【正文】 何值時(shí) ， 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b 的值為 0 ? 解方程 kx ＋ b ＝ 0 ． 2 ． 一次函數(shù)與一元一次不等式： ( 1 ) 解不等式 kx ＋ b ＞ 0 ? 求自變量 x 在什么范圍內(nèi) ， 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b 的值 大于 0 ； ( 2 ) 解不等式 kx ＋ b ＜ 0 ? 求自變量 x 在什么范圍內(nèi) ， 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b的值 小于 0 . 溫馨提示 : 函數(shù)值 y ＞ 0 時(shí) ， 對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象在 x 軸上方； y ＜ 0 時(shí) ， 對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象在 x 軸下方 ． 3 ． 一般地 ， 每個(gè)二元一次方程 組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線． 從 “ 數(shù) ” 的角度看 ， 解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值 相等 ， 以及這個(gè)函數(shù)值是何值；從 “ 形 ” 的角度看 ， 解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的 坐標(biāo) ． 考點(diǎn)五 一次函數(shù)的應(yīng)用 1 ． 用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟： ( 1) 設(shè)定實(shí)際問(wèn)題中的變量； ( 2) 建立一次函數(shù)關(guān)系式； ( 3) 確定自變量的取值范圍； ( 4) 利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題； ( 5) 答． 2 ． 一次函數(shù)的應(yīng)用的常用題型 ( 1) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中給出的數(shù)據(jù)列相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 ， 解決實(shí)際問(wèn)題； ( 2) 利用一次函數(shù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的方案進(jìn)行比較； ( 3) 結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題． 溫馨提示 : 運(yùn)用一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合方程、不等式的有關(guān)知識(shí)求解 ， 在確定一次函數(shù)的表達(dá)式時(shí) ， 要注意自變 量的取值范圍應(yīng)受實(shí)際條件的限制 ． 典型考題展示 考點(diǎn)一 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 若一次函數(shù) y ＝ ( k － 2) x ＋ 1 的函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大 ， 則 ( B ) A ． k ＜ 2 B ． k ＞ 2 C ． k ＞ 0 D ． k ＜ 0 【思路點(diǎn)撥】 根據(jù) “ 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b ， 當(dāng) k 0 時(shí) ， 函數(shù)值y 隨 x 的增大而增大 ” ， 可得 k 的取值范圍 ． 【自主解答】 方法總結(jié)： 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b 的圖象 ， 當(dāng) k 0 時(shí) ， 從左向右看圖象呈上升趨勢(shì) ， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) k 0 時(shí) ， 從左向右看圖象呈下降趨勢(shì) ， y 隨 x 的增大而減小 ． 已知一次函數(shù) y ＝ ( k － 4) x － m 的圖象與 y 軸的負(fù)半軸相交 ， 且函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而減小 ， 則下列結(jié)論正確的是 ( B ) A ． k ＜ 4 ， m ＜ 0 B ． k ＜ 4 ， m ＞ 0 C ． k ＞ 4 ， m ＞ 0 D ． k ＜ 0 ， m ＜ 0 考點(diǎn)二 根據(jù)一次函數(shù)的圖象求不等式的解 一次函數(shù) y ＝－ 3 x ＋ b 和 y ＝ kx ＋ 1 的圖象 如圖所示 ， 其交點(diǎn)為 P (3 ， 4 ) ， 則不等式 kx ＋ 1 ≥ － 3 x ＋ b 的解在數(shù)軸上表示正確的是 ( B ) A B C D 【思路點(diǎn)撥】 觀察圖象，函數(shù) y ＝－ 3 x ＋ b 的圖象位于函數(shù) y ＝ kx ＋ 1 圖象下方時(shí)對(duì)應(yīng)的 x 的取值即為不等式 kx ＋ 1 ≥ － 3 x ＋ b的解． 如圖 ， 在同一平面直角坐標(biāo)系中 ， 函數(shù) y1＝ 2 x 和 y2＝－ x ＋ b 的圖象交于點(diǎn) A ( m ， n ) ， 若不等式 y1＜ y2恰好有 3 個(gè)非負(fù)整數(shù)解 ， 則 ( ) A ． m ＝ 2 B ． m ＝ 3 C ． 