d9-6幾何中的應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 (( ?? tttF ???,0 處求導(dǎo)兩邊在 tt ? ,0 Mtt 對(duì)應(yīng)點(diǎn)注意 ?)( 0t?? 0?),( 000 zyxF x ),( 000 zyxF y?),( 00 zyxF z?)( 0t?? )(t??得 ))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????)),(,),(,),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?令 nT ?切向量由于曲線 ? 的任意性 , 表明這些切線都在以 為法向量 的平面上 , 從而切平面存在 . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(),( 0000 xxzyxF x ?曲面 ? 在點(diǎn) M 的 法向量 : 法線方程 000 zzyyxx ?????)(),( 0000 yyzyxF y ??0))(,( 0000 ??? zzzyxF z 切平面方程 ),( 000 zyxF x ),( 000 zyxF y ),( 000 zyxF z)),(,),(,),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx? 過 M點(diǎn)且垂直于切平面的直線 稱為曲面 ? 在點(diǎn) M 的 法線 . M?T目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí)，),( yxfz ?則曲面在 M處的切平面方程為 ,0)())(,())(,( 0000000 ?????? zzyyyxfxxyxf yx曲面在 M處的法線方程為 .1),(),( 0000000?????? zzyxfyyyxfxxyx,),(),( zyxfzyxF ??若令 ),( 00}1 , ,{ yxyx ffn ????點(diǎn) M處的法向量為 或 ),(),( yxfzzyxF ??,1),(),(????zyyxxFyxfFyxfF特別 , 當(dāng)光滑曲面 ? 的方程為顯式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量 的全微分在點(diǎn)函數(shù) ),(),( 00 yxyxfz ?因?yàn)榍嬖?M處的切平面方程為 全微分的幾何意義),( yxfz ? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲面 ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),( 000 zyx處的切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量 . 0)())(,())(,( 0000000 ?????? zzyyyxfxxyxf yx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 假定法向量的方向是向上的，即 它與 z軸的正向所成的角 ? 是銳角， ,1c o s 22yxxfff?????,1c o s 22yxyfff?????,11c o s22yx ff ????),( 00 yxff xx ?).,( 00 yxff yy ?其中 ),( yxfz ? ),(00}1 , ,{ yxyx ffn ????則法向量的 方 向余弦 為 ),( 00}1 , ,{ yxyx ffn ????目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 6. 求球面 14222 ??? zyx 在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處的切 平面及法線方程 . 解 : 令 所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有 : 切平面方程 )1(2 ?x即 法線方程 321 ????? zyx)2(4 ?? y 0)3(6 ??? z1 2 3法向量 )2,2,2( zyxn ? )6,4,2()3,2,1( ?n即 321 zyx ?? (可見法線經(jīng)過原點(diǎn)，即球心 ) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 7. 確定正數(shù) ? 使曲面 ??zyx在點(diǎn) ),( 000 zyxM解 : 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為 二曲面在點(diǎn) M 相切 , 故 000000000zyxyzxxzy ??0x又點(diǎn) M 在球面上 , 于是有 000 zyx??相切 . 333a?與球面 ),( 0002 zyxn ?21 // nn , 因此有 2 0y 2 0z2目錄 上頁(yè) 下頁(yè)
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