高二數(shù)學(xué)解三角形-全文預(yù)覽
【正文】 求 B 的大??； ( 2) 若 a ＝ 4 ， S ＝ 5 3 ，求 c 的值． 解析： ( 1) 由 4sin B sin2(π4＋B2) ＋ c os2 B ＝ 1 ＋ 3 得4sin B ，于水面 C處測得 B點和 D點的仰角均為60176。 ， ? 所以 CD＝ AC＝ ， ? 又 ∠ BCD＝ 180176。 ， ? 故 CB是 △ CAD底邊 AD的中垂線，所以 BD＝ BA. 在 △ ABC 中，ABsin ∠ BCA＝ACsin ∠ ABC， 即 AB ＝AC sin60176。 tan θ sin βsin ? α ＋ β ?. 。＝3 2 ＋ 620， 因此， BD ＝3 2 ＋ 620≈ km. 故 B ， D 的距離約為 km. ? [變式訓(xùn)練 5] 如圖，測量河對岸的塔高 AB時，可以選與塔底 B在同一水平面內(nèi)的兩個測點 C與 D，現(xiàn)測得 ∠ BCD＝ α， ∠ BDC＝ β，CD＝ s，并在點 C測得塔頂 A的仰角為 θ，求塔高 AB. 解析： 在 △ BCD 中， ∠ CBD ＝ π － α － β . 由正弦定理得BCsin ∠ BD C＝CDsin ∠ CBD， ∴ BC ＝CD sin ∠ BD Csin ∠ CBD＝s － 60176。 ，∠ ADC＝ 60176。遼寧卷 )如圖，A， B， C， D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)， B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面 A處測得B點和 D點的仰角分別為75176。 c os C ，即 c os( B ＋ C ) ＝ 0 ， ∴ B ＋ C ＝ 90176。 c os B ， 相應(yīng)地 b ＝ 6 或 b ＝ 3. ( 2) 由正弦定理以及 sin A ＝ sin( B ＋ C ) 得： 1 －sin C2sin A＝sin ? B － C ?sin A， 2sin A － sin C ＝ 2sin( B － C ) ， 則 4c os B sin C ＝ sin C ， 而 sin C ≠ 0 ， ∴ c os B ＝14， ∴ 1 － 2sin2B2＝14， sinB2＝64， ∴ c osA ＋ C2＝ c osπ － B2＝ sinB2＝64. ? [例 3] 在 △ ABC中，若 b2sin2C＋ c2sin2B＝2bccosB ，求角 C 和邊 b . (2) 已知 A 、 B 、 C 的對邊分別為 a 、 b 、 c ，若 1 －c2 a＝sin ? B － C ?sin ? B ＋ C ?，求 c osA ＋ C2的值． 分析： 主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中三角變形的技巧． 解析： ( 1) ∵ A 為銳角，且 a c ， c sin A ＝3 32 a ， ∴ 本題有兩解． 由正弦定理得： sin C ＝c sin Aa＝32， ∴ C ＝ 60176。 時， A ＝ 90176。 ， ∴ C ＝ 20sin(45 176。 ) ＝ 105176。＝ 10 2 . B ＝ 180176。 ， c ＝6 － 22. ? [變式訓(xùn)練 1] 在 △ ABC中， c＝ 10， A＝45176。＝6 － 22. 綜上可知， A ＝ 60176。 － 120176。sin45176。 － 45176。2＝32. ∵ a b ， ∴ A ＝ 60176。 ，〈 j | AB→| c os ( 90176。CB→＝ j － ∠ A ，又由圖知， AC→＋ CB→＝ AB→. 為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們在上面等式的兩邊同取與向量 j 的數(shù)量積運(yùn)算，得到： j ⑨ 兩邊 ⑩ 一角 ? 另一邊的對角 ? 第三個角 ? 兩解、一解和無解 ? 無 ? 一 ? 兩 ? 一 ? 無 ? 一 ? 無 ○21 一 ○22 一解 ○23 無解 ○24 兩解 ? 法 ? 對正弦定理的推導(dǎo)，我們可以從幾何的角度進(jìn)行推導(dǎo)．如圖，以△ ABC的頂點 A為
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