高二數(shù)學解三角形(已修改)
2025-11-23 17:10 本頁面
【正文】 ? 1． 1 正弦定理 一、正弦定理 1 ．在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 ① ________ ＝ 2 R ( 其中 R 是 △ ABC 外接圓的半徑 ) ． 2 ．正弦定理的三種變形 ( 1) a ＝ 2 R sin A ， ② ________ ， c ＝ 2 R sin C ； ( 2) ③ ________ ， sin B ＝b2 R， sin C ＝c2 R； ( 3) a b c ＝ sin A B ④ ________. 友情提示： 應用正弦定理要注意以下兩點： ( 1) 正弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關系，是解三角形的重要工具； ( 2) 正弦定理的證明除了用三角函數(shù)的定義法、向量法外，還可以用三角形面積公式證明，即用 S＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 給出證明． ? 二、解三角形 ? 1．解三角形時常用的結(jié)論 ? (1)在 △ ABC中， AB?⑤ ________?⑥________； (即在一 個 三角形中大 邊對 大角 ) ? (2)a＋ bc， b＋ ca， ⑦ ________； (即在一 個 三角形中 兩邊 之和大于第三 邊 ， 兩邊之差小于第三 邊 ) ? (3)內(nèi) 角和定理： △ ABC中， A＋ B＋ C＝ ⑧________. ? 2．正弦定理的應用 ? 利用正弦定理可以解決以下兩類有關三角形的問題： ? (1)已知兩角和任意一邊，求其他 ⑨________和 ⑩ ________； ? (2)已知兩邊和其中一邊的對角，求 ?________，從而進一步求出其他的邊和角． ? 對于第 (1)類，其解是唯一確定的，一般先由三角形內(nèi)角和為 180176。 求得 ? ________，再利用正弦定理求其余兩邊； ? 對于第 (2)類，其解不一定唯一，由于三角形的形狀不能唯一確定，因而會出現(xiàn) ?________三種情況． ? 友情提示： 在 △ ABC中，如果已知邊 a， b和角 A，解的情況討論如下： ? 一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解和無解三種情況． ? ① A為銳角，如下圖： ? absinA a＝ bsinA bsinAab a≥b ? ? ________解 ? ________解 ?________解 ? ________解 ? ② A為直角或鈍角，如下圖． ? ? ________解 ? ________解 ?________解 ________解 ? 歸納列表如下： 答案： ①asin A＝bsin B＝csin C ② b ＝ 2 R sin B ③ sin A ＝a2 R ④ sin C ⑤ a b ⑥ sin A sin B ⑦ a ＋ c b ⑧ 180176。 ⑨ 兩邊 ⑩ 一角 ? 另一邊的對角 ? 第三個角 ? 兩解、一解和無解 ? 無 ? 一 ? 兩 ? 一 ? 無 ? 一 ? 無 ○21 一 ○22 一解 ○23 無解 ○24 兩解 ? 法 ? 對正弦定理的推導，我們可以從幾何的角度進行推導．如圖，以△ ABC的頂點 A為原點，邊 AC所在的射線為 x軸的正半軸，建立直角坐標系． 由三角函數(shù)的定義知，頂點 B 的坐標是 ( c c os A ， c sin A ) ，容易知道 AC 邊上的高 BE 就是 B 點的縱坐標 c sin A ，于是△ ABC 的面積 S ＝12AC BE ＝12bc sin A . 同理可得 S ＝12ac sin B ， S ＝12ab sin C . ∴12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C . 將等式兩邊的式子都除以12abc ， 可得sin Aa＝sin Bb＝sin Cc， 即asin A＝bsin B＝csin C. ? 另外，我們也可以從 △ ABC的外接圓來進行推導，如圖． ? 當△ ABC為直角三角形時，如圖①所示，其外接圓的圓心 O位于 Rt△ ABC的斜邊 AB上， R為
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