十大高中平面幾何幾何定理匯總與證明-全文預覽
【正文】 ∵∠AMD=90176?！摺蟄MC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度，這正說明四邊形ANUM是一個圓內接四邊形，而該圓必是，U必在上。該定理的證明很簡單，利用“圓內接四邊形對角和為180度”及其逆定理。完全四線形定理如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點 O，稱為密克點。 9. 密克定理三圓定理：設三個圓C1, C2, C3交于一點O，而M, N, P分別是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交點。因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N和P、M、C、L四點共圓，有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.故L、M、N三點共線?！郞，S，N，L四點共圓，（一中同長）同理，O，T，M，S四點共圓∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS 7. 西姆松定理過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。證明：設∠1=∠BAD，∠2=∠CAD由分角定理，S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC ()S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB ()()式+()式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD 5. 帕普斯定理直線l1上依次有點A,B,C，直線l2上依次有點D,E,F，設AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，則G,I,H共線。證明：S△ABD/S△ACD=BD/CD…………=∠C（同弧所對的圓周角相等）∴在Rt△ABC39。A，顯然BC39?！? 2r=R（r為外接圓半徑，R為直徑）證明：現(xiàn)將△ABC，做其外接圓，設圓心為O。 2. 正弦定理在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”，即a/sinA證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證S△PAB=(S△PAMS△PMB)=(S△PAM/S△PMB1)S△PMB=(AM/BM1)S△PMB(等高底共線，面積比=底長比）同理，S△QAB=(AM/BM1)S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共線，面積比=底長比）定理得證！特殊情況：當PB∥AQ時，易知△PAB與△QAB的高相等，從而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，則PB∥AQ。=c/sinC若∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2r。若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`交 ⊙O于C`，連接C39。與C落于AB的同側，此時∠C39。=∠A，亦可推出 3. 分角定理在△ABC中，D是邊BC上異于B,C或其延長線上的一點，連結AD，則有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。那么sin∠BADAC+sin∠CADAB=sin∠BACAD。證明：過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC根據垂徑定理得：LD=ED/2，F(xiàn)T=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中點所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90176。若A、P、B、C四點共圓，則∠NBP= ∠MCP。于是根據梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點在同一直線上。逆定理：如果是三角形，M
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