2 ＜ m ＜ 3 D ． 2 ＜ m ≤ 3 【解析】 不等式 y1＜ y2表示 y1＝ 2 x 的圖象在 y2＝－ x ＋ b 圖象的下方 ， 可知它們交點(diǎn)左邊的圖象符合 ． ∵ 交點(diǎn)坐 標(biāo)為 ( m ， n ) ，∴ 不等式 y1＜ y2的解為 x ＜ m . ∵ 不等式 y1＜ y2恰好有 3 個(gè)非負(fù)整數(shù)解 ， ∴ 這 3 個(gè)非負(fù)整數(shù)解分別 為 0 ， 1 ， 2 ， ∴ 2 ＜ m ≤ 3. 故選 D ． 答案： D 考點(diǎn)三 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式 已知一次函數(shù) y ＝ kx ＋ 3 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1 ， 4 ) ． ( 1 ) 求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式； ( 2 ) 求關(guān)于 x 的不等式 kx ＋ 3 ≤ 6 的解． 【思路點(diǎn)撥】 ( 1 ) 將點(diǎn) (1 ， 4 ) 代入一次函數(shù) y ＝ kx ＋ 3 ， 即可求得 k 的值； ( 2 ) 將 ( 1 ) 中求得的 k 的值代入不等式 kx ＋ 3 ≤ 6 ， 解這個(gè)不等式即可 ． 【自主解答】 解： ( 1 ) ∵ 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ 3 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1 ， 4 ) ， ∴ k ＋ 3 ＝ 4 ，解得 k ＝ 1 ， ∴ 這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為 y ＝ x ＋ 3. ( 2 ) 把 k ＝ 1 代入 kx ＋ 3 ≤ 6 ， 得 x ＋ 3 ≤ 6 ， 解得 x ≤ 3. 已知 y 是 x 的一次函數(shù) ， 且當(dāng) x ＝－ 4 時(shí) ， y ＝ 9 ；當(dāng)x ＝ 6 時(shí) ， y ＝－ 1. ( 1) 求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式及自變量 x 的取值 范圍； 解： 設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為 y ＝ kx ＋ b ， 根據(jù)題意 ， 得???－ 4 k ＋ b ＝ 9 ，6 k ＋ b ＝－ 1 ， 解得???k ＝－ 1 ，b ＝ 5. 則一次函數(shù)的表達(dá)式是 y ＝－ x ＋ 5 ， x 是任意實(shí)數(shù) ． ( 2) 求當(dāng) x ＝－12時(shí) ， 函數(shù) y 的值； 解： 把 x ＝－12代入 y ＝－ x ＋ 5 ， 得 y ＝12＋ 5 ＝112. ( 3) 求當(dāng) y ＜ 1 時(shí) ， 自變量 x 的取值范圍． 解： 根據(jù)題意 ， 得－ x ＋ 5 ＜ 1 ， 解得 x 4. 考點(diǎn)四 一次函數(shù)的應(yīng)用 ( 2 0 1 6 紹興、義烏 ) 實(shí)驗(yàn)室里有一個(gè)水平放置的長(zhǎng)方體容器 ，從內(nèi)部量得它的高是 15 cm ， 底面的長(zhǎng)是 30 cm ， 寬是 2 0 cm ， 容器內(nèi)的水深為 x cm . 現(xiàn)往容器內(nèi)放入如圖的長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊 ( 鐵塊一面平放在容器底面 ) ，過(guò)頂點(diǎn) A 的三條棱的長(zhǎng)分別為 1 0 cm ，10 cm ， y cm ( y ≤ 1 5 ) ， 當(dāng)鐵塊的頂部高出水面 2 cm 時(shí) ， x ， y 滿足的關(guān)系式是 . 【解析】 ① 當(dāng)長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊以長(zhǎng)為 10 cm 、寬為 y cm 的一面作為底面時(shí) ， 鐵塊的高為 10 cm .∵ 鐵塊的頂部高出水面 2 cm ，∴ 鐵塊浸在水中的高度為 10 － 2 ＝ 8 ( cm ) ， 此時(shí) ， 水位上升了 (8 －x ) cm ， ∴ x ＜ 8 ， ∴ 鐵塊浸在水中的體積為 10 8 y ＝ 80 y ( cm3) ，∴ 80 y ＝ 30 20 (8 － x ) ， ∴ y ＝120 － 15 x2. ∵ y ≤ 15 ， ∴ x ≥ 6 ， ∴ x ，y 滿足的關(guān)系式是 y ＝120 － 15 x2(6 ≤ x ＜ 8) ． ② 當(dāng)長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊以長(zhǎng)為 10 cm 、寬為 1 0 cm 的一面作為底面時(shí) ， 鐵塊的高為 y cm .∵ 鐵塊的頂部高出水面 2 cm ， ∴ 鐵塊浸在水中的高度為 ( y － 2) cm ， ∴ y 2 ， 此時(shí) ， 水位上升了 ( y － 2 － x ) cm ，∴ 鐵塊浸在水中的體積為 10 10 ( y － 2) ＝ 1 00( y － 2) cm3， ∴ 100 ( y － 2) ＝ 30 20 ( y － 2 － x ) ， 即 y ＝6 x ＋ 105. ∵ 2 ＜ y ≤ 15 ， ∴ 2 ＜6 x ＋ 105≤ 15 ， 即 0 ＜ x ≤656.∴ x ， y 滿足的關(guān)系式是 y ＝6 x ＋ 1