無窮級數(shù)求和的方法-全文預(yù)覽
【正文】 ? 2111 1 22 2 221nnkkk k n??? ? ? ???? 2 22 ( l n ) 2 ( l n 2 ) 221nnc n c n n??? ? ? ? ? ? ? ?? 2 22 2 l n 2 2 2 2 2 l n 2 ( )21nn nn??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 即 2 2ln2S?? 極限11lim( ln )nn k nk?? ? ??的值為所謂的歐拉常數(shù)，設(shè) 為 c （ ? ） 則有：11 lnn nk nck ?? ? ? ??，其中 lim 0nn ??? ?，利用上式，可求某些數(shù)值級數(shù)的和。在函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的條件下，對其進(jìn)行逐項(xiàng)微分或積分后求和，然后再反過來求一次積分或微分，便可得到原級數(shù)的和函數(shù)。 再令 3101( ) ( 1 ) 31nnnf x xn? ???? ??，有 (0) 0f ? 此冪級數(shù)收斂域?yàn)?(1,1]? ，下面求 ()fx的表達(dá)式。 （五） 逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分法 例 1求 2021() ! nnnS x xn????? 的和。 解： ? ? ? ?00( 2 1 ) 1 1( 1 ) ( 1 )2 1 ! 2 1 ! 2nnnnnn??????? ? ? ????? ? ? ? ?0 1 1 1( 1 ) [ ]2 2 ! 2 1 !nn nn??? ? ? ?? ? ? ? ?001 1 1 1( 1 ) ( 1 )2 2 ! 2 2 1 !nnnnnn????? ? ? ? ??? 注意到 3 5 2 11s i n ( 1 ) ( )3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnx x xx x xn??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 2 4 2c o s 1 ( 1 ) ( )2 ! 4 ! ( 2 ) !nnx x xxxn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 得 ? ?01( 1 ) ( c o s 1 s i n 1 )2 1 ! 2nnnn?? ? ? ??? 例 2 求 21 !nnn??? 解： 21 1 1 2( 1 ) 1 1! ! ( 1 ) ! ( 2 ) !n n n nn n n nn n n n? ? ? ?? ? ? ???? ? ???? ? ? ?。 (二） 裂項(xiàng)相消法 例 1 求21 141nS n??? ?? 解：2111 1 1 1 1 1( ) ( 1 )4 1 2 2 1 2 1 2 2 1n kkS k k k n????? ? ? ? ?? ? ? ??? 1 1 1l im l im (1 )2 2 1 2nnnSS n? ? ? ?? ? ? ? ?? 例 2 求21 1a rc ta n 1nS nn??? ??? 解：2111 ( 1 )a r c t a n a r c t a n1 1 ( 1 )nnn kk kkS k k k k?? ???? ? ? ? ??? 1 [ a r c t a n ( 1 ) a r c t a n ]nk kk?? ? ?? a r c ta n ( 1 ) a r c ta n 1 a r c ta n ( 1 ) 4nn ?? ? ? ? ? ? l im l im [ a r c ta n ( 1 ) ]4 2 4 4nnnS S n ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?。(a)/2!*(xa)2+...f(n)(a)/n!*(xa)n+... （ 3）、 實(shí)用冪級數(shù)： e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+... ln(1+x)= xx^2/3+x^3/3...(1)^(k1)*x^k/k+... (|x|1) sin x = xx^3/3!+x^5/5!...(1)^(k1)*x^(2k1)/(2k1)!+... (∞x∞) cos x = 1x^2/2!+x^4/4!...(1)k*x^(2k)/(2k)!+... (∞x∞) arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|1) arccos x = π ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|1) arctan x = x x^3/3 + x^5/5 ... (x≤1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(1)k1*x2k1/(2k1)!+... (∞x∞) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(1)k*x2k/(2k)!+... (∞x∞) arcsinh x = x 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 ... (|x|1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|1) 三、幾種無窮級數(shù)的解法 （一）利用級數(shù)和的定義求和 例 1：求級數(shù) 11 (2 1) , | | 1nn n q q? ?? ???的和。 當(dāng) 0x =0 時(shí)，01 ()nnn a x x?? ?? 0 nn ax????稱為 x的冪級數(shù)。在通常的論著和 教材中一般都講得很少，而且介紹分散，本文集中介紹了幾種求級數(shù)的方法。算術(shù)的加法可以對有限個(gè)數(shù)求和，但無法對無限個(gè)數(shù)求和，有些數(shù)列可以用無窮級數(shù)方法求和。 關(guān)鍵詞： 無窮級數(shù)；求和；極限 中圖分類號 ： The summation methods of infinite series Yi Jiewen Abstract: Infinite series of higher mathematics is an important ponent of that function it is to study the nature of a few, as well as a tool for numerical calculation. Therefore, in product
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