【正文】 1 7 7 1 6 7 2 1 61 6 1 6 4 3 2 l o g 5a a a a a a q a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二、填空題 1. 【答案】 24? 【解析】設(shè)最小邊為 a ,則其他兩邊分別為 2,2aa,由余弦定理得 ,最大角的余弦值為 2 2 2( 2 ) ( 2 ) 2c o s42 ( 2 )a a aaa? ??? ? ?? 【考點定位】此題主要考查三角形中的三角函數(shù) ,等比數(shù)列的概念、余弦定理 ,考查分析推理能力、運算求解能力 . 2. 【答案】 :15 【解析】 :44 12 1512S ???? 【考點定位】本題考查等比數(shù)列的前 n 項和公式 3. [解析 ] nann afa ?? ?? 1 12 )( (*), 11?a ,所以有 : 213?a , 325?a , 537?a , 859?a , 13811?a 。當(dāng) 1q?? 時 ,C選項錯誤 。 36．（ 2020 安徽理 ） 數(shù)列 {}nx 滿足 : 2*110 , ( )n n nx x x x c n N?? ? ? ? ? ? (I)證明 :數(shù)列 {}nx 是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是 0c? (II)求 c 的取值范圍 ,使數(shù)列 {}nx 是單調(diào)遞增數(shù)列 . 參考答案 一、選擇題 1. 【 答案】 B 【解析】 4 8 1 1 1( 3 ) ( 7 ) 2 10 ,a a a d a d a d? ? ? ? ? ? ? 2 1 0 1 1 1 2 1 0 4 8( ) ( 9 ) 2 1 0 , 1 6a a a d a d a d a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,故選 B 【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、同時考查運算求解能力 ,屬于容易題 . 【答案】 B 【解析】在等差數(shù)列中 , 1 1 11 1 1 4 8 1 1 1 1 ( )1 6 , 8 82aaa a a a s ??? ? ? ? ? ? ?,答案為 B 【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及其前 n 項和公式 ,同時考查運算求解能力 ,屬于中檔題 .解答時利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準(zhǔn)確 . 3. [答案 ]D [解析 ]∵ {}na 是公差不為 0 的等差數(shù)列 ,且 1 2 7( ) ( ) ( ) 14f a f a f a? ? ???? ? ∴ 14]1)3[(]1)3[(]1)3[( 737232131 ????????????? aaaaaa ? ∴ 147)( 721 ???? aaa ? ∴ 21721 ??? aaa ? [點評 ]本小題考查的知識點較為綜合 ,既考查了高次函數(shù)的性質(zhì)又考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 ,解決此類問題必須要敢于嘗 試 ,并需要認(rèn)真觀察其特點 . [答案 ]D [解析 ]∵ 數(shù)列 {an}是公差為 8? 的等差數(shù)列 ,且 1 2 5( ) ( ) ( ) 5f a f a f a ?? ? ???? ? ∴ ?5)c o sc o s( c o s2 521521 ???????? aaaaaa ?? ）（ ∴ ,0)c o sc o s( c o s 521 ???? aaa ? 即 ?5522 3521 ?????? aaaa ）（ ? 得 43,4,2 513 ??? ??? aaa ∴ 23 1 3[ ( )]f a a a?? 1613163)co s2(22251233 ??? ????? aaaa [點評 ]本題難度較大 ,綜合性很強 .突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用 ,需考生加強知識系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí) . 另外 , ,0)c o sc o s( c o s 521 ???? aaa ?隱蔽性較強 ,需要考生具備一定的觀察能力 . 5. [解析 ] 令 ???7 ,則 ?? nn ?7 ,當(dāng) 1≤n≤14 時 ,畫出角序列 n?終邊如圖 , 其終邊兩兩關(guān)于 x 軸對稱 ,故有 1221 , SSS ? 均為正數(shù) , 而 01413 ??SS ,由周期性可知 ,當(dāng) 14k13≤n≤14k時 ,Sn0, 而 014114 ??? kk SS ,其中 k=1,2,7,所以在 10021 , SSS ? 