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正文內(nèi)容

均勻設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)表(編輯修改稿)

2024-09-01 04:35 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 個(gè)缺點(diǎn),就是它接近1的程度與樣本的組數(shù)n是有關(guān)的,當(dāng)n較小時(shí),相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值容易接近于1,當(dāng)n較大時(shí),相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值容易偏小。特別當(dāng)n=2時(shí),因?yàn)閮牲c(diǎn)決定一條直線,所以相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值總為1,在許多統(tǒng)計(jì)書中[29]給出相關(guān)系數(shù)的起碼值,當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大于表中之值時(shí)才可以認(rèn)為X和Y有線性關(guān)系。此例當(dāng)顯著性水平α=1%時(shí),今計(jì)算r= > ,故最大積雪深度與灌溉面積有高度的線性關(guān)系。在有些統(tǒng)計(jì)軟件中,常給出,這時(shí)便于區(qū)別記為。 (b)方差分析和F檢驗(yàn) 因變量的波動(dòng)可用來表達(dá),這個(gè)波動(dòng)是由兩個(gè)因素造成的;一個(gè)是X的變化引起Y相應(yīng)的變化,另一個(gè)是隨機(jī)誤差。前者造成Y的波動(dòng)可用回歸平方和來表達(dá),后者用殘差平方和來度量。它們分別用 和來表示,從數(shù)學(xué)上可以導(dǎo)出 ()當(dāng)X和Y為線性回歸模型()時(shí),它們有如下更方便的計(jì)算公式 = = () 利用統(tǒng)計(jì)量 F= ()可以來檢驗(yàn)回歸方程() 〉,這里為F表中的臨界值,1和n2為自由度, == == F=8當(dāng)α=1%時(shí)。用F值和F表上的臨界值相比,若F 〉 ,表明Y的變化主要是由X的變化造成的,回歸方程()可信;若F值小于,回歸方程不可信??尚诺某潭纫部煞殖刹煌燃?jí),在本書中,α=5%時(shí)可信用“*” 表示,α=1%時(shí)可信用“**” 表示。上述計(jì)算結(jié)果常列成方差分析表,如表10所示。表10方差分析表方差來源平方和自由度均方F顯著性回歸1**誤差8總和9 (c) 殘差分析稱為殘差,它能提供許多有用的信息,表11給出了例3的10個(gè)殘差,利用殘差可以提供如下信息:表11預(yù)報(bào)和殘差表 No.No.16273849510 (i)σ之估計(jì) ()給出了回歸方程的精度,它稱為殘差標(biāo)準(zhǔn)差,若隨機(jī)誤差遵從正態(tài)分布N(0,),則Y的預(yù)報(bào)落在之內(nèi)的概率大約為95%,對(duì)例3可以算得=,且10個(gè)均落于2。 (ii)數(shù)據(jù)和模型之診斷由殘差之大小,可以發(fā)現(xiàn)異常(或叫離群)數(shù)據(jù),可以發(fā)現(xiàn)模型()是否合適,是否要用非線性回歸模型等,這些已形成一整套理論,稱為回歸診斷,有興趣的讀者可參見文獻(xiàn)[31]。 當(dāng)影響因變量Y的自變量不止一個(gè)時(shí),比如有m個(gè),…,這時(shí)Y和X之間的線性回歸方程為 ()其中為回歸系數(shù),ε為隨機(jī)誤差,常假定 。 設(shè)為觀測(cè)值,回歸分析的首要任務(wù)是利用它們來估計(jì)和σ,它們的最小二乘估計(jì)記作求估計(jì)值 需要解下面的線性方程組 ()其中當(dāng) 求得后,計(jì)算 ()回歸方程()建立后,檢驗(yàn)其是否可信可用方差分析,這時(shí)公式()依然有效,但 方差分析表(參看表10)將成為表12之形式,其中 ()表12方差分析表方差來源平方和自由度均方F顯著性回歸m殘差nm1總和n1 它將與F的臨界值來比較,其比較的結(jié)果和結(jié)論請(qǐng)參見上節(jié)的討論,反映回歸精度的σ的估計(jì)公式為 () 類似于一元回歸相產(chǎn)系數(shù)r,可以定義適用于多元回歸的全關(guān)系數(shù)R,R定義)為和的相關(guān)系數(shù),或定義為 () 例4 試用線性回歸模型()來擬合表9的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。 解:這時(shí)n=7,7組觀察值為(,13,),(,19,),… (,28,),它們的均值和為 由于,故它們不必全部列出,將它們代入到方程級(jí)()中可以解得 從而 a=+ = ()進(jìn)一步對(duì)它作方差分析,其方差分析表列于表13.表13方差分析表方差來源自由度平方和均方F回歸3誤差3總和6當(dāng) α= 時(shí)F表的臨界值,回歸方程(),是否Y和三個(gè)因素之間不可能建立回歸關(guān)系呢?