【正文】 點 ”當 x→+ 時的漸近性態(tài)[J] .沈陽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，?1997,3(1):14[15] 公式中間點的漸近性態(tài)[J].天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報， 2022,4(26):7172[16]BY . [J]，65(1995),147153[17] Dale J . E. Rigdon. Calculus[M] .Beijing :China Machine Press ,2022 :467476致 謝在長達三個多月的論文寫作結(jié)束之際，在大學(xué)最后的畢業(yè)之際，首先，我要感謝在四年里面那些曾經(jīng)幫助過我的老師們，感謝這樣一支愿意從事基礎(chǔ)科學(xué)研究的濟南大學(xué)畢業(yè)論文 25 數(shù)學(xué)系教師隊伍；還要感謝在數(shù)學(xué)領(lǐng)域辛勤踏實工作的人們，以及被我選中作為我畢業(yè)論文參考文獻的文章作者和各位數(shù)學(xué)前輩，你們是我的榜樣和楷模。結(jié) 論隨著數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家們研究出了許多的定理與公式,以便我們在解決數(shù)學(xué)疑難問題時有多重的選擇。()x濟南大學(xué)畢業(yè)論文 22 由麥克勞林公式及其各項系數(shù)之間所具有的聯(lián)系可知， 。xR,（ ） 0nya???我們接下來利用泰勒公式求解。2022 011()+()2()2nnfffxfxn????????? ??? ? 泰勒級數(shù)與泰勒公式的應(yīng)用濟南大學(xué)畢業(yè)論文 21 對于一階微分方程， 若 為關(guān)于 ， 的多項式，則可設(shè)其通=(,)dyfx(,)fyxy解為 將 及 代入,比較同次冪的系數(shù)，就可得出待定201nyaxa???? ? ?系數(shù) ， ， ， ， ，從而得到通解 。f0 泰勒公式中含有有限多項式，泰勒級數(shù)中含有無限多項式，泰勒公式不是泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)也不是泰勒多項式。接下來我們具體探討泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系以及泰勒級數(shù)的應(yīng)用問題。 ()())()()!nnAfxxpax????()()!!nnfpxfAa????由()與()式可取 。其中 為非零常數(shù)， 為實數(shù)， .1lim[]!()x ???????B?1?證明:因為 ， ，故 。 ()()(1)lim()linxx A?????????由泰勒中值定理得 ()+1)!lim()linnxxfaG????????濟南大學(xué)畢業(yè)論文 18 。 ()() ()()+!()lilimlilimn nnnxxxxFf fa???????????若存在 .使 .則由于 在 上連續(xù)，所以必存在 ，ba?b?()f[,]ab0[,]xab?使 從而 .這是矛盾的，故當 時，()()0nnfxf??()()0linnxf???? ??有 。1lim[]!()x ???????A?1?0??證明:首先證明當 時，有 ，為此不妨設(shè) 。+()(1)limnx??????()li()nxFx??????基于以上引理我們得到以下中間點的漸近性結(jié)論。()linx???假定 ，則取 ，存在 ，當 時.()m)k??0M?max{0,}k kx?有， 于是當 時，有()kxM??kx?。 當區(qū)間長度趨于無窮時的“中間點”的漸近性 為了研究區(qū)間長度趨于無窮時中間點的漸近性，我們首先給出兩個引理： 引理 [1] 設(shè) ， ，則lim()xf????0li()xgA??1)當 時， ；A0?g?2)當 時， 。則由拉格朗日公式得1()(()nfafg???。121l()l()nni??? 121nnixx???濟南大學(xué)畢業(yè)論文 14 4 泰勒公式“中間點”的漸近性我們知道,一般的《數(shù)學(xué)分析》教材中對于帶有拉格朗日余項的泰勒公式的“中間點” ，只是肯定了“中間點”的存在性，但沒有研究“中間點” 的性質(zhì)，本部分?我們研究泰勒公式“中間點” 的漸近性問題，主要分區(qū)間長度趨于零與區(qū)間長度?趨于無窮進行討論。