中有 14 個為 0,其余 都是正數(shù) ,即正數(shù)共有 10014=86 個 ,選 C. [解析 ] 對于 1≤k≤25,ak≥0(唯 a25=0),所以 Sk(1≤k≤25)都為正數(shù) . 當(dāng) 26≤k≤49 時 ,令 ???25 ,則 ?? kk ?25 ,畫出 k?終邊如右 , 其終邊兩兩關(guān)于 x 軸對稱 ,即有 )50s in(s in ?? kk ??? , 所以 ?sin11?kS + ?2sin21 ++ ?23sin231 + ?24sin241 +0 + ?26sin261 + ?27sin271 + ?kksin1 = ?sin11 + ?2sin21 ++ ?24sin)( 261241 ? + ?23sin)( 271231 ? + + ?)50s in ()( 150 1 kkk ??? ,其中 k=26,27,49,此時 kk ???500 , 所以 01501 ??? kk ,又 ??? ???? 24)50(0 k ,所以 0)50sin( ?? ?k , 從而當(dāng) k=26,27,49 時 ,Sk 都是正數(shù) ,S50=S49+a50=S49+0=S490. 對于 k 從 51 到 100 的情況同上可知 Sk 都是正數(shù) . 綜上 ,可選 D. x y ? 2? 3? 4? 6? 5? 8? 9? 13? 12? 11? 10? 7? 14? x y ? 2? 12? 13? ? 24? 23? 26? 27? 49? 48? 38? 37? ? ? ? [評注 ] 本題中數(shù)列難于求和 ,可通過數(shù)列中項的正、負(fù)匹配來分析 Sk 的符號 ,為此 ,需借助分類討論、數(shù)形結(jié)合、先局部再整體等數(shù)學(xué)思想 .而重中之重 ,是看清楚角序列的終邊的對稱性 ,此為攻題之關(guān)鍵 . 7. 【命題意圖】本題主要考查靈活運用數(shù)列知識求數(shù)列問題能力 ,是難題 . 【解析】【法 1】有題設(shè)知 21aa? =1,① 32aa? =3 ② 43aa? =5 ③ 54aa? =7, 65aa? =9, 76aa? =11, 87aa? =13, 98aa? =15, 10 9aa? =17, 11 10aa? =19, 12 11 21aa??, ∴② ① 得 13aa? =2, ③ + ② 得 42aa? =8, 同理可得57aa? =2, 68aa? =24, 9 11aa? =2, 10 12aa? =40, ∴ 13aa? , 57aa? , 9 11aa? ,是各項均為 2 的常數(shù)列 , 24aa? , 68aa? , 10 12aa? ,是首項為8,公差為 16 的等差數(shù)列 , ∴ { na }的前 60 項和為 11 5 2 1 5 8 1 6 1 5 1 42? ? ? ? ? ? ?=1830. 【法 2】可證明 : 1 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 2 4 1 6 1 6n n n n n n n n n nb a a a a a a a a b? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 3 4 1 5 1 5 1 41 0 1 0 1 5 1 6 1 8 3 02b a a a a S ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8. 【答案】 B 【解析】本題主要為數(shù)列的應(yīng)用題 ,觀察可得不同整數(shù)解的個數(shù)可以構(gòu)成一個首先為 4,公差為 4 的等差數(shù)列 ,則所求為第 20 項 ,可計算得結(jié)果 . 9. C 【解析】設(shè)數(shù)列 ??na 的公比為 q .對于 ① ,2 2112()()nnf a a qf a a????,是常數(shù) ,故 ① 符合條件 。 (Ⅱ )若 2a , 3a , 1a 成等比數(shù)列 ,求數(shù)列 {| |}na 的前 n 項和 . 23．（ 2020 廣東理 ） 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ,滿足 112 2 1nnnSa ??? ? ?,n? *N ,且 1a 、2 5a? 、 3a 成等差數(shù)列 . (Ⅰ )求 1a 的值 。③ 若 ACx np? ,則 ACx np?2 . (1)求 (4)f 。 (2)證明 :對任意 kN?? , 21,k k kS S S??成等差數(shù)列 . 27．（ 2020 山東理 ） 在等差數(shù)列 ??na 中 , 3 4 5 984 , 73a a a a? ? ? ?. (Ⅰ )求數(shù)列 ??na 的通項公式 。 (2)若 X 具有性質(zhì) P,求證 :1?X,且當(dāng) xn1 時 ,x1=1。 (II)若 2 1a?? ,求證 : 1()2nnnS a a??,并給出等號成立的充要條件 . 22．（ 2020 四川理 ） 已知 a 為正實數(shù) ,n 為自然數(shù) ,拋物線 2 2nayx?? ?與 x 軸正半軸相交于點 A ,設(shè) ()fn為該拋物線在點 A 處的切線在 y 軸上的截距 . (Ⅰ )用 a 和 n 表示 ()fn。 (Ⅱ )若 1, 2ac??,求 △ABC 的面積 S. 18．（ 2020 遼寧文 ） 在 ABC? 中 ,角 A、 B、 C 的對邊分別為 a,b, A,B,C 成等差數(shù)列 . (Ⅰ )求 cosB 的值 。 (Ⅱ )現(xiàn)分別從 ??na 和 ??nb 的前 3 項中各隨機抽取一項 ,寫出相應(yīng)的基本事件 ,并求這兩項的值相等的概率 . 14．（ 2020 大綱文 ） 已知數(shù)列 ??na 中 , 1 1a? ,前 n 項和 23nnnSa?? . (Ⅰ )求 23,aa。 (2)求數(shù)列 {nan}的前 n 項和 Tn. 10．（ 2020 湖南文 ） 某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn) .該企業(yè)第一年年初有資金 2020 萬元 ,將其投入生產(chǎn) ,到當(dāng)年年底資金增長了 50%.預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同 .公司要求企業(yè)從第一年開始 ,每年年底上繳資金 d 萬元 ,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn) .設(shè)第 n 年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為 an萬元 . (Ⅰ )用 d 表示 a1,a2,并寫出 1na? 與 an 的關(guān)系式 。 (2)設(shè) }{nb 是 }{na 的控制數(shù)列 ,滿足 Cba kmk ?? ?? 1 (C 為常數(shù) ,k=1,2,m). 求證 : kk ab? (k=1,2,m)。 (II)記 1 1 2 2= + + +n n nT a b a b a b( *nN? )證明 : *118 ( , 2 )n n nT a b n N n??? ? ? ?. 4．（ 2020 四川文 ） 已知 a 為正實數(shù) ,n 為自然數(shù) ,拋物線 2 2nayx?? ?與 x 軸正半軸相交于點 A ,設(shè) ()fn為該拋物線在點 A 處的切線在 y 軸上的截距 . (Ⅰ )用 a 和 n 表示 ()fn。 (Ⅱ ) 2 1( )nn???N 位回文數(shù)有 _________個 . 18．（ 2020 廣東理 ） (數(shù)列 )已知遞增的等差數(shù)列 ??na 滿足 1 1a? , 2324aa??,則na? ______________. 19．（ 2020 福建理 ） 數(shù)列 ??na 的通項公式 cos 12n nan ???,前 n 項和為 nS ,則2020S ? ___________. 20．（ 2020 北京理 ） 已知 {}na 為等差數(shù)列 , nS 為其前 n 項和 .若 1 12a? , 23Sa? ,則2a? ________. 三、解答題 1．（ 2020 重慶文 ） (本小題滿分 13 分 ,(Ⅰ )小問 6 分 ,(Ⅱ )小問 7 分 ))已知 {}na 為等差數(shù)列 ,且 1 3 2 48 , 12 ,a a a a? ? ? ?(Ⅰ )求數(shù)列 {}na 的通項公式 。 nS =________. 11．（ 2020 新課標(biāo)理 ） 數(shù)列 {}na 滿足 1 ( 1) 2 1nnna a n? ? ? ? ?,則 {}na 的前 60 項和為_______ 12．（ 2020 浙江理 ） 設(shè)公比為 q(q0)的等比數(shù)列 {a n}的前 n 項和為 {S n}.若 2232Sa??, 4432Sa??,則 q=______________. 13 ．（ 2020 上 海 春 ） 已 知 等 差 數(shù) 列 {}na 的 首 項 及 公 差 均 為 正 數(shù) , 令*2020 ( , 2 0 1 2 ) .n n nb a a n N n?? ? ? ?當(dāng) kb 是數(shù)列 {}nb 的最大項時 ,k? ____. 14．（ 2020 遼寧理 ） 已知等比數(shù)列 ??na 為遞增數(shù)列 ,且 25 1 0 2 1, 2 ( ) 5n n na a a a a??? ? ?,則數(shù)列的通項公式 na? ______________. 15．（ 202