不是的,我們還應(yīng)作進(jìn)一步探討,在下節(jié)我們將繼續(xù)討論該例。 由于因變量常常有交互作用,回歸模型()不足以反映實(shí)際, ()其中為回歸系數(shù),這時(shí)除了常數(shù)項(xiàng) 以外,方程有m(m+3)/2 項(xiàng),當(dāng)m=1,2,… 時(shí)項(xiàng)數(shù)為m12345678910項(xiàng)數(shù)25914202735445465若使回歸系數(shù)的估計(jì)有可能,必要條件為n1+m(m+3)/ 較大時(shí),()中選擇貢獻(xiàn)顯著的項(xiàng),實(shí)際問題需要考慮高階的交互作用,如 等,有許多有效的篩選變量的技術(shù),如a) 前進(jìn)法,b) 后退法,c) 逐步回歸法,d) 最優(yōu)子集法(參看[25])。本章僅僅采用逐步回歸技術(shù)來篩選變量,這并不意味著逐步因歸在上述四項(xiàng)技術(shù)中最好的。 ,并且預(yù)先確定兩個(gè)閾值 和 ,: a) 將一個(gè)新變量引進(jìn)回歸模型,這時(shí)相應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量必須大于 b) 將一個(gè)變量從回歸模型中剔除,這時(shí)相應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量必須小于 c) 將回歸模型內(nèi)的一個(gè)變量和回歸模型外的一個(gè)變量交換位置。 執(zhí)行功能a)和b)時(shí)要注意如下原則: 設(shè)在當(dāng)前步驟中有s個(gè)變量不在回歸模型中,(見表10,表13)中F值來衡量,若欲從t 個(gè)變量中刪除一個(gè)變量使其離開回歸模型,我們就是要選擇刪除后使回歸效果最好的變量,既能實(shí)現(xiàn)a)又能實(shí)現(xiàn)b),兩者之和就是功能c)。大部分統(tǒng)計(jì)軟件包均有逐步回歸之功能,例如中國(guó)均勻設(shè)計(jì)學(xué)會(huì)推薦的軟件包。 ,就是開始將所有的變量全部采用,然后逐步剔除對(duì)方程沒有顯著貢獻(xiàn)的變量,直到方程中所有的變量都有顯著貢獻(xiàn)為止。 仍考慮線性模型,開始三個(gè)因素全部進(jìn)入方程,得().統(tǒng)計(jì)軟件包通常還會(huì)提供每個(gè)變量的t值,t值越大(按絕對(duì)值計(jì)) 這表明三個(gè)因素中以(反應(yīng)時(shí)間)對(duì)得率(Y)影響最大,配比次之, 值都是隨機(jī)變量,= ,這時(shí)n=7,m=3, = 的臨界值()= 值大于該值的因素表示對(duì)方程有顯著貢獻(xiàn), 均小于()= ,說明回歸方程(),重新建立Y和及的線性回歸方程,得 (),三個(gè)t 值分別為這時(shí)這三個(gè)t值遵從含四個(gè)自由度的t 分布,臨界值為()=,從而 (),回歸方程()為“最終”,表示并非真正的最終模型,而是在線性模型框架下的最終產(chǎn)物。 上述的分析只發(fā)現(xiàn)對(duì)Y有顯著作用,其它兩個(gè)因素均沒有顯著作用,該結(jié)論與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)不吻合,因此,().這時(shí)方程中有9項(xiàng)(不算).利用逐步回歸技術(shù)求得回歸方程如下: ()其相應(yīng)的 。顯然,回歸方程()的效果優(yōu)于回歸方程().方程()表明,有些人對(duì)回歸分析沒有足夠的理解,片面追求大的(或小的),致使選進(jìn)方程中的項(xiàng)過多,使誤差自由度為1或甚至為0,不應(yīng)片面追求大的,應(yīng)選擇n 稍大的均勻設(shè)計(jì)表,使得誤差有足夠的自由度≥5。 均勻設(shè)計(jì)和正交設(shè)計(jì)以及其他試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法一樣,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中有廣闊的應(yīng)用前景,本文的文獻(xiàn)中列舉了部分應(yīng)用成果,,供讀者參考。 例5 為了研究環(huán)境污染對(duì)人體的危害,今考核六種金屬的含量:鎘(Cd),銅(Cu),鋅(Zn),鎳(Ni),鉻(Cr),鉛(Pb),每種金屬含量分別取了17個(gè)水平(百萬分之一,ppm):,,1,2,4,5,8,10,12,14,16,18,(包括它們的交互作用)對(duì)老鼠壽命的影響,根據(jù)使用表的指示,它們選用了表中1,4,6,10,14,15列來安排六個(gè)因素,提高結(jié)論的精度,他們?cè)谕辉囼?yàn)條件下將試驗(yàn)重復(fù)三次,三次結(jié)果()列于表15,三次死亡率的均值為,因?yàn)檫@時(shí)六種金屬都是最高含量,表明這些金屬對(duì)老鼠細(xì)胞確有致命作用。