淺談對(duì)稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用＿畢業(yè)論文-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 )2(81 ?? ? . 對(duì)稱性在重積分中的應(yīng)用 關(guān)于對(duì)稱性在重積分中有如下定理 ： 定理 8 設(shè) ),( yxf 在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù) , （ 1）若 D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱 , 對(duì)于任意 Dyx ?),( , 則 ????? ?????? ???? .),(),(,),(2 ),(),(,0),(1時(shí)當(dāng)時(shí)；當(dāng)yxfyxfd x d yyxfyxfyxfd x d yyxfDD 其中 }0,{D 1 ??? xDyx ）（ . （ 2）若 D關(guān)于 x 軸對(duì)稱 , 對(duì)于任意 Dyx ?),( , 則 ????? ?????? ???? .),(),(,),(2 ),(),(,0),(2時(shí)當(dāng)時(shí)；當(dāng)yxfyxfd x d yyxfyxfyxfd x d yyxfDD 其中 }0,{D 2 ??? yDyx ）（ . 例 11 計(jì)算 ?? ???D yxyDdyx 4,:,)(22 ? . 解 yxyxf ?? 2),( 是關(guān)于 x 的偶函數(shù) , 積分區(qū)域 D關(guān)于 y 軸對(duì)稱 , 由對(duì)稱性聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 10 得到 ?? ?? ???D D dyxdyx 1 )(2)( 22 ?? ?? ?? 4 220 2 )(2 x dyyxdx 15234? . 例 12 計(jì)算 ?? ???D dx dyyxI )1(22, 其中 D 為矩形 22,11 ?????? yx . 解 容易看出積分中 yx, 對(duì)稱 , 有 ?? ??? 20 2210 )1(4 dyyxdxI ? ??? 10 2022 |)31(4 dxyyyx ? ?? 10 2 )3142(4 dxx 102 |]31432[4 xx ?? 364? . 例 13 計(jì)算 1:, ??? ?? yxDdx dyxyID. 解 積分中 yx, 對(duì)稱 , 由對(duì)稱性可知 d xd yxyd xd yxyI DD ???? ??14 dyxydx x?? ?? 10104 61? . 例 14 證明不等式 ?? ???D dxy 2)s in( c os122 ?. 其中 D 是正方形域 ： 10,10 ???? yx . 證 因?yàn)榉e分區(qū)域 D關(guān)于直線 xy? 對(duì)稱 , 所以 ?? dxdyDD ???? ?22 c osc os , 從而有 .)4s i n (2)s i n( c o s)s i n( c o s22222???????????DDDdxdxxdxy???? 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 11 因?yàn)?10 2??x , 所以 1)4s in (22 2 ??? ?x . 從而 2)4s in (21 2 ??? ?x . 又 D 的面積為 1, 所以 ?? ???D dxy 2)s in( c os122 ?. 在進(jìn)行二重積分計(jì)算時(shí) , 善于觀察被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn) , 注意兼顧被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性 , 恰當(dāng)?shù)乩脤?duì)稱性方法解題 , 可以避免繁瑣計(jì)算 , 使二重積分問(wèn)題的解答大大簡(jiǎn)化 . 定理 9 設(shè) ),( zyxf 在有界閉區(qū)域 Q上連續(xù) , （ 1） 若 Q關(guān)于 yoz 坐標(biāo)面對(duì)稱 , 對(duì)于任意 Qzyx ?),( , 則 ????? ?????? ?????? .),(),(,),(2 。 integration聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 1 淺談對(duì)稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 第一章 引 言 作為人類認(rèn)知世界的結(jié)晶 , 對(duì)稱性與人類的文明歷史一樣久遠(yuǎn) , 它普適于人類生活的各個(gè)方面 . 我們的先人首先從認(rèn)識(shí)自然界的形象對(duì)稱開始 , 如樹葉的左右對(duì)稱 、 月圓時(shí)的中軸對(duì)稱等 , 并把這種對(duì)稱外化為人工自然當(dāng)中 . 如此 , 對(duì)稱性的觸角自古代開始就向自然科學(xué)中延伸 . 