【正文】 2） 對(duì)每個(gè)i，計(jì)算 ()3） 計(jì)算 ()由就給出了對(duì)應(yīng)n,。2） 在試驗(yàn)邊界上有太多的試驗(yàn)點(diǎn)。 單純形重心設(shè)計(jì) 一個(gè)s維的單純開重心設(shè)計(jì)共有個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，其中s個(gè)單一成分的點(diǎn)。表25水平數(shù)相近時(shí)兩種設(shè)計(jì)的比較ODDUDDOD/UD...第四章 配方均勻設(shè)計(jì)配方設(shè)計(jì)在化工、橡膠、食品，材料工業(yè)等領(lǐng)域中十分重要，設(shè)某產(chǎn)品有種s原料，它們?cè)诋a(chǎn)品中的百分比分別記作。 ii）水平數(shù)相同時(shí)偏差的比較表24的前兩列給出了兩種設(shè)計(jì)水平數(shù)相同，但試驗(yàn)數(shù)不同的比較，其中當(dāng)均勻設(shè)計(jì)的試驗(yàn)數(shù)為n時(shí)，相應(yīng)正交設(shè)計(jì)的試驗(yàn)數(shù)為，兩者差別并不很大。顯然后者比前者均勻性要好得多，值得注意的是，在比較中我們沒有全部用表，如果全部用表，其均勻設(shè)計(jì)的偏差會(huì)進(jìn)一步減小。這兩個(gè)點(diǎn)集的偏差可以衡量它們的均勻性，或代表性。配合本書，我們已編了一套軟件，并有相應(yīng)的說明。均勻設(shè)計(jì)的這個(gè)性質(zhì)，有人稱為“試驗(yàn)次數(shù)隨水平增加有“連續(xù)性”，并稱正交設(shè)計(jì)“有跳躍性”。例如，一項(xiàng)試驗(yàn)若每個(gè)因素取4個(gè)水平，用來安排，只需作16次試驗(yàn)，若改為5水平，則需用表，作25次試驗(yàn)。均勻設(shè)計(jì)是非正交設(shè)計(jì)，它不可能估計(jì)出方差分析模型中的主效應(yīng)和交互效應(yīng)，但是它可以估出回歸模型中因素的主效應(yīng)和交互效應(yīng)（）。本書附錄II給出了一批用擬水平技術(shù)而生成的混合水平的均勻設(shè)計(jì)表，由于篇幅所限，我們的表難免掛一漏萬，讀者若有需要，可直接和我們聯(lián)絡(luò)，我們樂意協(xié)助你們計(jì)算所需的混合水平表。對(duì)7列采用水平合并{1,2,3,4,5}1,{6,7,8,9,10}2,于是得表21的方案。這項(xiàng)試驗(yàn)若用正交設(shè)計(jì)，可用表，但試驗(yàn)次數(shù)太多。這是一個(gè)混合水平的設(shè)計(jì)表。是否可以用均勻設(shè)計(jì)來安排這個(gè)試驗(yàn)?zāi)兀恐苯舆\(yùn)用是有困難的，這就要運(yùn)用擬水平的技術(shù)。本節(jié)僅介紹擬水平法在均勻設(shè)計(jì)法中的應(yīng)用。方開泰和鄭胡靈[12]也是從幾何的角度建議用最大對(duì)稱差的條件來度量均勻性，并提出均勻性度量必須要滿足的條件，方開泰和張金廷[11]總結(jié)是納了各種均勻性準(zhǔn)則，系統(tǒng)地討論了它們的關(guān)系和比較它們的優(yōu)劣，最終推薦了由設(shè)計(jì)矩陣所誘導(dǎo)矩陣的特征的方差作為均勻性標(biāo)準(zhǔn)，并且也給出了n≤31的使用表。所以，讀者可以對(duì)照附錄I的諸表和表18，19來加強(qiáng)對(duì)均勻設(shè)計(jì)表構(gòu)造的理解。若s固定，表的偏差隨n的增大而減小。 表18對(duì)奇數(shù)n(5≤n≤31,n=37)(6≤n≤30)，對(duì)奇數(shù)n，我們也獲得表的生成向量和相應(yīng)均勻設(shè)計(jì)表的偏差（表19）.表18和19的結(jié)果取自Fang and Li[14].綜合兩個(gè)表的結(jié)果，我們有如下的說明。 如果用統(tǒng)計(jì)學(xué)的語言來解釋偏差，令 ()表示的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，式中I{.