【正文】 =，達(dá)到了最小。對1，5列采用水平合并{1,2}1,…,{9,10}5。例如我們要安排一個二因素（A，B）五水平和一因素（C）二水平的試驗(yàn)。同時將第3列水平合并為二水平：{1,2,3}1,{4,5,6}2,于是得設(shè)計表（表20）。這個試驗(yàn)可以用正交表來安排，這等價于全面試驗(yàn)，并且不可能找到比更小的正交表來安排這個試驗(yàn)。如王鵬等[21]在文中建議：a）均勻設(shè)計與調(diào)優(yōu)方法共用；b）分組試驗(yàn)；c）擬水平法。丁元[5]利用最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計理論中的A最優(yōu)和D最優(yōu)準(zhǔn)則，給出了相應(yīng)的使用表，類似于丁元的思想，張學(xué)中[23]用設(shè)計矩陣的條件數(shù)作為均勻性指標(biāo)，并且對n≤31及n=53用多種準(zhǔn)則給出了使用表，蔣聲和陳瑞琛[6,7]從幾何的觀點(diǎn)提出了體積距離的度量。 為了使用者的方便，我已將表18和表19的結(jié)果用(或)表及其使用表形式列于本書附錄I。 ii) 若n固定，當(dāng)s增大時，表(或表)的偏差也隨之增大。 令a為小于n的整數(shù)，且a,a2(mod n),…,at(mod n)互不相同，at+1=1(mod n),則稱a對n的次數(shù)為t，例如 (mod 5) (mod 9) 的次數(shù)大于或等于s1，且(a,n)=1，則可用 (mod n) ()作為生成向量，(最多n1個)中去比較相應(yīng)試驗(yàn)點(diǎn)的均勻性，給定n 和s ，只要求得最優(yōu)的a, 便可獲得生成向量，從而獲得相應(yīng)的均勻設(shè)計表。 為什么偏差可以用于度量點(diǎn)集散布的均勻性呢？若n個點(diǎn) 在中散布均勻，則 表示有多少比例的點(diǎn)落在矩形[0,x]中，它應(yīng)當(dāng)和該矩形的體積v(x)相差不會太遠(yuǎn)。于是我們必須給出均勻性度量。 本書附錄I，列出了2≤s≤7，5≤n≤31，及n=37的表或表，供使用時選擇，為了節(jié)省篇幅，凡使用表中沒有推薦的列我們就沒有列出。如上面討論過的表只有2列，而表可以有6列。若每個因素的水平都是由低到高排列，表中最后一號表17 No.123456112345622461353362514441526355316426654321試驗(yàn)將是所有最高水平相組合，在有些試驗(yàn)中，例如在化工試驗(yàn)中，所有最高水平組合在一起可能使反應(yīng)過分劇烈，甚至爆炸。表16 123456112457822481573363636448721555127846636363775184288754219999999 用上述步驟生成的均勻設(shè)計表記作 ，向量h稱為該表的生成向量，有時為了強(qiáng)調(diào)h 的作用，可將 記成. 給定n ，相應(yīng)的h 可以象上例那樣方便地求得，從而m 是n 的一個函數(shù)，這個函數(shù)曾由大數(shù)學(xué)家歐拉研究過，稱為歐拉函數(shù)，記為E(n) .： i）當(dāng)n為素數(shù)時 ，E(n1)=n1所謂素數(shù)就是一個正整數(shù)，3，4，5，11，13,…均為素數(shù)。 符合定義1的均勻設(shè)計表數(shù)量太多，本節(jié)僅介紹用好格子點(diǎn)法(good lattice point)構(gòu)造的均勻設(shè)計表，其方法如下： 1) 給定試驗(yàn)數(shù)n，尋找比n小的整數(shù)h，且使n和h的最大公約數(shù)為1。經(jīng)計算量大的=，在=，=，和上面用微積分的方法求得的結(jié)果 很接近，如果我們在=，= 附近繼續(xù)搜索，將網(wǎng)格打細(xì)，其解可以更接近真正解=，=。他們也不一定知道SNTO，也可能不會用微積分去求解極值。 對例2來講，可以用簡單的微積分求得極值，由于X在試驗(yàn)范圍內(nèi)恒正，故由（）知X 越大，越高。