【正文】 ??? BA . 從而 , 2c o s2s in BABA ??? . 又因為 222 ?? ???? BA , 所以 02cos ??BA . 從而 , BABA c o sc o ss ins in ??? . 同理 CBCB c o sc o ss ins in ??? , ACAC c o sc o ss ins in ??? . 三式分別相加并除 2, 即可得到要證的不等式 . 以上介紹了對稱性在求解幾何 、 方程 、 三角中的應用 . 對稱是初等數(shù)學中的常見現(xiàn)象 , 學習過程中 , 抓住對稱關系可優(yōu)化問題結(jié)構 , 通過自己的不斷摸索與實踐 , 逐步掌握對稱的方法 , 以便熟練運用對稱去解決各類問題 . 聊城大學本科畢業(yè)論文 6 第四章 對稱性在高等數(shù)學中的應用 對稱 性在高等數(shù)學領域有相當重要的作用 , 我們可以根據(jù)所研究的數(shù)學對象本身的對稱性解決問題 , 就微積分部分 , 許多問題用“正規(guī)”的方法解決十分麻煩 , 但根據(jù)函數(shù)奇偶性 、 積分區(qū)域 、 函數(shù)圖象的對稱性便可以簡化運算 . 對稱性在求導中的應用 定義 1 若 ? ?nxxxf ?21, 中任意兩個變元對換而函數(shù)不變 , 則稱 ? ?nxxxf ?21,是對稱函數(shù) . 定理 1 若 ),( yxf 是偏導數(shù)存在的對稱函數(shù) , 則 y xyfx yxf ????? ),(),(. 定理 1可以推廣到高階偏導數(shù)的情況 . 定理 2 若函數(shù) ),( yxf 的偏導數(shù)存在 , 且 ),(),( xyfyxf ?? , 則x xyfy yxf ?????? ),(),(. 定義 2 如果函數(shù) ),( zyxf 在輪換 ： x 換 y , y 換 z , z 換 x 下不變 , 則稱? ?zyxf , 為三元輪換對稱函數(shù) . 定理 3 若 ),( zyxfu? 是一個三元輪換對稱函數(shù) , 則它對任意變元所得的 n階偏導數(shù)的結(jié)果都可以經(jīng)輪換 xzzyyx ??? , 直接轉(zhuǎn)換為其他變元的 n階偏導數(shù) . 例 5 設yxa rct gyxya rct gxz 22 ??, 求2222 ,yzxzyzxz ????????. 聊城大學本科畢業(yè)論文 7 解 由于函數(shù) z 對于 yx, 具有對稱性 , 且 ,)( )3(22,)(2 222 222222 22 yx yxxyxyar c t gx zyx xyyxyx ar c t gxz ? ??????????? 故 22222222222)( )3(22,)(2 yx xyxyyxar c t gy zyx yxxyxy ar c t gyz ? ???????????. 有些函數(shù)在對換變量后與原來函數(shù)差別很?。ㄈ鐑H差一個負號） , 我們稱之為“潛在對稱”性函數(shù) . “潛在對稱”性函數(shù)的求導 , 對具備“潛在對稱”性的函數(shù) , 視具體情況簡化求導 . 例 6 設yx xyyxyxF s ins in1 co sco s),( ?? ??, 求2222 ,yFxFyFxF ????????. 分析 因為 ),(),( xyFyxF ?? , 所以 ),( yxF 不具有對稱性 . 但考慮到僅差一個 負 號 , 于是當 ),(),( yxfx yxF ??? 存在時 , ),()],([),( xyfy xyFx yxF ???????? . 可見 , 將 xF?? 中 yx, 互 換后 添一負 號可得到y(tǒng)F??. 也可用類似方法得到二階導數(shù) . 對稱性在積分中的應用 對稱性在定積分中的應用 定理 4 設函數(shù) )(xf 在 ],[ aa? 上連續(xù) , 則 ?????? ??? .)(0)(,)(2)(為奇函數(shù)，若為偶函數(shù)；若xfxfdxxfdxxf aoaa 如果我們放寬條件 , 只要求積分區(qū)間對稱 , 則可將定理 4推廣到 ： 定理 5 設 )(),( xgxf 在 ],[ aa? 上連續(xù)， 則 ?????????????? .)(,)]()()[()(,)]()()[()()(00為奇函數(shù)為偶函數(shù)；xgdxxfxfxgxgdxxfxfxgdxxgxfaaaa 聊城大學本科畢業(yè)論文 8 定理 6 若 ???0 )( dxxf存在 , 則 ? ????? ???????? .)(0 )(,)(2)( 0 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)；xf xfdxxfdxxf 定理 7 設 ],[)( cacaCxf ??? , 則 ????? ?????? ?? ??? ).()2(,)(2)。),(,),(2),(1的奇函數(shù)為關于若的偶函數(shù)為關于若zzyxfzzyxfdszyxfdszyxf (其中 1? 為 ? 在 xoy 平面上側(cè)的部分 ). 例 20 求 dszxy )(2??? ?, 其中 ? 為半球面 228 yxz ??? 位于閉區(qū)域4: 22 ?? yxD 內(nèi)的部分 . 解 ? 關于坐標面 0?x 和 0?y 對稱 , 而 xy 是關于變量 x , 也是關于變量 y 的奇函數(shù) , 所 以 0???? dsxy . 從而 ,原式 = dsz???2 = d x d yyxyxD 2222 8 22)8( ??????? ).24(332822 20 220???? ????? drrrd （ 2）設分片光滑的閉曲面 ? 關于 xoy 平面對稱 , 法方向取外側(cè) , 而 ),( zyxf是 ? 上的連續(xù)函 數(shù) , 則 ?????? ???? ?? .),(0。),(),(,0),(1時當時當zyxfzyxfd x d y d zzyxfzyxfzyxfd x d y d zzyxf 其中 }0,),{(1 ??? xQzyxQ . （ 2） 若 Q 關于 xoz 坐標面對稱 , 對于任意 Qzyx ?),( , 則 ????? ?????? ?????? .),(),(,),(2 。 function。),(),(,0),(時當時當 聊城大學本科畢業(yè)論文 13 其中 }0,),{(1 ??? xLyxL . （ 2）若 L 關于 x 軸對稱 , 則 ? ?????? ??????LL yxfyxfdsyxfyxfyxfdsyxf2.),(),(,),(2。),(),(,0),(3時當時當zyxfzyxfd x d y d zzyxfzyxfzyxfd x