【正文】 生前兩個月去世的 。 需要有一個人來走那最高和最后的一步 ， 這個人要能足夠敏銳地從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價值的想法 ， 有足夠想象力地把這些碎片重新組織起來 ， 并且能足夠大膽地制定一個宏偉的計劃 。 牛頓與萊布尼茨 于是人們驚問 ， 在主要的新結果方面 ， 還有什么有待于發(fā)現(xiàn)呢 ？ 問題的回答是 ， 方法的較大普遍性以及從特殊問題里已建立起來的東西中認識其普遍性 。 用什么方法？我們以后再慢慢講?？ㄍ吡欣飳⑸厦嬗懻摰拿娣e看成無限多個他稱之為不可分量 （ 牛頓稱之為終結不可分量 ） 的總和 。在 ?? x Oxy 2x 2xy ?h2y1x hyhyS 21* ??*SS ?1y Oxy 3x 2xy ?h3yh1x2 hyhyhyS 321* ???*SS ?y2 Oxy nx 2xy ?hny hyhyhyhyS nn ????? ? 121* ?*SS ?ixiy 直觀地看 ，小矩形越多 ， 其面積和就越接近于所求曲線下的面積 。盡管如此 ， 事實上我們必須承認他是微積分學的創(chuàng)始人之一 。同除以時，才能對方程兩邊作只有當 hh ? 1612816128 2hh hhhk ????即 0 時才正確。 這就是說 ， 我們有了一個方案：首先計算不同時間間隔內的平均速度 ，然后研究當時間間隔越來越小時 ， 它們會趨近于哪一個數(shù) 。 牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的系統(tǒng)的微積分就是基于這一基本思想 。 這一系統(tǒng)發(fā)展的關鍵在于認識到：過去一直分別研究的微分和積分這兩個過程 ， 實際上是彼此互逆的聯(lián)系著 。這樣，除了用來處理數(shù)值所需要的基礎外，還需要邏輯方面的基礎。 一些第一流的數(shù)學家在確實感到結論無誤地情況下 ， 運用了一些新的概念 ， 有時甚至運用一些神秘的聯(lián)想 。 在后來的許多世紀中 ， 公理化的歐幾里德數(shù)學曾被認為是數(shù)學體系的典范 ， 甚至為其他學科所努力效仿 。 即熟知的幾何公理和算術法則 ， 它們支配著如整數(shù) 、 幾何點這樣一些基本對象之間的關系 。 16邊形 32邊形 64邊形 ?? 16邊形 這個正十六邊形不僅包含八邊形且包含圓與八邊形面積之差的一半以上 。 對正方形的每邊都這樣做 ， 得到一個正八邊形 。 ） ABEDC 設 AB 是內接正方形的一邊，平分弧 AB 于點C 處并連接 AC 與 CB 。 它的思想雖然古老 ， 但很重要 ， 阿基米德用得相當熟練 ， 我們就用他的一個例子來說明一下這種方法 。 第三類問題 第四類問題 求曲線的長度 、 曲線所圍成的面積 、 曲面所圍成的體積 、 物體的重心 、 一個體積相當大的物體作用于另一個物體上的引力 。 十七世紀初期，伽利略斷定，在真空中以 角發(fā)射炮彈時，射程最大。 第二類問題 第二類問題 困難在于：曲線的 “ 切線 ” 的定義本身就是一個沒有解決的問題 。 例如 ， 計算瞬時速度 ， 就不能象計算平均速度那樣 ， 用運動的時間去除移動的距離 ， 因為在給定的瞬刻 ， 移動的距離和所用的時間都是 0， 而 0 / 0 是無意義的 。 緊接著函數(shù)概念的采用 ， 產(chǎn)生了微積分 ， 它是繼歐幾里德幾何之后 ， 全部數(shù)學中的一個最偉大的創(chuàng)造 。 因為這個定義太窄 ， 所以很快就被遺忘了 ， 并被陸續(xù)出現(xiàn)的其它關于函數(shù)的定義替代 。 —— 狄德羅 十七世紀的微積分 任何重要思想的起源都可以追溯到幾十年或幾百年以前 ， 函數(shù)的概念也是如此 。聊聊天 微積分的產(chǎn)生 —— 1 1 19世紀的微積分 . 很久很久以前 , 在很遠很遠的一塊古老的土地上 , 有一群智者 …… 開普勒、笛卡爾、卡瓦列里、費馬、帕斯卡、 格雷戈里、羅伯瓦爾、惠更斯、巴羅、瓦里斯、 牛頓、萊布尼茨、 …… . 任何研究工作的開端 ， 幾乎都是極不完美的嘗試 ， 且通常并不成功 。 …… 可以這樣說 ， 為了尋找真理 ， 我們是注定要經(jīng)歷挫折和失敗的 。 格雷戈里將函數(shù)定義為這樣一個量： 它是其他的量經(jīng)過一系列代數(shù)運算而得到的 ，或者經(jīng)過任何其他可以想象到的運算而得到的 。 在 1650年以前 ， 無理數(shù)就一直被人們隨心所欲地使用著 。 困難在于：十七世紀所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化 。 這個問題的重要性來源于好幾個方面：純幾何問題 、 光學中研究光線通過透鏡的通道問題 、 運動物體在它的軌跡上任意一點處的運動方向問題等 。 第三類問題 求函數(shù)的最大最小值問題。但新的方法尚無眉目。 第四類問題 歐多克斯的窮竭法是一種有限且相當復雜的幾何方法 。 在圓里面內接一個正方形 ， 其面積大于圓面積的 1/2 （ 因為它大于圓外切正方形面積的 1/2， 而外切正方形的面積大于圓的面積 。故 // ABDE一半的三角形 ABC 的面積大于弓形 ACB 面積的一半 。 在八邊形的每邊上也可按照在 AB 上作三角形 ABC 那樣地作一個三角形 ， 從而得到一個正十六邊形 。 希臘數(shù)學的重大成就之一 ， 是將許多數(shù)學命題和定理按邏輯上連貫的方式歸為為數(shù)不多的非常簡單的公設或公理 。 這可靠嗎？ 已定型的數(shù)學結構就建立在這些公理的基礎之上 。 曾經(jīng)極其廣泛地開拓了數(shù)學領域的有創(chuàng)造才能的先驅們 ， 并不因為要使這些新發(fā)現(xiàn)受制于協(xié)調的邏輯分析而束縛住自己 ， 因此 ， 在十七世紀 ， 逐漸廣泛地采用直觀證據(jù)來代替演繹的證明 。 微積分不僅使用了函數(shù)概念，還引入了兩個全新的且更為復雜的概念：微分和積分。 然而 ， 微積分的系統(tǒng)發(fā)展是在十七世紀才開始的 ， 通常認為是牛頓和萊布尼茨兩位偉大的科學先驅的創(chuàng)造 。 事實上 ， 牛頓的老師巴羅 ， 就曾經(jīng)幾乎充分認識到微分與積分之間的互逆關系 。 顯然 ， 時間間隔越短 ， 計算出來的平均速度就越接近第四秒時的速度 。 小球下落的運動狀態(tài)可用下面的公式描述： )( 16 2 英尺td ?費馬所在時代用的是英制單位 , 256416 4 2 ???? dt 時，當設任意一個時間增量是 h ， 在第（ 4 + h） 秒時， 小球會下降 256 英尺加上距離增量 k : 16128256)4(16256 22 hhhk ??????即 16128 2hhk ?? 在 h 秒內（時間間隔）的平均速度為 16128161282hh hhhk ???? 幸好費馬作了這個現(xiàn)在看來并不合理的除法