【正文】 =，達到了最小。對1，5列采用水平合并{1,2}1,…,{9,10}5。例如我們要安排一個二因素（A，B）五水平和一因素（C）二水平的試驗。同時將第3列水平合并為二水平：{1,2,3}1,{4,5,6}2,于是得設計表（表20）。這個試驗可以用正交表來安排，這等價于全面試驗，并且不可能找到比更小的正交表來安排這個試驗。如王鵬等[21]在文中建議：a）均勻設計與調優(yōu)方法共用；b）分組試驗；c）擬水平法。丁元[5]利用最優(yōu)試驗設計理論中的A最優(yōu)和D最優(yōu)準則，給出了相應的使用表，類似于丁元的思想，張學中[23]用設計矩陣的條件數(shù)作為均勻性指標，并且對n≤31及n=53用多種準則給出了使用表，蔣聲和陳瑞琛[6,7]從幾何的觀點提出了體積距離的度量。 為了使用者的方便，我已將表18和表19的結果用(或)表及其使用表形式列于本書附錄I。 ii) 若n固定，當s增大時，表(或表)的偏差也隨之增大。 令a為小于n的整數(shù)，且a,a2(mod n),…,at(mod n)互不相同，at+1=1(mod n),則稱a對n的次數(shù)為t，例如 (mod 5) (mod 9) 的次數(shù)大于或等于s1，且(a,n)=1，則可用 (mod n) ()作為生成向量，(最多n1個)中去比較相應試驗點的均勻性，給定n 和s ，只要求得最優(yōu)的a, 便可獲得生成向量，從而獲得相應的均勻設計表。 為什么偏差可以用于度量點集散布的均勻性呢？若n個點 在中散布均勻，則 表示有多少比例的點落在矩形[0,x]中，它應當和該矩形的體積v(x)相差不會太遠。于是我們必須給出均勻性度量。 本書附錄I，列出了2≤s≤7，5≤n≤31，及n=37的表或表，供使用時選擇，為了節(jié)省篇幅，凡使用表中沒有推薦的列我們就沒有列出。如上面討論過的表只有2列，而表可以有6列。若每個因素的水平都是由低到高排列，表中最后一號表17 No.123456112345622461353362514441526355316426654321試驗將是所有最高水平相組合，在有些試驗中，例如在化工試驗中，所有最高水平組合在一起可能使反應過分劇烈，甚至爆炸。表16 123456112457822481573363636448721555127846636363775184288754219999999 用上述步驟生成的均勻設計表記作 ，向量h稱為該表的生成向量，有時為了強調h 的作用，可將 記成. 給定n ，相應的h 可以象上例那樣方便地求得，從而m 是n 的一個函數(shù)，這個函數(shù)曾由大數(shù)學家歐拉研究過，稱為歐拉函數(shù)，記為E(n) .： i）當n為素數(shù)時 ，E(n1)=n1所謂素數(shù)就是一個正整數(shù)，3，4，5，11，13,…均為素數(shù)。 符合定義1的均勻設計表數(shù)量太多，本節(jié)僅介紹用好格子點法(good lattice point)構造的均勻設計表，其方法如下： 1) 給定試驗數(shù)n，尋找比n小的整數(shù)h，且使n和h的最大公約數(shù)為1。經(jīng)計算量大的=，在=，=，和上面用微積分的方法求得的結果 很接近，如果我們在=，= 附近繼續(xù)搜索，將網(wǎng)格打細，其解可以更接近真正解=，=。他們也不一定知道SNTO，也可能不會用微積分去求解極值。 對例2來講，可以用簡單的微積分求得極值，由于X在試驗范圍內恒正，故由（）知X 越大，越高。該方程一般僅在試驗范圍內成立，吡啶量1028。表15死亡率 由方程我們可以給出如下結論：a）Cd，Cu 和Ni含量過高，對老鼠細胞的死亡率有顯著作用，b）金屬Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu，Cu和Pb對死亡率起正交互作用，而Cd和Cu對死亡率起負交互作用，c）Zn可能會中和其它金屬的破壞作用，降低老鼠細胞的死亡率，有興趣的讀者可以作更為詳盡的分析。 均勻設計和正交設計以及其他試驗設計方法一樣，在工農業(yè)生產(chǎn)和科學實驗中有廣闊的應用前景，本文的文獻中列舉了部分應用成果，供讀者參考。 ，就是開始將所有的變量全部采用，然后逐步剔除對方程沒有顯著貢獻的變量，直到方程中所有的變量都有顯著貢獻為止。本章僅僅采用逐步回歸技術來篩選變量，這并不意味著逐步因歸在上述四項技術中最好的。 當影響因變量Y的自變量不止一個時，比如有m個，…,這時Y和X之間的線性回歸方程為 ()其中為回歸系數(shù)，ε為隨機誤差，常假定 。可信的程度也可分成不同等級，在本書中，α=5%時可信用“*” 表示，α=1%時可信用“**” 表示。 （b）方差分析和F檢驗 因變量的波動可用來表達，這個波動是由兩個因素造成的；一個是X的變化引起Y相應的變化，另一個是隨機誤差。圖10中（c）表示X和Y沒有任何關系，（d）表示X和Y有非線性相關關系，r的計算公式為 ()式中 ()對例3 = r= = 后者很接近于1，故最大積雪深度與灌溉面積有很密切的線性相關關系，相關系數(shù)有一個缺點，就是它接近1的程度與樣本的組數(shù)n是有關的，當n較小時，相關系數(shù)的絕對值容易接近于1，當n較大時，相關系數(shù)的絕對值容易偏小。 設｛（）,i=1,…n｝為一組數(shù)據(jù)，若用回歸方程（）來擬合，則當X=時的估計值為 () 自然，我們要決定一條直線，使其與所有的點都比較接近，最流行求α,β 估計值的辦法是用最小二乘法，令 ()最小二乘法是求α和β使Q達極小， ()式中 () 利用這些公式到例3，得于是 b= a==從而回歸方程為讀者試將該直線畫在圖9上，可以看到擬合的效果是不錯的，衡量擬合效果的好壞，如下的方法是十分有用的。從圖9看到，數(shù)據(jù)點大致落在一條直線附近，這告訴我們變量X與Y之間的關系大致可看作是線性關系，從圖9還看到，這些點又不都在一條直線上，這表明X與Y的關系并沒有確切到給定X就可以唯一地確定Y的程度。一元線性回歸雖簡單，但從中可以了解回歸分析方法的基本思想/方法和應用。...第二章 回歸分析簡介及其在均勻設計中的應用回歸分析是數(shù)據(jù)分析的有力工具，它能揭示變量之間的相互關系，因此在均勻設計的數(shù)據(jù)分析中成為主要的手段，回歸分析方法和理論十分豐富，有關書籍數(shù)以百計，這里僅作一梗概介紹，細節(jié)可以參看有關書籍，如[26,29,30]數(shù)據(jù)處理可使用統(tǒng)計軟件包SAS，SPSS，MINITAB，BMDP，S等，國內許多部門如中國均勻設計學會為均勻設計及其數(shù)據(jù)分析制作了專用統(tǒng)計軟件包，使用更為方便。該方案是將A，B，C分別放在表的后3列而獲得的。通常有如下步驟：　　1）根據(jù)試驗的目的，選擇合適的因素和相應的水平。由于這個特點，使均勻設計更便于使用。4）當因素的水平數(shù)增加時，試驗數(shù)按水平數(shù)的增加量在增加。 　　3）均勻設計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價。由此例可見均勻設計的優(yōu)點。當試驗數(shù)n給定時，通常表比表能安排更多的因素。表7是的使用表。的右上角加“*”和不加“*”代表兩種不同類型的均勻設計表。 均勻設計和正交設計相似 ，也是通過一套精心設計的表來進行試驗設計的?！熬鶆蚍稚ⅰ笔乖囼烖c有代表性；“整齊可比”便于試驗數(shù)據(jù)的分析。例如，當 q=12 時，=144，對大多數(shù)實際問題，要求做144 次試驗是太多了！對這一類試驗，均勻設計是非常有用的。正交設計的優(yōu)點本質上來自“均勻分散，整齊可比”這兩個特點。該例的進一步討論請參考文獻[25]。 ?。?）將A，B，C三例的“1”，“2”，“3”變?yōu)橄鄳蛩氐娜齻€水平。例如表示要求做16次試驗，允許最多安排三個“4”水平因素，六個“2”水平因素。統(tǒng)計學家將正交設計通過一系列表格來實現(xiàn)，這些表叫做正交表。如果我們將27個工藝組合進行全面試驗，發(fā)現(xiàn)當工藝條件為A＝90℃，B＝150分，C＝7%時得率可達82%，而這個工藝條件沒有為上面的試驗方法所發(fā)現(xiàn)。