最值的概念，復(fù)習(xí)中重點掌握： (1)函數(shù)單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用； (2)求函數(shù)最值的 各種基本方法；對常見題型的解法要熟練掌握． 基礎(chǔ)梳理 1．函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地，設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為 I 內(nèi)某個區(qū)間 D 上的 任意 兩個自變量的值 x1， x2 當(dāng) x1＜ x2時，都有 f(x1)＜ f(x2)，那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù) 當(dāng) x1＜ x2時，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù) f (x )在區(qū)間 D 上是減函數(shù) 圖象 描述 自左向右圖象是上升的 自左向右圖象是下降的 (2)單調(diào)區(qū)間的定義 若函數(shù) f(x)在區(qū)間 D 上是 增函數(shù) 或 減函數(shù) ，則稱函數(shù) f(x)在這一區(qū)間上具有 (嚴(yán)格的 )單調(diào)性，區(qū)間 D 叫做 f(x)的單調(diào)區(qū)間． 2． 函數(shù)的最值 前提 設(shè)函數(shù) y＝ f(x)的定義域為 I，如果存在實數(shù) M 滿足 條件 . ① 對于 任意 x∈ I，都有 f(x)≤ M； ① 對于任意 x∈ I，都有f(x)≥ M； ② 存在 x0∈ I，使得f(x0)＝ M ② 存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M. 結(jié) 論 M 為最大值 M 為最小值 一個防范 函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù) y＝ 1x分別在 (－ ∞ ， 0)， (0，＋ ∞ )內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個定義域即 (－ ∞ ，0)∪ (0，＋ ∞ )內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 (－ ∞ ， 0)和 (0，＋ ∞ )，不能用 “ ∪ ” 連接． 兩種形式 設(shè)任意 x1， x2∈ [a， b]且 x1＜ x2，那么 ① f?x1?－ f?x2?x1－ x2＞ 0? f(x)在 [a， b]上是增函數(shù)； f?x1?－ f?x2?x1－ x2＜ 0? f(x)在 [a， b]上是減函數(shù)． ② (x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]＞ 0? f(x)在 [a， b]上是增函數(shù)； (x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]＜ 0? f(x)在 [a， b]上是減函數(shù)． 兩條結(jié)論 (1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到． (2)開區(qū)間上的 “ 單峰 ” 函數(shù)一定存在最大 (小 )值． 四種方法 函數(shù)單調(diào)性的判斷 (1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論． (2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)． (3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． (4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性． 雙基自測 1．設(shè) f(x)為奇函數(shù)，且在 (－ ∞ ， 0)內(nèi)是減函數(shù)， f(－ 2)＝ 0，則 xf(x)＜ 0 的解集為 ( )． A． (－ 2,0)∪ (2，＋ ∞ ) B． (－ ∞ ，－ 2)∪ (0,2) C． (－ ∞ ，－ 2)∪ (2，＋ ∞ ) D． (－ 2,0)∪ (0,2) 答案 C 2． (20202x＝ 2 2 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 2x，即 x＝ 2時，等號成立，因此 x＋ 2x的最小值為 2 2. 答案 2 2 考向一 函數(shù)的單調(diào)性的判斷 【例 1】 ?試討論函數(shù) f(x)＝ xx2＋ 1的單調(diào)性． [審題視點 ] 可采用定義法或?qū)?shù)法判斷． 解 法一 f(x)的定義域為 R，在定義域內(nèi)任取 x1＜ x2， 都有 f(x1)－ f(x2)＝ x1x21＋ 1－ x2x22＋ 1＝ ?x1－ x2??1－ x1x2??x21＋ 1??x22＋ 1?