}為示性函數(shù)，令F(x)為 上均勻分布的分布函數(shù)，于是() 定義的偏差可表為 ()偏差實(shí)際上就是在分布擬合檢驗(yàn)中的KolmogorovSmirnov統(tǒng)計(jì)量，它給出了經(jīng)驗(yàn)和理論分布之間的偏差。 度量均勻性準(zhǔn)則很多，其中偏差(discrepancy) 是使用歷史最久，為公眾所廣泛接受的準(zhǔn)則，我們先給出它的定義。 均勻性準(zhǔn)則和使用表的產(chǎn)生 節(jié)我們?cè)赋鼍鶆蛟O(shè)計(jì)在使用時(shí)由于選擇的列不同，試驗(yàn)的效果也大不相同，于是建議讀者按使用表的推薦去選列，那么使用表又是如何產(chǎn)生的呢？設(shè)我們要從均勻設(shè)計(jì)表中選出s 列，則可能的選擇有種可能，我們要從中選擇一個(gè)最好的，這里必須對(duì)“好”和“壞”有明確的含義，表是由它的生成向量所唯一確定的，選擇s列，本質(zhì)上就是從h 中選擇s 個(gè)，由這s個(gè)數(shù)生成的均勻設(shè)計(jì)表為，這是一個(gè)ns 矩陣。 iv）若n 為奇數(shù)，則表列數(shù)通常少于表。反之，若每個(gè)因素的水平都是由高到低排列，則 表中最后一號(hào)試驗(yàn)將是所有低水平的組合，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)反?，F(xiàn)象，甚至化學(xué)反應(yīng)不能進(jìn)行。 ii）當(dāng)n 為素?cái)?shù)冪時(shí)，即n 可表成n= ，這里p為素?cái)?shù)l，l為正整數(shù)，這時(shí) ()例如n=9 可表為 ，于是即至多可以有6列。符合這些條件的正整數(shù)組成一個(gè)向量h＝（h，…，h ）。...第三章 均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造和運(yùn)用 本章介紹均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造和使用表的來源，其中均勻性度量──偏差將起關(guān)鍵作用，我們將介紹偏差的定義，并給出正交設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)各自偏差的比較，從中可以了解為什么均勻設(shè)計(jì)可以比正交設(shè)計(jì)節(jié)省試驗(yàn)次數(shù)，本章還介紹擬水平在均勻設(shè)計(jì)中的使用和有關(guān)表的構(gòu)造，熟悉本章內(nèi)容對(duì)于正確理解和使用均勻設(shè)計(jì)有很大幫助。下面介紹一種“笨”辦法，其計(jì)算量較大，但程序好編。將X= 代入（）得令，=0，=，%。尋求最優(yōu)模型等價(jià)于在這個(gè)范圍內(nèi)求方程（）中的極大值。 試驗(yàn)設(shè)計(jì)的目的通常主要有二個(gè)，一是揭示變量（Y）與各因素之間的定性關(guān)系，二是尋求最優(yōu)工藝條件，回歸方程的建立可以達(dá)到一箭雙雕的目的。 例5 為了研究環(huán)境污染對(duì)人體的危害，今考核六種金屬的含量:鎘(Cd)，銅(Cu)，鋅(Zn)，鎳(Ni)，鉻(Cr)，鉛(Pb)，每種金屬含量分別取了17個(gè)水平（百萬分之一,ppm）:,1,2,4,5,8,10,12,14,16,18,（包括它們的交互作用）對(duì)老鼠壽命的影響，根據(jù)使用表的指示，它們選用了表中1，4，6，10，14，15列來安排六個(gè)因素，提高結(jié)論的精度，他們?cè)谕辉囼?yàn)條件下將試驗(yàn)重復(fù)三次，三次結(jié)果()列于表15，三次死亡率的均值為，因?yàn)檫@時(shí)六種金屬都是最高含量，表明這些金屬對(duì)老鼠細(xì)胞確有致命作用。 仍考慮線性模型，開始三個(gè)因素全部進(jìn)入方程，得().統(tǒng)計(jì)軟件包通常還會(huì)提供每個(gè)變量的t值，t值越大（按絕對(duì)值計(jì)） 這表明三個(gè)因素中以（反應(yīng)時(shí)間）對(duì)得率（Y）影響最大，配比次之， 值都是隨機(jī)變量，= ，這時(shí)n=7,m=3, = 的臨界值()= 值大于該值的因素表示對(duì)方程有顯著貢獻(xiàn)， 均小于()= ，說明回歸方程()，重新建立Y和及的線性回歸方程，得 (),三個(gè)t 值分別為這時(shí)這三個(gè)t值遵從含四個(gè)自由度的t 分布，臨界值為()=,從而 ()，回歸方程()為“最終”，表示并非真正的最終模型，而是在線性模型框架下的最終產(chǎn)物。 ，并且預(yù)先確定兩個(gè)閾值 和 ，： a) 將一個(gè)新變量引進(jìn)回歸模型，這時(shí)相應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量必須大于 b) 將一個(gè)變量從回歸模型中剔除，這時(shí)相應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量必須小于 c) 將回歸模型內(nèi)的一個(gè)變量和回歸模型外的一個(gè)變量交換位置。 設(shè)為觀測(cè)值，回歸分析的首要任務(wù)是利用它們來估計(jì)和σ，它們的最小二乘估計(jì)記作求估計(jì)值 需要解下面的線性方程組 ()其中當(dāng) 求得后，計(jì)算 ()回歸方程（）建立后，檢驗(yàn)其是否可信可用方差分析，這時(shí)公式（）依然有效，但 方差分析表（參看表10）將成為表12之形式，其中 ()表12方差分析表方差來源平方和自由度均方F顯著性回歸m殘差nm1總和n1 它將與F的臨界值來比較，其比較的結(jié)果和結(jié)論請(qǐng)參見上節(jié)的討論，反映回歸精度的σ的估計(jì)公式為 （） 類似于一元回歸相產(chǎn)系數(shù)r，可以定義適用于多元回歸的全關(guān)系數(shù)R，R定義）為和的相關(guān)系數(shù)，或定義為 （） 例4 試用線性回歸模型（）來擬合表9的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。上述計(jì)算結(jié)果常列成方差分析表，如表10所示。前者造成Y的波動(dòng)可用回歸平方和來表達(dá)，后者用殘差平方和來度量。特別當(dāng)n=2時(shí)，因?yàn)閮牲c(diǎn)決定一條直線，所以相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值總為1，在許多統(tǒng)計(jì)書中[29]給出相關(guān)系數(shù)的起碼值，當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大于表中之值時(shí)才可以認(rèn)為X和Y有線性關(guān)系。 (a) 相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù) 用于描敘變量X和Y的線性相關(guān)的程度，并常用r來表示，r的值介于[1，1]之間，它的意義由圖10可以知道。事實(shí)上，還有許多其他因素對(duì)Y產(chǎn)生影響，如當(dāng)年的平均氣溫，當(dāng)年的降雨量等等，這些都是影響Y取什么值的隨機(jī)因素。我們首先通過一個(gè)例子說明如何建立一元線性回歸方程。由于均勻設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)分析要利用回歸分析，因此需要對(duì)回歸分析作一扼要介紹。表8 　　制備阿魏酸的試驗(yàn)方案和結(jié)果No.配比（A）吡啶量（B）反應(yīng)時(shí)間（C）收率（Y）1(1)13(2)(3)2(2)19(4)(6)3(6)25(6)(2)4(1)10(1)(5)5(5)16(3)(1)6(6)22(5)(4)7(7)28(7)(7)表9 制備阿魏酸的試驗(yàn)方案和結(jié)果No.配比（A）吡啶量（B）反應(yīng)時(shí)間（C）收率（Y）1(1)13(2)(3)2(2)19(4)(6)3(3)25(6)(2)4(4)10(1)(5)5(5)16(3)(1)6(6)22(5)(4)7(7)28(7)(7)　　由于表是最近由方開泰和李久坤[14]獲得的，故文獻(xiàn)[1]使用的是均勻設(shè)計(jì)表，他們的試驗(yàn)方案列于表9。　　