當因素之間沒交互作用時，這個結論是正確的；當因素之間有交互作用時，該結論一般不真，今設例 1的因素間有交互作用，在上述試驗的基礎上，若我們固定B＝120分，C＝6%，變化因素 A并獲得如下結果：　　　　　　B＝120分 80℃ 85℃ 90℃ 　　　　　　C＝6% 46% 75% 78%發(fā)現(xiàn)有更好的工藝條件?！　≡O先將時間和加堿量固定，變化溫度，試驗結果如下: B＝90分 80℃ 85℃ 90℃ C＝5% 33% 70% 64% 其中33%，70%和 64%為得率，三次試驗中，以70%為最高，故溫度85176。因此，我們需要一種試驗次數(shù)較少，效果又與全面試驗相近的試驗設計方法。例如，在例1中，則全面試驗至少做次試驗。 兩個因素之間有交互作用時，其回歸模型不一定呈()形式，更詳細討論可參見第二章第三節(jié)。當A和B之間有交互作用時，回歸模型不可能為線性的，其中一定有非線性的。水中各種金屬含量太多，對人體健康會造成危害，金屬之間對人體的危害也存在交互作用（參見例5）。這時，我們稱A和B之間沒有交互作用。這時共有四種不同的水平組合，其試驗結果列于圖1。顯然，模型()和()是最簡單的情形，實際情況是多種多樣的，例如X和Y之間可能有非線性回歸關系，或其它相關關系。方程()中，它表示溫度每增加一度，%，這里可以稱為線性回歸效應。其實際數(shù)據(jù)可能為溫度50℃60℃70℃80℃90℃Y32%34%39%46%49%這時數(shù)學模型為 ()這里為第次試驗的試驗誤差。通常可以用五次試驗的平均值來估計，記作，即表示溫度取第個水平時的值與之差。在數(shù)理統(tǒng)計中，稱試驗指標為響應（response）為通俗起見，本書中就叫試驗指標。6．因素和水平的含意可以是廣義的。3℃,即82—88℃波動。5．水平的間隔大小和生產(chǎn)控制精度是密切相關的。如果試驗在試驗室進行，試驗范圍大比較容易實現(xiàn)；如果試驗直接在生產(chǎn)中進行，則試驗范圍不宜太大，以防產(chǎn)生過多次品，或產(chǎn)生危險。在一次試驗中，因素不宜選得太多（如超過10個），那樣可能會造成主次不分，丟了西瓜，揀了芝麻。　　1．在一個生產(chǎn)過程中，有關的因素通常是很多的，例如在例1的化工生產(chǎn)工藝中，有催化劑的品種，催化劑用量，加堿時的速度，容器中的壓力等。 在工業(yè)、農業(yè)、科學研究和軍事科學的研究中，經(jīng)常需要作各種試驗，以研究各種因素之間的關系，找到最優(yōu)的工藝條件或最好的配方。不論是均勻設計或配方均勻設計,其數(shù)據(jù)分析都要藉助于回歸分析，要用到線性回歸模型、二次回歸模型、非線性模型，以及各種選擇回歸變量的方法（如前進法、后退法、逐步回歸、最優(yōu)回歸子集等）。于1958年提出了單純形格子點設計，隨后于1963年他又提出了單純形重心設計。超導的研究和超導材料的配方息息相關。10多年來，均勻設計在國內得到了廣泛應用，并獲得不少好的成果。60年代，日本統(tǒng)計學家田口玄一將試驗設計中應用最廣的正交設計表格化，在方法解說方面深入淺出為試驗設計的更廣泛使用作出了眾所周知的貢獻。如何做試驗，其中大有學問。例如在工農業(yè)生產(chǎn)中希望通過試驗達到高質、優(yōu)產(chǎn)、低消耗，特別是新產(chǎn)品試驗，未知的東西很多，要通過試驗來摸索工藝條件或配方。隨后，,.Bose,，使該分支在理論上日趨完善，在應用上日趨廣泛。許多實際問題要求一種新的試驗方法，它能有效地處理多水平的試驗，于是王元和方開泰于1978年提出了均勻設計（見文獻「1－3」），該設計考慮如何將設計點均勻地散布在試驗范圍內，使得能用較少的試驗點獲得最多的信息。材料工業(yè)是工業(yè)中的棟梁，汽車拖拉機的制造離不開各種合金鋼，鈦合金的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)使飛機制造工業(yè)產(chǎn)生飛躍。針對配方設計的要求，Scheff233。本書第五章將系統(tǒng)介紹配方試驗設計和配方均勻設計。試驗設計的方法很多，本書重點介紹均勻設計，這并不意味其它方法不重要，每種方法都有其優(yōu)點，也有其局限性，根據(jù)實際情況選取合適的方法是應用統(tǒng)計的重要內容。在該例中，我們選擇的試驗范圍如下： 　　溫度： ℃～℃ 　　時間： 75分～165分