該方程一般僅在試驗(yàn)范圍內(nèi)成立，吡啶量1028。表15死亡率 由方程我們可以給出如下結(jié)論：a）Cd，Cu 和Ni含量過高，對老鼠細(xì)胞的死亡率有顯著作用，b）金屬Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu，Cu和Pb對死亡率起正交互作用，而Cd和Cu對死亡率起負(fù)交互作用，c）Zn可能會中和其它金屬的破壞作用，降低老鼠細(xì)胞的死亡率，有興趣的讀者可以作更為詳盡的分析。 均勻設(shè)計和正交設(shè)計以及其他試驗(yàn)設(shè)計方法一樣，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中有廣闊的應(yīng)用前景，本文的文獻(xiàn)中列舉了部分應(yīng)用成果，供讀者參考。 ，就是開始將所有的變量全部采用，然后逐步剔除對方程沒有顯著貢獻(xiàn)的變量，直到方程中所有的變量都有顯著貢獻(xiàn)為止。本章僅僅采用逐步回歸技術(shù)來篩選變量，這并不意味著逐步因歸在上述四項(xiàng)技術(shù)中最好的。 當(dāng)影響因變量Y的自變量不止一個時，比如有m個，…,這時Y和X之間的線性回歸方程為 ()其中為回歸系數(shù)，ε為隨機(jī)誤差，常假定 ?？尚诺某潭纫部煞殖刹煌燃墸诒緯?，α=5%時可信用“*” 表示，α=1%時可信用“**” 表示。 （b）方差分析和F檢驗(yàn) 因變量的波動可用來表達(dá)，這個波動是由兩個因素造成的；一個是X的變化引起Y相應(yīng)的變化，另一個是隨機(jī)誤差。圖10中（c）表示X和Y沒有任何關(guān)系，（d）表示X和Y有非線性相關(guān)關(guān)系，r的計算公式為 ()式中 ()對例3 = r= = 后者很接近于1，故最大積雪深度與灌溉面積有很密切的線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)有一個缺點(diǎn)，就是它接近1的程度與樣本的組數(shù)n是有關(guān)的，當(dāng)n較小時，相關(guān)系數(shù)的絕對值容易接近于1，當(dāng)n較大時，相關(guān)系數(shù)的絕對值容易偏小。 設(shè)｛（）,i=1,…n｝為一組數(shù)據(jù)，若用回歸方程（）來擬合，則當(dāng)X=時的估計值為 () 自然，我們要決定一條直線，使其與所有的點(diǎn)都比較接近，最流行求α,β 估計值的辦法是用最小二乘法，令 ()最小二乘法是求α和β使Q達(dá)極小， ()式中 () 利用這些公式到例3，得于是 b= a==從而回歸方程為讀者試將該直線畫在圖9上，可以看到擬合的效果是不錯的，衡量擬合效果的好壞，如下的方法是十分有用的。從圖9看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，這告訴我們變量X與Y之間的關(guān)系大致可看作是線性關(guān)系，從圖9還看到，這些點(diǎn)又不都在一條直線上，這表明X與Y的關(guān)系并沒有確切到給定X就可以唯一地確定Y的程度。一元線性回歸雖簡單，但從中可以了解回歸分析方法的基本思想/方法和應(yīng)用。...第二章 回歸分析簡介及其在均勻設(shè)計中的應(yīng)用回歸分析是數(shù)據(jù)分析的有力工具，它能揭示變量之間的相互關(guān)系，因此在均勻設(shè)計的數(shù)據(jù)分析中成為主要的手段，回歸分析方法和理論十分豐富，有關(guān)書籍?dāng)?shù)以百計，這里僅作一梗概介紹，細(xì)節(jié)可以參看有關(guān)書籍，如[26,29,30]數(shù)據(jù)處理可使用統(tǒng)計軟件包SAS，SPSS，MINITAB，BMDP，S等，國內(nèi)許多部門如中國均勻設(shè)計學(xué)會為均勻設(shè)計及其數(shù)據(jù)分析制作了專用統(tǒng)計軟件包，使用更為方便。該方案是將A，B，C分別放在表的后3列而獲得的。