()f??01 1()()n ni iiffxfx???顯然()式中等號成立充分必要條件是: 。32()9lim1nfx???()0f1()x??? 通過上面兩個例子我們討論了泰勒公式在斂散性方面的應(yīng)用，接下來我們討論泰勒公式在判斷函數(shù)凹凸性方面的應(yīng)用。我們通過一個具體的例子來進行說明。為了有效地選取 中的 值，可以應(yīng)用1na?? 1pn???泰勒公式研究通項 ( )的階，據(jù)此選取恰當?shù)?值使 ，并且保0n?limnpa??l?證 ，再由比較判定法(極限形式)就可判定 的斂散性，下面舉例說明之。接下來我們討論泰勒公式在判別級數(shù)及無窮積分斂散性方面的應(yīng)用。21???于是 在 處的各階導(dǎo)數(shù)(注意到公式 ) 為()nfxz?，21)(|())nnxznfffzy?????， 3(| (zz?… … … … ，111()()|()2())2nnxzff fznz?????? ?。其思路根據(jù)所求行列式的特點，構(gòu)造相應(yīng)的行列式函數(shù)，再把這個行列式函數(shù)按泰勒公式在某點展開)解：我們把行列式 看成 的函數(shù)，記 = ，則 在 的泰勒展開式nDx()nfxnD()nfxz?為 。 泰勒公式在計算行列式中的應(yīng)用 在代數(shù)學(xué)中，有關(guān)利用代數(shù)知識計算行列式的方法很多，但應(yīng)用泰勒公式法極為少見，下面讓我們從泰勒公式入手，利用泰勒展開式計算行列式。 證明:設(shè) ， ，()()nnRxfTx??0())nnQx??現(xiàn)在只需驗證明 0lim()xn?函數(shù) 在點 存在直到 階導(dǎo)數(shù)，又知?f易知()200 0000 00()()() )()1!!!n nnfxfxfxTxf x????????????， =0,1, ，因為 而()()00kknf ? n()000()()nnnRR????，(1)0nQxQx????? ()!x因為 存在，所以在點 的某鄰域 內(nèi) 存在 階導(dǎo)函數(shù) ，于是，()0f 0Uf1?()fx當 且 時，允許接連使用洛必達法則 次，得到oxU?0x?n000(1)()()limlilimnnnxxxRR????? = 0(1)(1)()0)li 2nnnxfffx??? = 0(1)(1)()00li[ ]!nnnxfffx??? =0。3?0x(). 31()Kf??！并代入 式，得32301()()!Rfx????7，230030()()()2!!fxfxfx?????????濟南大學(xué)畢業(yè)論文 8 仿此可推得，20221()()()2fxfxfx??????? ()01)()!nnfxRx??其中 ， 介于 與 之間。20221()()()2!fxfxfx??????30+()x為了確定 ,對上式兩邊關(guān)于 求二次導(dǎo)數(shù)，得2K 。 020()()fxffx???????介于 與 之間。0f??20()x?0x? ， 待定。證明：由拉格朗日中值定理知,若 在 的某鄰域 內(nèi)可導(dǎo)，則()yfx?0D,其中 介于 與 之間，即0()fx??10()fx???1?0 。0x?定義 [1] 麥克勞林公式(Maclaurin 公式)濟南大學(xué)畢業(yè)論文 6 。 泰勒公式的幾種形式在證明泰勒公式前，我們首先給出泰勒公式的幾種不同形式。00()!nnf?定理 [1]拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù) 滿足如下條件: 在閉區(qū)間 上連續(xù)； 在開區(qū)間 內(nèi)可f(1)f[,]ab(2)f(,)ab導(dǎo)；則在 內(nèi)至少存在一點 ,使得 。 20220 000()()()() . ()!!nnnfffxfxxxx??????稱為函數(shù) 在點 處的泰勒公式， 稱為泰勒公式的余項。在本文的研究中主要用到以下基本概念和相關(guān)定理。在一般的《數(shù)學(xué)分析》中，僅給出了泰勒公式的證明以及在計算極值問題方面的應(yīng)用，但在實際的生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會應(yīng)用泰勒公式來解決一些實際問題，因此有必要對泰勒公式的若干問題進行深入研究。determinant。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infin