20xx年成人高考(專(zhuān)升本筆記)高等數(shù)學(xué)一-全文預(yù)覽
【正文】 數(shù) y=f（ x）的極限值存在，且等于 處的函數(shù)值 ，即 則稱(chēng)函數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) 連續(xù)，此時(shí)有 定義 3 設(shè)函數(shù) y=f（ x），如果 ，則稱(chēng)函數(shù) f（ x）在點(diǎn) 處左連續(xù)；如果 ，則稱(chēng)函數(shù) f（ x）在點(diǎn) 處右連續(xù)。 [答 ] 如需精美完整排版，請(qǐng) ：67460666 手機(jī) 137 8381 6366 聯(lián)系 第二節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 [復(fù)習(xí)考試要求 ] （ 1）理解函數(shù) 在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法 （ 2）會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。B ③ lim K（ x） =K lim f（ x） =Klimg(x)=A177。 例如當(dāng) 時(shí)， ～ ， 當(dāng) 時(shí)， sin ～ 。 因?yàn)?，所以稱(chēng) 是比 較高階的無(wú)窮小量（當(dāng) 時(shí)）。 性質(zhì) 4 無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。 例如當(dāng) 時(shí)， 是無(wú)窮大量，而當(dāng) 時(shí)， 是無(wú)窮小量。 （簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大） 定義 如果當(dāng)自變量 （或 ）時(shí)， 的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無(wú)限地增大），則稱(chēng)在該變化過(guò)程中， 為無(wú)窮大量。因此稱(chēng) 為無(wú)窮小量時(shí)，必須指出自變量的變化趨勢(shì)。 注意： （ 1）無(wú)窮小量是變量它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)是變量無(wú)限趨于零的。 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 67460666 手機(jī) 137 8381 6366 聯(lián)系 （五）無(wú)窮小量和無(wú)窮大量 無(wú)窮小量（簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮?。? 定義 對(duì)于函數(shù) ，如果自變量 x 在某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù) 的極限為零，則稱(chēng)在該變化過(guò)程中， 為無(wú)窮小量，一般記作 在微積分中常用希臘字母 來(lái)表示無(wú)窮小量。 例如函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 無(wú)限地趨于常數(shù) 1：當(dāng) 時(shí)， 也無(wú)限地趨于同一個(gè)常數(shù) 1，因此稱(chēng)當(dāng) 時(shí) 的極限是 1，記作 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 67460666 手機(jī) 137 8381 6366 聯(lián)系 其幾何意義如圖 3 所示 . （四）函數(shù)極限的定理 定理 （惟一性定理）如果 存在，則極限值必定惟一。 以上講的是當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的極限存在的情況，對(duì)于某些函數(shù)的某些點(diǎn) 處 ，當(dāng) 時(shí)，的極限也可能不存在。因此有 這就是說(shuō)，對(duì)于函數(shù) 當(dāng) 時(shí)， 的左極限是 1，而右極限是 1，即 但是對(duì)于函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 的左極限是 2，而右極限是 2。 定理 （兩面夾定理）若數(shù)列 ， ， 滿足不等式 且 。 數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù) A 及數(shù)列的項(xiàng) 依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若數(shù)列 以 A為極限，就表示當(dāng) n 趨于無(wú)窮大時(shí)，點(diǎn) 可以無(wú)限靠近點(diǎn) A。（一）數(shù)列的極限 按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù) 稱(chēng)為數(shù)列，記作 ，其中每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的項(xiàng)，第 n 項(xiàng) 。 定義對(duì)于數(shù)列 ，如果當(dāng) 時(shí)， 無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱(chēng)當(dāng) n 趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列以常數(shù) A 為極限，或稱(chēng)數(shù)列收斂于 A， 記作 否則稱(chēng)數(shù)列 沒(méi)有極限，如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱(chēng)數(shù)列是發(fā)散的。 注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收斂。 定理 （ 1） （ 2） （ 3）當(dāng) 時(shí)， （三）函數(shù)極限的概念 時(shí)函數(shù) 的極限 （ 1）當(dāng) 時(shí) 的極限 定義 對(duì)于函數(shù) ，如果當(dāng) x 無(wú)限地趨于 時(shí)，函數(shù) 無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，函數(shù) 的極限是 A，記
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