十大高中平面幾何幾何定理匯總與證明-全文預(yù)覽
【正文】 ∵∠AMD=90176。∵∠UMC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度，這正說(shuō)明四邊形ANUM是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，而該圓必是，U必在上。該定理的證明很簡(jiǎn)單，利用“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角和為180度”及其逆定理。完全四線形定理如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點(diǎn) O，稱為密克點(diǎn)。 9. 密克定理三圓定理：設(shè)三個(gè)圓C1, C2, C3交于一點(diǎn)O，而M, N, P分別是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交點(diǎn)。因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N和P、M、C、L四點(diǎn)共圓，有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.故L、M、N三點(diǎn)共線?！郞，S，N，L四點(diǎn)共圓，（一中同長(zhǎng)）同理，O，T，M，S四點(diǎn)共圓∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS 7. 西姆松定理過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線上的垂線，則三垂足共線。證明：設(shè)∠1=∠BAD，∠2=∠CAD由分角定理，S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC ()S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB ()()式+()式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD 5. 帕普斯定理直線l1上依次有點(diǎn)A,B,C，直線l2上依次有點(diǎn)D,E,F，設(shè)AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，則G,I,H共線。證明：S△ABD/S△ACD=BD/CD…………=∠C（同弧所對(duì)的圓周角相等）∴在Rt△ABC39。A，顯然BC39?！? 2r=R（r為外接圓半徑，R為直徑）證明：現(xiàn)將△ABC，做其外接圓，設(shè)圓心為O。 2. 正弦定理在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”，即a/sinA證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證S△PAB=(S△PAMS△PMB)=(S△PAM/S△PMB1)S△PMB=(AM/BM1)S△PMB(等高底共線，面積比=底長(zhǎng)比）同理，S△QAB=(AM/BM1)S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共線，面積比=底長(zhǎng)比）定理得證！特殊情況：當(dāng)PB∥AQ時(shí)，易知△PAB與△QAB的高相等，從而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，則PB∥AQ。=c/sinC若∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2r。若∠C為銳角或鈍角，過(guò)B作直徑BC`交 ⊙O于C`，連接C39。與C落于AB的同側(cè)，此時(shí)∠C39。=∠A，亦可推出 3. 分角定理在△ABC中，D是邊BC上異于B,C或其延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連結(jié)AD，則有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。那么sin∠BADAC+sin∠CADAB=sin∠BACAD。證明：過(guò)O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L(zhǎng)、T，連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC根據(jù)垂徑定理得：LD=ED/2，F(xiàn)T=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中點(diǎn)所以O(shè)S⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90176。若A、P、B、C四點(diǎn)共圓，則∠NBP= ∠MCP。于是根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點(diǎn)在同一直線上。逆定理：如果是三角形，M
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