淺談對稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用＿畢業(yè)論文-全文預(yù)覽
【正文】 11 )1(22 ???? yxyx . （ 1） 有 ： ),1()1()1( 22 yyyxxy ????? 化簡得 ： yx? . 把（ 1）式中的 x 與 y 互換得 ： 11 )1( 22 ???? xyxy , 即 1s ins inco sco s 2424 ?? ???? . 例 4 在銳角△ ABC 中 , 求證 ： 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 5 CBACBA c o sc o sc o ss ins ins in ????? . 分析 左 、 右兩邊均是關(guān)于 CBA , 的完全對稱式 , 只需比較 BA sinsin ? 和BA coscos ? . 證 因為 , 2c o s2s in2s ins in BABABA ???? , 2c o s2c o s2c o sc o s BABABA ???? . 且根據(jù)條件有 .2,0 ??? CBA ???? CBA . 若 42 ???BA , 則 2???BA . 那么 ,2??C 矛盾 . 所以 224 ?? ??? BA . 從而 , 2c o s2s in BABA ??? . 又因為 222 ?? ???? BA , 所以 02cos ??BA . 從而 , BABA c o sc o ss ins in ??? . 同理 CBCB c o sc o ss ins in ??? , ACAC c o sc o ss ins in ??? . 三式分別相加并除 2, 即可得到要證的不等式 . 以上介紹了對稱性在求解幾何 、 方程 、 三角中的應(yīng)用 . 對稱是初等數(shù)學(xué)中的常見現(xiàn)象 , 學(xué)習(xí)過程中 , 抓住對稱關(guān)系可優(yōu)化問題結(jié)構(gòu) , 通過自己的不斷摸索與實踐 , 逐步掌握對稱的方法 , 以便熟練運用對稱去解決各類問題 . 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 6 第四章 對稱性在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 對稱 性在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域有相當(dāng)重要的作用 , 我們可以根據(jù)所研究的數(shù)學(xué)對象本身的對稱性解決問題 , 就微積分部分 , 許多問題用“正規(guī)”的方法解決十分麻煩 , 但根據(jù)函數(shù)奇偶性 、 積分區(qū)域 、 函數(shù)圖象的對稱性便可以簡化運算 . 對稱性在求導(dǎo)中的應(yīng)用 定義 1 若 ? ?nxxxf ?21, 中任意兩個變元對換而函數(shù)不變 , 則稱 ? ?nxxxf ?21,是對稱函數(shù) . 定理 1 若 ),( yxf 是偏導(dǎo)數(shù)存在的對稱函數(shù) , 則 y xyfx yxf ????? ),(),(. 定理 1可以推廣到高階偏導(dǎo)數(shù)的情況 . 定理 2 若函數(shù) ),( yxf 的偏導(dǎo)數(shù)存在 , 且 ),(),( xyfyxf ?? , 則x xyfy yxf ?????? ),(),(. 定義 2 如果函數(shù) ),( zyxf 在輪換 ： x 換 y , y 換 z , z 換 x 下不變 , 則稱? ?zyxf , 為三元輪換對稱函數(shù) . 定理 3 若 ),( zyxfu? 是一個三元輪換對稱函數(shù) , 則它對任意變元所得的 n階偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果都可以經(jīng)輪換 xzzyyx ??? , 直接轉(zhuǎn)換為其他變元的 n階偏導(dǎo)數(shù) . 例 5 設(shè)yxa rct gyxya rct gxz 22 ??, 求2222 ,yzxzyzxz ????????. 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 7 解 由于函數(shù) z 對于 yx, 具有對稱性 , 且 ,)( )3(22,)(2 222 222222 22 yx yxxyxyar c t gx zyx xyyxyx ar c t gxz ? ??????????? 故 22222222222)( )3(22,)(2 yx xyxyyxar c t gy zyx yxxyxy ar c t gyz ? ???????????. 有些函數(shù)在對換變量后與原來函數(shù)差別很?。ㄈ鐑H差一個負(fù)號） , 我們稱之為“潛在對稱”性函數(shù) . “潛在對稱”性函數(shù)的求導(dǎo) , 對具備“潛在對稱”性的函數(shù) , 視具體情況簡化求導(dǎo) . 例 6 設(shè)yx xyyxyxF s ins in1 co sco s),( ?? ??, 求2222 ,yFxFyFxF ????????. 分析 因為 ),(),( xyFyxF ?? , 所以 ),( yxF 不具有對稱性 . 但考慮到僅差一個 負(fù) 號 , 于是當(dāng) ),(),( yxfx yxF ??? 存在時 , ),()],([),( xyfy xyFx yxF ???????? . 可見 , 將 xF?? 中 yx, 互 換后 添一負(fù) 號可得到y(tǒng)F??. 也可用類似方法得到二階導(dǎo)數(shù) . 對稱性在積分中的應(yīng)用 對稱性在定積分中的應(yīng)用 定理 4 設(shè)函數(shù) )(xf 在 ],[ aa? 上連續(xù) , 則 ?????? ??? .)(0)(,)(2)(為奇函數(shù)，若為偶函數(shù)；若xfxfdxxfdxxf aoaa 如果我們放寬條件 , 只要求積分區(qū)間對稱 , 則可將定理 4推廣到 ： 定理 5 設(shè) )(),( xgxf 在 ],[ aa? 上連續(xù)， 則 ?????????????? .)(,)]()()[()(,)]()()[()()(00為奇函數(shù)為偶函數(shù)；xgdxxfxfxgxgdxxfxfxgdxxgxfaaaa 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 8 定理 6 若 ???0 )( dxxf存在 , 則 ? ????? ???????? .)(0 )(,)(2)( 0 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)；xf xfdxxfdxxf 定理 7 設(shè) ],[)( cacaCxf ??? , 則 ????? ?????? ?? ??? ).()2(,)(2)。),(),(,0),(3時當(dāng)時當(dāng)zyxfzyxfd x d y d zzyxfzyxfzyxfd x d y d zzyxf 其中 }0,),{(3 ??? zQzyxQ . 例 15 計算三重積分 ???? dvzyxz ),ln(222 , 其中 ? 是由平面 132 ??? zyx 與三個坐標(biāo)面所圍成的四面體 . 解 積分區(qū)域 ? 關(guān)于 xoy 面對稱 , 被積函數(shù) ),ln( 222 zyxz 是 z的奇函數(shù) , 所以 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 12 0),ln( 222 ????? dvzyxz . 例 16 計算 ???? ??? dx dy dzxyxyyxI )33(23. 其中 ?
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