， 其中 x1－ x2＜ 0， x21＋ 1＞ 0， x22＋ 1＞ 0. ① 當(dāng) x1， x2∈ (－ 1,1)時，即 |x1|＜ 1， |x2|＜ 1， ∴ |x1x2|＜ 1， 則 x1x2＜ 1,1－ x1x2＞ 0， f(x1)－ f(x2)＜ 0， f(x1)＜ f(x2)， ∴ f(x)為增函數(shù)． ② 當(dāng) x1， x2∈ (－ ∞ ，－ 1]或 [1，＋ ∞ )時， 1－ x1x2＜ 0， f(x1)＞ f(x2)， ∴ f(x)為減函數(shù)． 綜上所述， f(x)在 [－ 1,1]上是增函數(shù)，在 (－ ∞ ，－ 1]和 [1，＋ ∞ )上是減函數(shù)． 法二 ∵ f′ (x)＝ ??? ???xx2＋ 1 ′ ＝ x2＋ 1－ x?x2＋ 1?′?x2＋ 1?2 ＝ x2＋ 1－ 2x2?x2＋ 1?2 ＝1－ x2?x2＋ 1?2， ∴ 由 f′ (x)＞ 0 解得－ 1＜ x＜ f′ (x)＜ 0 解得 x＜－ 1 或 x＞ 1， ∴ f(x)在 [－ 1,1]上是增函數(shù)，在 (－ ∞ ，－ 1]和 [1，＋ ∞ )上是減函數(shù)． 判斷 (或證明 )函數(shù)單調(diào)性的主要方法有： (1)函數(shù)單調(diào)性的定義； (2)觀察函數(shù)的圖象； (3)利用函數(shù)和、差、積、商和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則； (4)利用函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)等． 【訓(xùn)練 1】 討論函數(shù) f(x)＝ axx－ 1(a≠ 0)在 (－ 1,1)上的單調(diào)性． 解 設(shè)－ 1x1x21， f(x)＝ ax－ 1＋ 1x－ 1 ＝ a??? ???1＋ 1x－ 1 ， f(x1)－ f(x2)＝ a??? ???1＋ 1x1－ 1－ a??? ???1＋ 1x2－ 1 ＝ a x2－ x1?x1－ 1??x2－ 1? 當(dāng) a0 時， f(x1)－ f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 函數(shù) f(x)在 (－ 1,1)上遞減； 當(dāng) a0 時， f(x1)－ f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 函數(shù) f(x)在 (－ 1,1)上遞增． 考向二 利用已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的值 (或范圍 ) 【例 2】 ?已知函數(shù) f(x)＝ x2＋ ax (a0)在 (2，＋ ∞ )上遞增，求實數(shù) a 的取值范圍． [審題視點 ] 求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為不等式恒成時要注意轉(zhuǎn)化的等價性． 解 法 一 設(shè) 2x1x2，由已知條件 f(x1)－ f(x2)＝ x21＋ ax1 －x22＋ ax2 ＝ (x1－ x2)＋ ax2－ x1x1x2＝ (x1－ x2)x1x2－ ax1x20 恒成立．即當(dāng) 2x1x2時， x1x2a 恒成立．又 x1x24，則 0a≤ 4.法二 f(x)＝ x＋ ax， f′ (x)＝ 1－ ax2＞ 0 得 f(x)的遞增區(qū)間是 (－ ∞ ，－ a)， ( a，＋∞ )，根據(jù)已知條件 a≤ 2，解得 0a≤ 4. 已知函數(shù)的解析式，能夠判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，反之已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可確定函數(shù)解析式中參數(shù)的值或范圍，可通過列不等式或解決不等式恒成立問題進行求解． 【訓(xùn)練 2】 函數(shù) y＝ x－ 5x－ a－ 2在 (－ 1，＋ ∞ )上單調(diào)遞增，則 a 的取值范圍是 ( )． A． a＝－ 3 B． a3 C． a≤ － 3 D． a≥ － 3 解析 y＝ x－ 5x－ a－ 2＝ 1＋ a－ 3x－ ?a＋ 2?，需 ??? a－ 30，a＋ 2≤ － 1， 即 ??? a3，a≤ － 3， ∴ a≤ － 3. 答案 C 考向三 利用函數(shù)的單調(diào)性求最值 【例 3】 ?已知函數(shù) f(x)對于任意 x， y∈ R，總有 f(x)＋ f(y)＝ f(x＋ y)，且當(dāng) x＞ 0時， f(x)＜ 0， f(1)＝－ 23. (1)求證： f(x)在 R 上是減函數(shù)； (2)求 f(x)在 [－ 3,3]上的最大值和最小值． [審題視點 ] 抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷，仍須緊扣定義，結(jié)合題目作適當(dāng)變形． (1)證明 法一 ∵ 函數(shù) f(x)對于任意 x， y∈ R 總有 f(x)＋ f(y)＝ f(x＋ y)， ∴ 令 x＝ y＝ 0，得 f(0)＝ 0. 