【正文】 dnddddnd ????????? ?最小時(shí)， Sn最大； ∵－ 724 ＜ d＜－ 3, ∴ 6＜ 21 (5－ d24 )＜ . 從而，在正整數(shù)中，當(dāng) n=6時(shí)，［ n－ 21 (5－ d24 )］ 2最小，所以 S6最大 . 點(diǎn)評(píng)： 該題的第 (1)問(wèn) 通過(guò)建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易 . 第 (2)問(wèn)難度較高，為求 {Sn}中的最大值 Sk（ 1≤ k≤ 12）：思路之一是知道 Sk為最大值的充要條件是 ak≥ 0且 ak+1＜ 0；而思路之二則是通過(guò)等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解；思路之三是可視 Sn為 n的二次函數(shù)，借助配方法可求解，它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn) . 第 3 課 數(shù)列的求和 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 對(duì)于一般數(shù)列求和是很困難的，在推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的和時(shí)出現(xiàn)了一些 方法可以遷移到一般數(shù)列的求和上，掌握數(shù)列求和的常見方法有： （ 1）公式法：⑴ 等差數(shù)列的求和公式，⑵ 等比數(shù)列的求和公式 （ 2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式求和有困難時(shí)常，將“和式”中的“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和（如：通項(xiàng)中含 n(1) 因式，周期數(shù)列等等） （ 3）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛ an ｝，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。 2． 在等差數(shù)列 ??na 中，已知 1 2 32, 13,a a a? ? ?則 4 5 6a a a??＝ 42 。 解：（ 1）∵ 2nab nn ?? ∴ 22211 )1(2)1(4)1(2)1( ??????????? ?? nnnanab nnn nn bna 222 2 ??? (n≥ 2) 由 1 21aa??得 2 4aa? ， 22 4 4 4b a a? ? ? ?，∵ 1a?? ，∴ 2 0b? ， 即 {}nb 從第 2項(xiàng)起是以 2為公比的等比數(shù)列。 所以 ,1)1(1)1(lo g 2 nna n ?????? 即 .12 ?? nna （ II）證明：因?yàn)閚nnnn aa 2122 11 11 ???? ??， 所以nnn aaaaaa 21212121111 32112312 ?????????????? ? L .1211211212121??????? nn 點(diǎn)評(píng)： 該題通過(guò)求通項(xiàng)公式，最終通過(guò)通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問(wèn)題，屬于綜合性的題目，解題過(guò)程中注意觀察規(guī)律。 a3＝ 48， ∵ a2＝ 4，∴ a1 【范例導(dǎo)析】 例 1．（ 1）若一個(gè)等差數(shù)列前 3項(xiàng)的和為 34，最后 3項(xiàng)的和為 146，且所有 項(xiàng)的和為 390，則這個(gè)數(shù)列有 13 項(xiàng) 。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．在等差數(shù)列 {an}中，已知 a5＝ 10， a12＝ 31，首項(xiàng) a1= 2 ，公差 d= 3 。 4．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的 n 個(gè)月內(nèi)累積的需求量 Sn（萬(wàn)件）近似地滿足Sn=90n（ 21n－ n2－ 5）（ n=1， 2，??， 12） .按此 預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò) 7月、 8月 。 點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。 例 3．已知數(shù)列｛ an ｝滿足 11?a , )(12 *1 Nnaa nn ???? （Ⅰ）求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列 {}nb 滿足 12 111 *4 4 ... 4 ( 1 ) .( )nnbbbb na n N??? ? ? ?,證明： {}nb 是等差數(shù)列 。 分析： 根據(jù)題目的條件利用 nS 與 na 的關(guān)系： na? 1( 1 )( 2 )nSnSn??? ?? 當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)，（要特別注意討論 n=1的情況） 求出數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)。 