高二數(shù)學(xué)空間向量-全文預(yù)覽
【正文】 在四棱錐 P－ ABCD中 ， PC⊥ 平面ABCD， PC＝ 2， 在四邊形 ABCD中 ， ∠ B＝ ∠ C＝ 90176。 . ∵ | PC | ＝ 2 ， ∴ | BC | ＝ 2 3 ， | PB | ＝ 4 ， 得 D ( 0 , 1 , 0 ) 、 B (2 3 ， 0 , 0 ) 、 A (2 3 ， 4 , 0 ) 、 P ( 0 , 0 , 2 ) ． 又 | PB | ＝ 4| PM | ， ∴ | PM | ＝ 1 ， M (32， 0 ，32) ， ∴ CM→＝ (32， 0 ，32) ， DP→＝ (0 ，－ 1 , 2 ) ， DA→＝ (2 3 ， 3 , 0 ) ． 設(shè) N 為 PA 上一點，則存 在 x 、 y 使 DN→＝ x DP→＋ y DA→( 其中 x 、 y ∈ R) ，則 DN→＝ x (0 ，－ 1 , 2 ) ＋ y (2 3 ， 3 , 0 ) ＝ (2 3 y, 3 y －x, 2 x ) ． 令 2 3 y ∶32＝ 2 x ∶32，得 3 y － x ＝ 0 ， ① 又 AN→∥ AP→，且 AN→＝ (2 3 y － 2 3 ，－ 3 , 2 x ) ， AP→＝ ( － 2 3 ，－ 4 , 2 ) ， ∴ (2 3 y － 2 3 ) ∶ ( － 2 3 ) ＝ 2 x ∶ 2 ， ② 由 ①② 解得 x ＝34， y ＝14. ∴ 當(dāng) x ＝34， y ＝14時， CM→、 DN→共線， ∴ CM→、 DP→、 DA→共面， ∵ CM ? 平面 P A D ， ∴ CM ∥ 平面 P A D . ( 2 ) 作 BE ⊥ PA 于 E ， | PB | ＝ | AB | ＝ 4. ∴ E 為 PA 的中點， ∴ E ( 3 ， 2 , 1 ) ， ∴ BE→＝ ( － 3 ， 2 , 1 ) ， ∵ BE→( 0 ，－ 1 , 2 ) ＝ 0 ， ∴ BE ⊥ DA ， BE ⊥ DP ， ∴ BE ⊥ 平面 P A D ，則平面 P A B ⊥ 平面 P A D . 【 名師點評 】 在用向量方法證明平行和垂直時 ， 同樣需要立體幾何最基本的定理 ， 比如本題中 ， 要證明直線與平面平行 ， 我們現(xiàn)在還沒有更好的計算手段 ， 必須依靠直線與平面平行的判定定理來證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某個向量共線 ， 從而得到直線和平面平行 ． 空間向量與空間角 (1)求異面直線所成的角 設(shè)兩異面直線的方向向量分別為 n n2， 那么這兩條異面直線所成的角為 θ＝ 〈 n1， n2〉 或 θ＝ π－ 〈 n1， n2〉 ， ∴ cosθ＝ |cos〈 n1， n2〉 |. (2)求斜線與平面所成的角 如圖 ， 設(shè)平面 α的法向量為 n1， 斜線 OA的方向向量為 n2， 斜線 OA與平面所成的角為 θ， 則sinθ＝ |cos〈 n1， n2〉 |. (3)求二面角的大小 如圖 ， 設(shè)平面 α、 β的法
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