【正文】 面積比等于其直徑平方比所作的 工作 。 困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積 ， 盡管他們只是對于比較簡單的面積和體積應用了這個方法 ， 但也必須添加許多技巧 ， 因為這個方法缺乏一般性 ， 而且經常得不到數值的解答 。 研究行星運動也涉及最大最小值問題。 古希臘人把圓錐曲線的切線定義為 “ 與曲線只接觸于一點而且位于曲線的一邊的直線 ” 。 但根據物理學 ， 每個運動的物體在它運動的每一時刻必有速度 ， 是不容懷疑的 。 雖然在某種程度上 ， 它是已被古希臘人處理過的那些問題的解答 ， 但是 ， 微積分的創(chuàng)立 ， 首先還是為了處理十七世紀主要的科學問題的 。 但即使是最簡單的函數也會涉及到實數 。 直到 17世紀 ， 人們對函數才有了明確的理解 。 每一條通向某個目的地的路都有許多未知的真理 ， 唯有一一嘗試 ， 方能覓得捷徑 。 也只有甘愿冒險 ， 才能將正確的途徑示以他人 。 函數概念的提出 ， 與伽利略和格雷戈里有關 。 而無理數在 17世紀時并不被人們充分了解 ， 于是 ， 人們在處理數值時就跳過邏輯 ， 對函數也是如此 。 哪些主要的科學問題呢 ? 有四種主要類型的問題 . Archimedes 第一類問題 已知物體移動的距離表為時間的函數的公式 ，求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來 ， 已知物體的加速度表為時間的函數的公式 ， 求速度和距離 。 第一類問題 求曲線的切線 。 這個定義對于十七世紀所用的較復雜的曲線已經不適應了 。 ?45 困難在于：原有的初等計算方法已不適于解決研究中出現的問題。 窮竭法先是被逐步修改 ， 后來由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了 。 Archimedes 阿基米德證明的主要精神是證明圓可以被圓內接多邊形窮竭。 12 ||||21321 BC??????。 因此 ， 等于矩形面積 8 邊形 所得到的八邊形不僅包含正方形且包含圓與正方形面積之差的一半以上 ?？梢钥隙ǎ瑘A與某一邊數足夠多的正多邊形面積之差可以弄得比任何預先給定的量還要小。 各項公理 ， 或因從哲學觀點看可以認為是 “ 顯然 ” 的 ， 或僅僅因其非常有說服力 ， 而被不加證明地予以 接受 。 ） 經過中世紀的停滯時期后 ， 數學同自然科學一起 ， 在新出現的微積分的基礎上開始了突飛猛進的發(fā)展 ， 這時公理化的方法才被人們遺棄了 。不過只有具備卓越才能的數學大師們才有可能能避免發(fā)生大錯 。這兩種過程的一些特殊的情況 ， 甚至在古代就已經有人考慮過 （ 在阿基米德工作中達到高峰 ） ， 而在十六世紀和十七世紀 ， 更是越來越受到人們的重視 。 許多人 ，例如 ， 費馬 、 伽利略 、 開普勒 、 巴羅等都曾為科學中的這些具有革命性的新思想所鼓舞 ， 對微積分的奠基作出過貢獻 。 我們可以計算從第四秒起 ， 間隔為 1/2 秒 ， 1/4 秒 ， 1/8 秒 ， ……內的平均速度 。 費馬研究的一個問題 假設一個小球正向地面落去 ， 我們想知道下落后第 4 秒時小球的速度 （ 瞬時速度 ） 。此外 , 對于 16 2td ?這樣簡單的函數 , 可以進行上述化簡工作 , 而對于更為 復雜的函數 , 就不一定可以進行這樣的化簡工作了 , 一 般只能導出如下的關系式： hhfhk )(?, 這樣，當 h = 0 時， k / h 就是 0 / 0 了，這是沒有意義的。 它是微分學的問題。 然而 ， 無窮大的含義本身就不清楚 。 牛頓后來甚至重申他已經放棄了終結不可分量 ， 而卡瓦列里只是說 ， 把一塊面積分割為越來越小的小矩形時 ， 最終就會得到終結不可分量 ， 面積就是由這些終結不可分量組成的 。 這里的問題是，當把非均勻變化的問題看成均勻變化時，能表示為兩個量的積的形式，則此時處理非均勻變化問題，可以采用 …… ？？？ 牛頓與萊布尼茨 實際上在牛頓與萊布尼茨作出他們的沖刺之前 ， 微積分的大量知識已經積累起來了 。 這普遍的東西是由兩個包羅萬象的思想家 ， 牛頓和萊布尼茨提供的 。 牛頓 （ 1642~1727年 ） ， 英國數學家 、物理學家 、 天文學家 、 自然哲學家 。 1661年他進入了劍橋大學的三一學院 ， 安靜而沒有阻力地學習著自然哲學 。 1669年牛頓接替他的數學老師巴羅的職位 ， 擔任 盧卡斯數學教授 。他從事過光學 、 天體力學 、 數學 、 化學 、 流體靜力學 、 流體動力學 、 物理學方面的研究工作 ， 還自己動手制作實驗裝置 ， 甚至自己制作了兩臺反射望遠鏡 （ 制作出做架子用的合金 、 澆鑄框架 、 做底座 、磨光鏡頭等 。 他用級數處理微分和積分 ， 已對級數的收斂和發(fā)散有所認識 。 1666年用三棱鏡實驗光的色散現象 ， 1668年發(fā)明并親手制作了第一架反射望遠鏡 。 1705年 ， 封為爵士 ， 享年 85歲 。 1666年以論文 《 論組合的藝術 》 獲得阿爾特道夫大學哲學博士學位 ， 同時獲得該校的教授席位 。 可以說 ， 在此之前 （ 1672年前 ） 萊布尼茨基本上不懂數學 。 雖然他的教授席位是法學的 ， 但他在數學和哲學方面的著作被列于世界上曾產生過的最優(yōu)秀的著作中 。 從這些筆記本中人們可以看到 ， 他從一個課題跳到另一個課題 ， 并隨著他的思想的發(fā)展而改變他所用的記號 。 特別值得一提的是：萊布尼茨很早就意識到 ， 微分與積分 （ 看作是和 ） 必定是相反的過程； 1676年 6月 23日的手稿中 ， 他意識到求切線的最好方法是求 dy/dx ， 其中 dy， dx 是變量的差 ， dy/dx 是差的商 。 微積分是能應用于許多類函數的一種新的 普遍的方法 ， 這一發(fā)現必須歸功于牛頓和萊布尼茨倆人 。 —— 畢卡 創(chuàng)建微積分優(yōu)先權的爭論 牛頓從 1665年到 1687年把結果通知了他的朋友 ， 特別是把他的短文 《 分析學 》 送給了巴羅 ， 但他于 1687年以前 ， 并沒有正式公開發(fā)表過微積分方面的任何工作 。 萊布尼茨被指責為剽竊者 。 因為牛頓在微積分方面的主要工作是以幾何為工具的 ， 所以在他死后近一百年中 ， 英國人繼續(xù)以幾何為主要工具研究微積分 。 —— 貝克萊 主教 十七世紀最偉大的成就就是微積分 。 但是在這一發(fā)展完成之前 ，