解：（ 1）由 270 8 5nn? ? ? 得： 13n? 或 5n?? 所以 70是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，是第 13項(xiàng)。高中數(shù)學(xué) 精講精練 第五章 數(shù)列 【知識(shí)圖解】 【 方法點(diǎn)撥 】 1．學(xué)會(huì)從特殊到一般的觀察、分析、思考，學(xué)會(huì)歸納、猜想、驗(yàn)證． 2．強(qiáng)化基本量思想，并在確定基本量時(shí)注重設(shè)變量的技巧與解方程組的技巧． 3．在重點(diǎn)掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，會(huì)針對(duì)可化為等差（比）數(shù)列的比較簡(jiǎn)單的數(shù)列進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化． 4．一些簡(jiǎn)單特殊數(shù)列的求通項(xiàng)與求和問(wèn)題，應(yīng)注重通性通法的復(fù)習(xí)．如錯(cuò)位相減法、迭加法、迭乘法等． 5．增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，會(huì)針對(duì)有關(guān)應(yīng) 用問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，并求出其解． 第 1 課 數(shù)列的概念 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1． 了解數(shù)列（含等差數(shù)列、等比數(shù)列）的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)； 2． 理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義和一些基本量之間的關(guān)系； 3． 能通過(guò)一些基本的轉(zhuǎn)化解決數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和的問(wèn)題。 3．設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n項(xiàng) 和為 nS ， *1 (3 1) ()2nn aS n N??? ，且 4 54a? ，則 1a? ____2__. 4．已知數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和 (5 1)2n nnS ???，則其通項(xiàng) na? 52n??． 【范例導(dǎo)析】 例 1．設(shè)數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式是 2 85na n n? ? ? ，則 （ 1） 70是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)嗎？如果是，是第幾項(xiàng)？ （ 2）寫出這個(gè)數(shù)列的前 5項(xiàng)，并作出前 5項(xiàng)的圖象； （ 3）這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)中有沒(méi)有最小的項(xiàng)？如果有，是第幾項(xiàng)？ 分析： 70 是否是數(shù)列的項(xiàng)，只要通過(guò)解方程 270 8 5nn? ? ? 就可以知道；而作圖時(shí)則要注意數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)；判斷有無(wú)最小項(xiàng)的問(wèn)題可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)解決，一樣的是要注意定義域問(wèn)題。 例 2．設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，點(diǎn) ( , )( )nSn n Nn ?? 均在函數(shù) y＝ 3x－ 2 的圖像上 ,求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 當(dāng) n=1時(shí)， 111aS?? 所以 *6 5( )na n n N? ? ?。 1 2 .nna? ? ? 即 *2 1( ).nna n N? ? ? （ II） 12 1114 4 . . . 4 ( 1 ) .nnbbbb na??? ?? 12( ... )4 2 .nnb b b n nb? ? ? ??? 122 [ ( ... ) ] ,nnb b b n n b? ? ? ? ? ? ① 1 2 1 12 [ ( . . . ) ( 1 ) ] ( 1 ) .n n nb b b b n n b??? ? ? ? ? ? ? ? ② ； ② － ① ，得 112 ( 1 ) ( 1 ) ,n n nb n b n b??? ? ? ? 即 1( 1) 2 0 ,nnn b nb?? ? ? ?③ ∴ 21( 1) 2 0 .nnnb n b??? ? ? ? ④ ③ － ④ ，得 212 0 ,n n nnb nb nb??? ? ? 