著名的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在其《幾何原本》 中就研究幾何圖形的對(duì)稱性 . 近代的數(shù)學(xué)還進(jìn)一步創(chuàng)立了關(guān)于對(duì)稱性的數(shù)學(xué)理論 —— 群論 . 對(duì)稱是數(shù)學(xué)美的一種重要表現(xiàn)形式 , 它不僅給我們以美感 , 更重要的它是一種思想方法 , 它既是思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn) , 又是探索解題思路的精良武器 , 在簡(jiǎn)化解題過(guò)程 、 進(jìn)行數(shù)學(xué)命題推廣等方面也具有獨(dú)特的作用 , 用對(duì)稱性學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí) , 可起到事半功倍的效果 . 本文主要介紹了利用對(duì)稱性求解初等數(shù)學(xué)中的幾何 、 方程等問(wèn)題以及利用對(duì)稱性求解高等數(shù)學(xué)中的各種積分問(wèn)題的基本解題思路與方法 , 重點(diǎn)研究了對(duì)稱性在重積分中的應(yīng)用 . 第二章 研究對(duì)稱 性的意義 對(duì)稱 , 在現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典中解釋為 圖形或物體對(duì)某個(gè)點(diǎn) 、 直線或平面而言 , 在大小 、 形狀和排列上具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 .數(shù)學(xué)中的對(duì)稱主要有幾何對(duì)稱和代數(shù)對(duì)稱 .幾何對(duì)稱是一種位置對(duì)稱 , 從變換的角度而言 , 平面圖形有軸對(duì)稱 、 中心對(duì)稱和平移對(duì)稱三種對(duì)稱形式 , 代數(shù)對(duì)稱通常有二元對(duì)稱和多元輪換對(duì)稱共扼 、 對(duì)偶 、聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 2 配對(duì)也可看作是一種廣義的對(duì)稱對(duì)偶是一種深層次的 對(duì)稱 , 其對(duì)稱性不表現(xiàn)在形狀上 , 而表現(xiàn)在某種關(guān)系上 . 對(duì)稱的概念在數(shù)學(xué)中有廣泛而重要的應(yīng)用 . 對(duì)于一元函數(shù)而言對(duì)稱通常表現(xiàn)為奇 、 偶函數(shù) , 其圖象關(guān)于原點(diǎn) 、 x 、 y 軸對(duì)稱等 . 幾何中的對(duì)稱主要是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱 . 軸對(duì)稱 : 任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分 ； 中心對(duì)稱 : 任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段過(guò)對(duì)稱中心 , 且被中心平分 , 幾何中的對(duì)稱性是極為普遍的 , 并有相對(duì)的固定規(guī)律 . 在求解高等數(shù)學(xué)的某些問(wèn)題時(shí) , 利用對(duì)稱性往往能簡(jiǎn)化解題過(guò)程 . 如果能在分析問(wèn)題 、 處理問(wèn)題時(shí)有意識(shí)地利用事物的對(duì)稱性 , 并使人們的思維過(guò)程與之相適應(yīng) , 不但可以更好的把握事物的本質(zhì) , 還可以使思維和推理過(guò)程更簡(jiǎn)潔 , 更快地打開思路 , 并能快捷地解決問(wèn)題 . 第三章 對(duì)稱性在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 對(duì)稱性在初等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用 , 在中學(xué)數(shù)學(xué)中常有對(duì)稱現(xiàn)象 , 既有幾何中的軸對(duì)稱 、 中心對(duì)稱等空間對(duì)稱 , 又有代數(shù)中的周期節(jié)奏和旋律的時(shí)間對(duì)稱 . 在學(xué)習(xí)過(guò)程中 , 挖掘出數(shù)學(xué)問(wèn)題中的關(guān)系結(jié)構(gòu)的和諧性與對(duì)稱性 , 能簡(jiǎn)化運(yùn)算 , 優(yōu)化思路 . 下面談?wù)剬?duì)稱在中學(xué)數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用 . 對(duì)稱性在幾何中的應(yīng)用 在幾何方面 , 對(duì)稱性較為直觀 , 通過(guò)畫出幾何圖形就能容易地發(fā)現(xiàn)具有對(duì)
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