2）選擇適合該試驗(yàn)的均勻設(shè)計(jì)表，然后根據(jù)該表的使用表從中選出列號(hào)，將因素分別安排到這些列號(hào)上，并將這些因素的水平按所在列的指示分別對(duì)號(hào)，則試驗(yàn)就安排好了。均勻設(shè)計(jì)表還有一些其它的特點(diǎn)，在第三章將進(jìn)一步介紹。如當(dāng)水平數(shù)從9水平增加到10水平時(shí)，試驗(yàn)數(shù)n 也從9增加到10。例如用的1，3 和1，4列分別畫圖，得圖8(a)和圖8(b)。表6 123411357226263317544444557136626277531表7 的使用表S列號(hào)D213312341234 均勻設(shè)計(jì)有其獨(dú)特的布（試驗(yàn)）點(diǎn)方式，其特點(diǎn)表現(xiàn)在：　　1）每個(gè)因素的每個(gè)水平做一次且僅做一次試驗(yàn)。故當(dāng)因素s較大，且超過的使用范圍時(shí)可使用表。它告訴我們，若有兩個(gè)因素，應(yīng)選用1，3兩列來安排試驗(yàn)；若有三個(gè)因素，應(yīng)選用1，2，3三列，…，最后1列D表示刻劃均勻度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均勻度越好。通常加“*”的均勻設(shè)計(jì)表有更好的均勻性，應(yīng)優(yōu)先選用。附錄Ⅰ給出了41個(gè)均勻設(shè)計(jì)表和相應(yīng)的使用表。為了保證“整齊可比”的特點(diǎn)，正交設(shè)計(jì)必須至少要求做q2次試驗(yàn)?！　∷械脑囼?yàn)設(shè)計(jì)方法本質(zhì)上就是在試驗(yàn)的范圍內(nèi)給出挑選代表點(diǎn)的方法。有關(guān)正交設(shè)計(jì)的詳細(xì)討論可參看文獻(xiàn)[24—26，30]。表 3　　正交試驗(yàn)方案No.ABC180℃90分5%280℃120分6%380℃150分7%485℃90分6%585℃120分7%685℃150分5%790℃90分7%890℃120分5%990℃150分6%　　在表3的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，可以看到有如下的特點(diǎn)： 1）每個(gè)因素的水平都重復(fù)了3次試驗(yàn)；2）每?jī)蓚€(gè)因素的水平組成一個(gè)全面試驗(yàn)方案?！?（4）9 次試驗(yàn)方案為：第一號(hào)試驗(yàn)的工藝條件為A1 (80℃)，B1 (90分)，C1 (5%)。表2　　正交表 L9 (34 )No.1234111112122231333421235223162312731228321393321若用正交表來安排例1的試驗(yàn)，其步驟十分簡(jiǎn)單，具體如下： 　（1）選擇合適的正交表。例如表2就是一個(gè)正交表，并記為，這里“L”表示正交表“9”表示總共要作9次試驗(yàn)，“3”表示每個(gè)因素都有3個(gè)水平，“4”表示這個(gè)表有4列，最多可以安排4個(gè)因素。因此，多次單因素試驗(yàn)法有局限性。這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)溫度的效應(yīng)是依賴于因素B和C的，當(dāng)B＝90分,C＝5%時(shí)，溫度以85℃為佳，而當(dāng)B＝120分，C＝6%時(shí)，溫度以90℃為佳，這種現(xiàn)象表明溫度和其他兩因素間有交互作用。為最佳。多次單因素試驗(yàn)　　這個(gè)方法在工程和科學(xué)試驗(yàn)中常被人們所采用，現(xiàn)以例1來說明這個(gè)方法。當(dāng)因素的個(gè)數(shù)不多，每個(gè)因數(shù)的水平數(shù)也不多時(shí)，人們常用全面試驗(yàn)的方法，并且通過數(shù)據(jù)分析可以獲得較為豐富的結(jié)果，結(jié)論也比較精確。多個(gè)因素之間（超過二個(gè)因素）也可能有交互作用,該問題也將在第二章討論。最常見的模型之一為 （）其中為回歸系數(shù)，為隨機(jī)誤差。當(dāng)因素A，B 及其它們的試驗(yàn)指標(biāo)Y都為連續(xù)變量時(shí)，可以建立Y和A；B之間的回歸方程。判斷和之間有沒有交互作用,選用圖2的作圖