即 212 0,n n nb b b??? ? ? *2 1 1 ( ) ,n n n nb b b b n N? ? ?? ? ? ? ???nb? 是等差數(shù)列。 3．設(shè) f（ n） =nnnn 21312111 ??????????（ n∈ N），那么 f（ n+1）－ f（ n）等于22 112 ??? nn 。 第 2 課 等差、等比數(shù)列 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1． 掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題； 2． 理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，了解等差、等比數(shù)列與函數(shù) 之間的關(guān)系； 3． 注意函數(shù)與方程思想方法的運(yùn)用。 4．公差不為 0的等差數(shù)列 {an}中， a2， a3， a6依次成等比數(shù)列，則公比等于 3 。 a2 解：（ 1）設(shè)等差數(shù)列 )}1({log 2 ?na 的公差為 d， 由 ,8lo g2lo g)2( lo g2:9,3 22231 ????? daa 得 即 d=1。 分析： 第（ 1）問(wèn)用定義證明，進(jìn)一步第（ 2）問(wèn)也可以求出。 【反饋演練】 1．已知等差數(shù)列 ??na 中， 247, 15aa??，則前 10項(xiàng)的和 10S ＝ 210 。 5．設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn,已知 a3=12,S120,S130. (1)求公差 d的取值范圍； (2)指出 S S?、 S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由 . 解： (1)依題意有：????????????????????0212131302111212,12211311213daSdaSdaa 解之得公差 d的取值范圍為－ 724 ＜ d＜－ 3. (2)解法一：由 d＜ 0可知 a1a2a3? a12a13,因此，在 S1， S2，?， S12中 Sk為最大值的條件為： ak≥ 0且ak+1＜ 0,即??? ??? ??? 0)2( 0)3(33 dka dka ∵ a3=12, ∴??? ?? ?? 122 123dkd dkd， ∵ d＜ 0, ∴ 2－ d12 ＜ k≤ 3－ d12 ∵－ 724 ＜ d＜－ 3,∴ 27 ＜－ d12 ＜ 4,得 ＜ k＜ 7. 因?yàn)?k是正整數(shù)，所以 k=6,即在 S1， S2，?， S12中， S6最大 . 解法二 ： 由 d＜ 0得 a1a2? a12a13， 因此若在 1≤ k≤ 12 中有自然數(shù) k,使得 ak≥ 0,且 ak+1＜ 0,則 Sk 是 S1， S2，?， S12 中的最大值。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．已知公差不為 0的正項(xiàng)等差數(shù)列｛ an｝中 ,Sn為前 n項(xiàng)之和 ,lga lga lga4成等差數(shù)列，若 a5=10, 則 S5 = 30 。 （ 2）1 1( ) 2nnnb f bb? ? ? ?，則有 1 2nnbb? ?? ∴ 21nbn??。 【反饋演練】 1．已知數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式 *2 1( )na n n N? ? ?，其前 n 項(xiàng)和為 nS ，則數(shù)列 }{nSn 的前 10 項(xiàng)的和為 75 。 5．?dāng)?shù)列 {an}滿足 a1=2，對(duì)于任意的 n∈ N*都有 an＞ 0, 且 (n+1)an2+an 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1． 若數(shù)列 ??na 中， 311?a，且對(duì)任意的正整數(shù) p 、 q 都有 qpqp aaa ?? ，則 ?na 13n . 2．設(shè)等比數(shù)列 ??na 的公比為 q ，前 n 項(xiàng)和為 nS ，若 12,n n nS S S??成等差數(shù)列，則 q 的值為 2? 。 例 2．設(shè)數(shù)列 ? ?? ?nn ba , 滿足 3,4,6 332211 ?????? bababa ，且數(shù)列 ? ?? ??? ?? Nnaa nn 1 是等差數(shù)列，數(shù)列 ? ?? ???? Nnbn 2 是等比數(shù)列。 【反饋演練】 1．制造某種產(chǎn)品，計(jì)劃經(jīng)過(guò)兩年要使成本降低 36% ，則平均每年應(yīng)降低成本 20% 。 3. 線性規(guī)劃問(wèn)題有著豐富的實(shí)際背景，且作為最優(yōu)化方法之一又與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，對(duì)于這部分內(nèi)容應(yīng)能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 1.“ ab0”是 “ ab 222ab? ” 的 充分而不必要條件 (填寫 充分而不必要條件 、 必要而不充分條件 、 充分必要條件 、 既不充分也不必要條件 ) 2. cabcabaccbba ???????? 則,2,2,1 222222 的最小