淺談對稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用＿畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 稱性的對象 . 球 、 圓 、 雙曲線 、 拋物線等的對稱性是很直觀的 , 利用它們的對稱性可以解決許多幾何問題 . 例 1 如圖 , 一 個圓柱被一個平面所截 , 截面橢圓的長軸長為 5, 短軸長為 4, 被截后的幾何體最短母線長為 2, 求這個幾何體的體積 . 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 3 分析 該幾何體既不是圓柱 ， 也不是圓臺 , 更不是圓錐 , 我們直接計算其體積是不行的 . 利用對稱原理 , 在其上面補一個完全相同的幾何體 , 成為一個完整的圓柱 . 解 由條件 , 圓柱的底面直徑為截面橢圓的短軸長 4, 又長軸長為 5, 345 22 ???CE . 所以 5?BC . 補成圓柱的母線長為 7. 所求幾何體的體積為 ?? 147221 2 ?????V . 在幾何方面對稱性較為直觀 , 因此就更能理解與留意 , 而在代數(shù)方面就不那么直觀 , 而是較為抽象 , 相對也就更不關(guān)心代數(shù)式的對稱性 , 其實對稱性在代數(shù)上的應(yīng)用也非常廣泛 , 往往能夠化繁為簡 , 化難為易 . 對稱性在方程中的應(yīng)用 在解方程時 , 有時若按常規(guī)方法去解 , 則顯得較為復(fù)雜 , 這時可考慮添加因式 , 用對稱思想去求解 . 例 2 已知 ??, 是方程 032 ??? XX 的兩根 , 求??2 的值 . 分析 因為??2 不是關(guān)于 ??, 的對稱式 , 無法直接使用韋達定理 , 但我們只需添加因式 ??2 , 則 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 4 310]3)) [ ((222 ????????? ??????????； 3134]))[((222 ????????? ??????????. 兩式都是關(guān)于 ??, 的對稱式 , 由此可得3 13252 ?????. 對稱性在三角中的應(yīng)用 例 3 已知 1s ins inc o sc o s 2424 ??????, 求證 1s ins inco sco s2424 ?? ???? . 分析 觀察題目的條件和結(jié)論 , 可以看出他們之間結(jié)構(gòu)上的對稱性 ： ?2cos與 ?2cos 對稱 , ?2sin 與 ?2sin 對稱 , 有這種對稱性的啟發(fā) , 我們猜想?? 22 sinsin ? , ?? 22 coscos ? . 為此 , 我們設(shè) .s in,s in 22 ?? ?? yx )1,0(. ?yx , 原式變?yōu)?： 11 )1(22 ???? yxyx . （ 1） 有 ： ),1()1()1( 22 yyyxxy ????? 化簡得 ： yx? . 把（ 1）式中的 x 與 y 互換得 ： 11 )1( 22 ???? xyxy , 即 1s ins inco sco s 2424 ?? ???? . 例 4 在銳角△ ABC 中 , 求證 ： 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 5 CBACBA c o sc o sc o ss ins ins in ????? . 分析 左 、 右兩邊均是關(guān)于 CBA , 的完全對稱式 , 只需比較 BA sinsin ? 和BA coscos ? . 證 因為 , 2c o s2s in2s ins in BABABA ???? , 2c o s2c o s2c o sc o s BABABA ???? . 且根據(jù)條件有 .2,0 ??? CBA ???? CBA . 若 42 ???BA , 則 2???BA . 那么 ,2??C 矛盾 . 所以 224 ?? ??? BA . 從而 , 2c o s2s in BABA ??? . 又因為 222 ?? ???? BA , 所以 02cos ??BA . 從而 , BABA c o sc o ss ins in ??? . 同理 CBCB c o sc o ss ins in ??? , ACAC c o sc o ss ins in ??? . 三式分別相加并除 2, 即可得到要證的不等式 . 以上介紹了對稱性在求解幾何 、 方程 、 三角中的應(yīng)用 . 對稱是初等數(shù)學(xué)中的常見現(xiàn)象 , 學(xué)習(xí)過程中 , 抓住對稱關(guān)系可優(yōu)化問題結(jié)構(gòu) , 通過自己的不斷摸索與實踐 , 逐步掌握對稱的方法 , 以便熟練運用對稱去解決各類問題 . 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 6 第四章 對稱性在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 對稱 性在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域有相當(dāng)重要的作用 , 我們可以根據(jù)所研究的數(shù)學(xué)對象本身的對稱性解決問題 , 就微積分部分 , 許多問題用“正規(guī)”的方法解決十分麻煩 , 但根據(jù)函數(shù)奇偶性 、 積分區(qū)域 、 函數(shù)圖象的對稱性便可以簡化運算 . 對稱性在求導(dǎo)中的應(yīng)用 定義 1 若 ? ?nxxxf ?21, 中任意兩個變元對換而函數(shù)不變 , 則稱 ? ?nxxxf ?21,是對稱函數(shù) . 定理 1 若 ),( yxf 是偏導(dǎo)數(shù)存在的對稱函數(shù) , 則 y xyfx yxf ????? ),(),(. 定理 1可以推廣到高階偏導(dǎo)數(shù)的情況 . 定理 2 若函數(shù) ),( yxf 的偏導(dǎo)數(shù)存在 , 且 ),(),( xyfyxf ?? , 則x xyfy yxf ?????? ),(),(. 定義 2 如果函數(shù) ),( zyxf 在輪換 ： x 換 y , y 換 z , z 換 x 下不變 , 則稱? ?zyxf , 為三元輪換對稱函數(shù) . 定理 3 若 ),( zyxfu? 是一個三元輪換對稱函數(shù) , 則它對任意變元所得的 n階偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果都可以經(jīng)輪換 xzzyyx ??? , 直接轉(zhuǎn)換為其他變元的 n階偏導(dǎo)數(shù) . 例 5 設(shè)yxa rct gyxya rct gxz 22 ??, 求2222 ,yzxzyzxz ????????. 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 7 解 由于函數(shù) z 對于 yx, 具有對稱性 , 且 ,)( )3(22,)(2 222 222222 22 yx yxxyxyar c t gx zyx xyyxyx ar c t gxz ? ??????????? 故 22222222222)( )3(22,)(2 yx xyxyyxar c t gy zyx yxxyxy ar c t gyz ? ???????????. 有些函數(shù)在對換變量后與原來函數(shù)差別很?。ㄈ鐑H差一個負號） , 我們稱之為“潛在對稱”性函數(shù) . “潛在對稱”性函數(shù)的求導(dǎo) , 對具備“潛在對稱”性的函數(shù) , 視具體情況簡化求導(dǎo) . 例 6 設(shè)yx
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