【正文】 xyyxyxF s ins in1 co sco s),( ?? ??, 求2222 ,yFxFyFxF ????????. 分析 因?yàn)?),(),( xyFyxF ?? , 所以 ),( yxF 不具有對(duì)稱性 . 但考慮到僅差一個(gè) 負(fù) 號(hào) , 于是當(dāng) ),(),( yxfx yxF ??? 存在時(shí) , ),()],([),( xyfy xyFx yxF ???????? . 可見 , 將 xF?? 中 yx, 互 換后 添一負(fù) 號(hào)可得到y(tǒng)F??. 也可用類似方法得到二階導(dǎo)數(shù) . 對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用 對(duì)稱性在定積分中的應(yīng)用 定理 4 設(shè)函數(shù) )(xf 在 ],[ aa? 上連續(xù) , 則 ?????? ??? .)(0)(,)(2)(為奇函數(shù)，若為偶函數(shù)；若xfxfdxxfdxxf aoaa 如果我們放寬條件 , 只要求積分區(qū)間對(duì)稱 , 則可將定理 4推廣到 ： 定理 5 設(shè) )(),( xgxf 在 ],[ aa? 上連續(xù)， 則 ?????????????? .)(,)]()()[()(,)]()()[()()(00為奇函數(shù)為偶函數(shù)；xgdxxfxfxgxgdxxfxfxgdxxgxfaaaa 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 8 定理 6 若 ???0 )( dxxf存在 , 則 ? ????? ???????? .)(0 )(,)(2)( 0 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)；xf xfdxxfdxxf 定理 7 設(shè) ],[)( cacaCxf ??? , 則 ????? ?????? ?? ??? ).()2(,)(2)。),(,),(2),(1的偶函數(shù)為關(guān)于，若的奇函數(shù)為關(guān)于若zzyxfzzyxfd x d yzyxfd x d yzyxf (其中 1? 為 ? 在 xoy 平面上側(cè)的部分 ). 例 21 求 dszyx??? ?? )c osc osc os(222 ??? , 其中 ? 為錐面 )co s,co s,( co s),0(222 ???????? nhzzyx 為 ? 的朝下的單位法向量 . 解 原式 ? ??? ?? dx dyzdx dzydy dzx222 . 由于 ? 既關(guān)于 xoy 平面對(duì)稱 , 也關(guān)于 yoz 平面對(duì)稱 , 而 2x 為 x 的偶函數(shù) , 2y聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 15 為 y 的偶函數(shù) , 所以 0,0 22 ?? ???? ?? dz dxydy dzx . 原式 ?????? ???? dx dyyxdx dyz )(222 .2 40320hdrrd h??????? ?? 以上介紹了對(duì)稱性在微分 、 定積分 、 重 積分 、 曲線積分 、 曲面積分中的應(yīng)用 , 在應(yīng)用對(duì)稱性求積分時(shí)應(yīng)該注意 ： 必須兼顧被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個(gè)方面 , 只有當(dāng)兩個(gè)方面的對(duì)稱性相匹配時(shí)才能利用 ； 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲面積分 , 在利用對(duì)稱性時(shí) , 尚需考慮積分路線的方向和曲面的側(cè) , 需慎重 ； 有些問題用輪換對(duì)稱性也可得到簡(jiǎn)便的解答 . 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 16 第五章 結(jié)束語 對(duì)稱思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想 , 利用對(duì)稱關(guān)系解題也是常用的一種解題技巧 . 用對(duì)稱性解題 , 不僅可以提高解題的速度 , 增大正確率 、 更重要的是增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 , 反映數(shù)學(xué)的內(nèi)在美 , 提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì) , 意義重大 . 開發(fā)問題中的對(duì)稱關(guān)系 , 往往能使問題得到簡(jiǎn)捷的解答 . 本文初步討論對(duì)稱性及其在幾何 、 方程 、 三角 、 微積分中的應(yīng)用 , 給出了各部分關(guān)于對(duì)稱性的定理 , 并應(yīng)用定理解題 . 由于對(duì)稱性普遍存在于數(shù)學(xué)各領(lǐng)域中且具有非常豐富的內(nèi)容 , 因此 , 對(duì)稱在數(shù)學(xué)研究中的重要作用 , 還有待于進(jìn)一步的挖掘 、 開發(fā) 、 推廣 、 利用 , 從以上內(nèi)容可以看出 , 在求解 多元函數(shù)的積分問題中 , 對(duì)稱性的利用是極為有用的 , 自覺地注意到問題的對(duì)稱性并巧妙地用它去解答問題 , 對(duì)于學(xué)好多元函數(shù)的積分學(xué) , 從而更進(jìn)一步學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分重要的 . 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 17 參考文獻(xiàn) [1]數(shù)學(xué)分析 (上 、 下 冊(cè) ). 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 . 武漢 ： 華中師范大學(xué)出版社 . 20xx. [2]高中數(shù)學(xué)（必修 4） . 北京 ： 人民教育出版社 . 20xx. [3]張開瑜 . 對(duì)稱美在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 . 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) . 1999, 6. [4]藺守臣 , 蔡恒錄 . 對(duì)稱思想及解題 . 天水師專學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版） . 20xx(20). [5]朱根林 , 孟慶麟 . 對(duì)稱性原則在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 . 宿州學(xué)院學(xué)報(bào) . 20xx, 4. [6]郭環(huán) . 對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用 . 山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào) . 20xx, 6. [7]孔令華 . 對(duì)稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 . 贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào) . 20xx(6). [8]胡曉明 . 對(duì)稱性在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 . 中國校外教育 . 20xx, 8. [9]于頻 . 對(duì)稱性在微積分應(yīng)用中的教學(xué)歸納 . 重慶工學(xué)院學(xué)報(bào) . 20xx, 10. [10]王偉平 . 對(duì)稱在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 . 濟(jì)南交通高等專科學(xué)校學(xué)報(bào) . 20xx, 3. [11]張振強(qiáng) . 對(duì)稱性在二重積分計(jì)算中的應(yīng)用 . 南寧師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào) . 20xx. [12]梁應(yīng)仙 , 辛蘭芬 . 對(duì)稱性在三重積分計(jì)算中的應(yīng)用 . 沈陽大學(xué)學(xué)報(bào) . 20xx, 12. [13]文武 . 對(duì)稱性在重積分中的應(yīng)用 . 川東學(xué)刊（自然科學(xué)版） . 1997, 4. [14]劉維龍 , 邵益新 . 曲線積分計(jì)算中奇偶性 、 對(duì)稱性的應(yīng)用 . 無錫教育學(xué)院學(xué)報(bào) . 1998. [15]于信 , 李秀珍 . 對(duì)稱性在多元函數(shù)積分中的應(yīng)用 . 山東商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) . 20xx, 12. 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 18 致 謝 首先我非常感謝劉利 英老師在我的論文創(chuàng)作期間 , 對(duì)我的耐心指導(dǎo)并幫我及時(shí)糾正了論文的一些不足之處 , 給我提出了寶貴的意見 , 使我在寫本文的過程中不斷的改進(jìn) , 為論文的成功完成奠定了基礎(chǔ) . 對(duì)于本論題的完成 , 老師花費(fèi)了不少心血 , 她豐富的授課內(nèi)容拓寬了我的視野 , 嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致 、 一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作 、 學(xué)習(xí)中的榜樣 , 她循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪 , 讓 我順利的完成這篇文章 . 此外 , 在完成這篇文章的過程中 , 我還得到了許多同學(xué)的熱心幫助 . 在此 , 我對(duì)給予過我?guī)椭睦蠋熀屯瑢W(xué)表示衷心地感謝 .