(ppm)變到20(ppm),最大得出小相差2000倍,于是直接用各因素的水平值作回歸不易獲得好的結(jié)果,通常要對(duì)水平值先作變換,,logCu,logZn,logNi,logCr ,知道六種金屬間有交作用,故應(yīng)選用二次型回歸模型, 和 ,對(duì)表14 環(huán)保試驗(yàn)方案NoCdCuZnNiCrPb1234567891011121314151617 和分別進(jìn)行逐步回歸,發(fā)現(xiàn)四組數(shù)據(jù)的結(jié)果非常吻合,表明試驗(yàn)誤差不大,該試驗(yàn)可以獲得可靠結(jié)論。為節(jié)省篇幅,我們僅列出對(duì)的回歸方程 =+++ +(LogCu)(LogZn)+(LogNi) +(LogCd)(LogCu)(LogCd)(LogCr) +(LogCu)(LogPb)方程中每一項(xiàng)的t 值分別為(常數(shù)項(xiàng)t 值未列),,,,,它們均遵從 分布,因()= 小于上述所有t值之絕對(duì)值,故方程可信。表15死亡率 由方程我們可以給出如下結(jié)論:a)Cd,Cu 和Ni含量過高,對(duì)老鼠細(xì)胞的死亡率有顯著作用,b)金屬Cd和Cu,Cd和Cr,Cu和Pb有交互作用,其中Cd和Cu,Cu和Pb對(duì)死亡率起正交互作用,而Cd和Cu對(duì)死亡率起負(fù)交互作用,c)Zn可能會(huì)中和其它金屬的破壞作用,降低老鼠細(xì)胞的死亡率,有興趣的讀者可以作更為詳盡的分析。 試驗(yàn)設(shè)計(jì)的目的通常主要有二個(gè),一是揭示變量(Y)與各因素之間的定性關(guān)系,二是尋求最優(yōu)工藝條件,回歸方程的建立可以達(dá)到一箭雙雕的目的。 現(xiàn)以例2來說明如何尋求最好的工藝條件,表9告訴我們,第7號(hào)試驗(yàn)是7次試驗(yàn)中最好工藝條件,吡啶量28, ,這個(gè)工藝條件和最優(yōu)工藝條件常常是很接近的。 在上述討論中,我們最終建立了回歸模型()。該方程一般僅在試驗(yàn)范圍內(nèi)成立,吡啶量1028。尋求最優(yōu)模型等價(jià)于在這個(gè)范圍內(nèi)求方程()中的極大值。如果回歸方程比較復(fù)雜,可以用任何一個(gè)優(yōu)化算法(參見文獻(xiàn)[33,34])來求最佳工藝條件,許多軟件包都含有優(yōu)化算法。數(shù)論方法也可以用來求的極大值,方開泰和王元提出了一個(gè)序貫算法SNTO,可以方便地求得的極大值,鑒于篇幅,這里就不詳細(xì)介紹了,有興趣的讀者可以參看文獻(xiàn)[16]。 對(duì)例2來講,可以用簡(jiǎn)單的微積分求得極值,由于X在試驗(yàn)范圍內(nèi)恒正,故由()知X 越大,越高。將X= 代入()得令,=0,=,%。工藝條件=,= 并未出現(xiàn)在原有試驗(yàn)方案中,故應(yīng)在這個(gè)條件追加試驗(yàn),由于的最佳條件在試驗(yàn)范圍邊界,故應(yīng)擴(kuò)大試驗(yàn)范圍。 對(duì)于許多實(shí)際工作者,不一定熟悉優(yōu)化方法,手邊沒有優(yōu)化的軟件。他們也不一定知道SNTO,也可能不會(huì)用微積分去求解極值。下面介紹一種“笨”辦法,其計(jì)算量較大,但程序好編。這種方法將每個(gè)因素的試驗(yàn)范圍均勻打網(wǎng)格,比較這些網(wǎng)格上的值,從而可以近似求得的近似最大(或最?。┲怠,F(xiàn)仍以例2來說明,將在區(qū)間[,],在[,],這樣 和 將范圍劃成25 31=775個(gè)網(wǎng)格點(diǎn),在其上按()來計(jì)算值,并求出775個(gè)中最大者。經(jīng)計(jì)算量大的=,在=,=,和上面用微積分的方法求得的結(jié)果 很接近,如果我們?cè)?,= 附近繼續(xù)搜索,將網(wǎng)格打細(xì),其解可以更接近真正解=,=。...第三章 均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造和運(yùn)用 本章介紹均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造和使用表的來源,其中均勻性度量──偏差將起關(guān)鍵作用,我們將介紹偏差的定義,并給出正交設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)各自偏差的比較,從中可以了解為什么均勻設(shè)計(jì)可以比正交設(shè)計(jì)節(jié)省試驗(yàn)次數(shù),本章還介紹擬水平在均勻設(shè)計(jì)中的使用和有關(guān)表的構(gòu)造,熟悉本章內(nèi)容對(duì)于正確理解和使用均勻設(shè)計(jì)有很大幫助。 均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造 定義1 每一個(gè)均勻設(shè)計(jì)表是一個(gè)方陣,設(shè)方陣有n行m列,每一行是{1,2,...,n}的一個(gè)置換(即1,2,…,n的重新排列),表的第一行是{1,2,…,n}的一個(gè)子集,但不一定是真子集。 顯然,第一章表46列舉的U(64),U(74)和U(7)都符合上述定義。
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