通常有如下步驟：　　1）根據(jù)試驗(yàn)的目的，選擇合適的因素和相應(yīng)的水平。由于這個特點(diǎn)，使均勻設(shè)計更便于使用。4）當(dāng)因素的水平數(shù)增加時，試驗(yàn)數(shù)按水平數(shù)的增加量在增加。 　　3）均勻設(shè)計表任兩列組成的試驗(yàn)方案一般并不等價。由此例可見均勻設(shè)計的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)試驗(yàn)數(shù)n給定時，通常表比表能安排更多的因素。表7是的使用表。的右上角加“*”和不加“*”代表兩種不同類型的均勻設(shè)計表。 均勻設(shè)計和正交設(shè)計相似 ，也是通過一套精心設(shè)計的表來進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計的。“均勻分散”使試驗(yàn)點(diǎn)有代表性；“整齊可比”便于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析。例如，當(dāng) q=12 時，=144，對大多數(shù)實(shí)際問題，要求做144 次試驗(yàn)是太多了！對這一類試驗(yàn)，均勻設(shè)計是非常有用的。正交設(shè)計的優(yōu)點(diǎn)本質(zhì)上來自“均勻分散，整齊可比”這兩個特點(diǎn)。該例的進(jìn)一步討論請參考文獻(xiàn)[25]。 ?。?）將A，B，C三例的“1”，“2”，“3”變?yōu)橄鄳?yīng)因素的三個水平。例如表示要求做16次試驗(yàn)，允許最多安排三個“4”水平因素，六個“2”水平因素。統(tǒng)計學(xué)家將正交設(shè)計通過一系列表格來實(shí)現(xiàn)，這些表叫做正交表。如果我們將27個工藝組合進(jìn)行全面試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)工藝條件為A＝90℃，B＝150分，C＝7%時得率可達(dá)82%，而這個工藝條件沒有為上面的試驗(yàn)方法所發(fā)現(xiàn)。當(dāng)因素之間沒交互作用時，這個結(jié)論是正確的；當(dāng)因素之間有交互作用時，該結(jié)論一般不真，今設(shè)例 1的因素間有交互作用，在上述試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，若我們固定B＝120分，C＝6%，變化因素 A并獲得如下結(jié)果：　　　　　　B＝120分 80℃ 85℃ 90℃ 　　　　　　C＝6% 46% 75% 78%發(fā)現(xiàn)有更好的工藝條件。　　設(shè)先將時間和加堿量固定，變化溫度，試驗(yàn)結(jié)果如下: B＝90分 80℃ 85℃ 90℃ C＝5% 33% 70% 64% 其中33%，70%和 64%為得率，三次試驗(yàn)中，以70%為最高，故溫度85176。因此，我們需要一種試驗(yàn)次數(shù)較少，效果又與全面試驗(yàn)相近的試驗(yàn)設(shè)計方法。例如，在例1中，則全面試驗(yàn)至少做次試驗(yàn)。 兩個因素之間有交互作用時，其回歸模型不一定呈()形式，更詳細(xì)討論可參見第二章第三節(jié)。當(dāng)A和B之間有交互作用時，回歸模型不可能為線性的，其中一定有非線性的。水中各種金屬含量太多，對人體健康會造成危害，金屬之間對人體的危害也存在交互作用（參見例5）。這時，我們稱A和B之間沒有交互作用。這時共有四種不同的水平組合，其試驗(yàn)結(jié)果列于圖1。顯然，模型()和()是最簡單的情形，實(shí)際情況是多種多樣的，例如X和Y之間可能有非線性回歸關(guān)系，或其它相關(guān)關(guān)系。方程()中，它表示溫度每增加一度，%，這里可以稱為線性回歸效應(yīng)。其實(shí)際數(shù)據(jù)可能為溫度50℃60℃70℃80℃90℃Y32%34%39%46%49%這時數(shù)學(xué)模型為 ()這里為第次試驗(yàn)的試驗(yàn)誤差。