再令 y＝－ x，得 f(－ x)＝－ f(x)． 在 R 上任取 x1＞ x2，則 x1－ x2＞ 0， f(x1)－ f(x2)＝ f(x1)＋ f(－ x2)＝ f(x1－ x2)． 又 ∵ x＞ 0 時， f(x)＜ 0， 而 x1－ x2＞ 0， ∴ f(x1－ x2)＜ 0，即 f(x1)＜ f(x2)． 因此 f(x)在 R 上是減函數(shù)． 法二 設(shè) x1＞ x2， 則 f(x1)－ f(x2)＝ f(x1－ x2＋ x2)－ f(x2) ＝ f(x1－ x2)＋ f(x2)－ f(x2)＝ f(x1－ x2)． 又 ∵ x＞ 0 時， f(x)＜ 0，而 x1－ x2＞ 0， ∴ f(x1－ x2)＜ 0，即 f(x1)＜ f(x2)， ∴ f(x)在 R 上為減函數(shù)． (2)解 ∵ f(x)在 R 上是減函數(shù)， ∴ f(x)在 [－ 3,3]上也是減函數(shù)， ∴ f(x)在 [－ 3,3]上的最大值和最小值分別為 f(－ 3)與 f(3)． 而 f(3)＝ 3f(1)＝－ 2， f(－ 3)＝－ f(3)＝ 2. ∴ f(x)在 [－ 3,3]上的最大值為 2，最小值為－ 2. 對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對任意 x1， x2在所給區(qū)間內(nèi)比較 f(x1)－ f(x2)與 0 的大小，或 f?x1?f?x2?與 1 的大小．有時根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝?x1＝ x2廣東 )設(shè)函數(shù) f(x)和 g(x)分別是 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 ( )． A． f(x)＋ |g(x)|是偶函數(shù) B． f(x)－ |g(x)|是奇函數(shù) C． |f(x)|＋ g(x)是偶函數(shù) D． |f(x)|－ g(x)是奇函數(shù) 解析 由題意知 f(x)與 |g(x)|均為偶函數(shù)， A 項：偶＋偶＝偶； B 項：偶－偶＝偶，B 錯； C 項與 D 項：分別為偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故選 A. 答案 A 4． (20202x＋ 12x－ 1. ∴ f(－ x)＝ － x2 n a(a＞ 0)． ③ ?? ??n a n＝ a. ④ 當(dāng) n 為奇數(shù)時， n an＝ a； 當(dāng) n 為偶數(shù)時， n an＝ |a|＝ ??? a ?a≥ 0?－ a ?a＜ 0? . ⑤ 負(fù)數(shù)沒有偶次方根． 2． 有理數(shù)指數(shù)冪 (1)冪的有關(guān)概念 ① 正整數(shù)指數(shù)冪： an＝ a山東 )若點 (a,9)在函數(shù) y＝ 3x的圖象上，則 tanaπ6 的值為 ( )． A． 0 B. 33 C． 1 D. 3 解析 由題意有 3a＝ 9，則 a＝ 2， ∴ tan aπ6 ＝ tan π3＝ 3. 答案 D 2． (2020b－ 1?－ 12b－ 2a－ 12b13a16b56 ＝ a－ 13－ 12－ 16??? ???a13b－ 32 ＝－ 54a－ 124 32100 b－32＝425a01. 當(dāng) a＝ 1 時， f(x)＝ e－ x＋ ex，以下討論其單調(diào)性， 任取 x1， x2∈ (0，＋ ∞ )且 x1＜ x2， 則 f(x1)－ f(x2)＝ ex1＋ e－ x1－ ex2－ e－ x2 ＝ ?ex1－ ex2??ex1＋ x2－ 1?ex1＋ x2， ∵ x1， x2∈ (0，＋ ∞ )且 x1＜ x2， ∴ ex1＋ x2＞ 1， ex1－ ex2＜ 0， ∴ ex1＋ x2－ 1＞ 0， ∴ f(x1)－ f(x2)＜ 0，即 f(x1)＜ f(x2)， ∴ 函數(shù) f(x)＝ e－ xa ＋ae－ x， 當(dāng) a＝ 1 時在 (0，＋ ∞ )為增函數(shù)， 同理，當(dāng) a＝－ 1 時， f(x)在 (0，＋ ∞ )為減函數(shù)． 考向三 指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用 【例 3】 ?(2020logbc汕尾模擬 )下列區(qū)間 中，函數(shù) f(x)＝ |ln(2－ x)|在其上為增函數(shù)的是 ( )． A． (－ ∞ ， 1] B.??? ???－ 1， 43 C.??? ???0， 32 D． [1,2) 解析 法一 當(dāng) 2－ x≥ 1，即 x≤ 1 時， f(x)＝ |ln(2－ x)|＝ ln(2－ x)，此時函數(shù) f(x)在 (－ ∞ ， 1]上單調(diào)遞減．當(dāng) 0＜ 2－ x≤ 1，即 1≤ x＜ 2 時， f(x)＝ |ln(2－ x)|＝－ ln(2－ x)，此時 函數(shù) f(x)在 [1,2)上單調(diào)遞增，故選 D. 法二 f(x)＝ |ln(2－ x)|的圖象如圖所示． 由圖象可得，函數(shù) f(x)在區(qū)間 [1,2)上為增函數(shù)，故