通?？梢杂梦宕卧囼?yàn)的平均值來估計，記作，即表示溫度取第個水平時的值與之差。在數(shù)理統(tǒng)計中，稱試驗(yàn)指標(biāo)為響應(yīng)（response）為通俗起見，本書中就叫試驗(yàn)指標(biāo)。6．因素和水平的含意可以是廣義的。3℃,即82—88℃波動。5．水平的間隔大小和生產(chǎn)控制精度是密切相關(guān)的。如果試驗(yàn)在試驗(yàn)室進(jìn)行，試驗(yàn)范圍大比較容易實(shí)現(xiàn)；如果試驗(yàn)直接在生產(chǎn)中進(jìn)行，則試驗(yàn)范圍不宜太大，以防產(chǎn)生過多次品，或產(chǎn)生危險。在一次試驗(yàn)中，因素不宜選得太多（如超過10個），那樣可能會造成主次不分，丟了西瓜，揀了芝麻。　　1．在一個生產(chǎn)過程中，有關(guān)的因素通常是很多的，例如在例1的化工生產(chǎn)工藝中，有催化劑的品種，催化劑用量，加堿時的速度，容器中的壓力等。 在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、科學(xué)研究和軍事科學(xué)的研究中，經(jīng)常需要作各種試驗(yàn)，以研究各種因素之間的關(guān)系，找到最優(yōu)的工藝條件或最好的配方。不論是均勻設(shè)計或配方均勻設(shè)計,其數(shù)據(jù)分析都要藉助于回歸分析，要用到線性回歸模型、二次回歸模型、非線性模型，以及各種選擇回歸變量的方法（如前進(jìn)法、后退法、逐步回歸、最優(yōu)回歸子集等）。于1958年提出了單純形格子點(diǎn)設(shè)計，隨后于1963年他又提出了單純形重心設(shè)計。超導(dǎo)的研究和超導(dǎo)材料的配方息息相關(guān)。10多年來，均勻設(shè)計在國內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用，并獲得不少好的成果。60年代，日本統(tǒng)計學(xué)家田口玄一將試驗(yàn)設(shè)計中應(yīng)用最廣的正交設(shè)計表格化，在方法解說方面深入淺出為試驗(yàn)設(shè)計的更廣泛使用作出了眾所周知的貢獻(xiàn)。如何做試驗(yàn)，其中大有學(xué)問。例如在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中希望通過試驗(yàn)達(dá)到高質(zhì)、優(yōu)產(chǎn)、低消耗，特別是新產(chǎn)品試驗(yàn)，未知的東西很多，要通過試驗(yàn)來摸索工藝條件或配方。隨后，,.Bose,，使該分支在理論上日趨完善，在應(yīng)用上日趨廣泛。許多實(shí)際問題要求一種新的試驗(yàn)方法，它能有效地處理多水平的試驗(yàn)，于是王元和方開泰于1978年提出了均勻設(shè)計（見文獻(xiàn)「1－3」），該設(shè)計考慮如何將設(shè)計點(diǎn)均勻地散布在試驗(yàn)范圍內(nèi)，使得能用較少的試驗(yàn)點(diǎn)獲得最多的信息。材料工業(yè)是工業(yè)中的棟梁，汽車拖拉機(jī)的制造離不開各種合金鋼，鈦合金的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)使飛機(jī)制造工業(yè)產(chǎn)生飛躍。針對配方設(shè)計的要求，Scheff233。本書第五章將系統(tǒng)介紹配方試驗(yàn)設(shè)計和配方均勻設(shè)計。試驗(yàn)設(shè)計的方法很多，本書重點(diǎn)介紹均勻設(shè)計，這并不意味其它方法不重要，每種方法都有其優(yōu)點(diǎn)，也有其局限性，根據(jù)實(shí)際情況選取合適的方法是應(yīng)用統(tǒng)計的重要內(nèi)容。在該例中，我們選擇的試驗(yàn)范圍如下： 　　溫度： ℃～℃ 　　時間： 75分～165分