【正文】 加前提規(guī)則）： 如果能從給定的 前提集合 Г 與公式 P推導(dǎo)出 S， 則能從此 前提集合 Г 推導(dǎo)出 P→S 。 Q→R 同學(xué)高考總分在 560分以上或者是省二級運動員。 P∨Q ，則他在作案當(dāng)晚必外出 P→R。 　　　　 Q　 可描述為： P→Q ， P ? Q　 (分離規(guī)則 )2)、前提：　 1.　如果一個人是單身漢，則他不幸福。2. 對所有 H具有真值為 F的行 (表示結(jié)論為假的行 ),如果在每一個這樣的行中， G1,G2,…,G n中至少有一個公式的真值為 F(前提也為假 )，則 H是 G1,G2,…,G n的邏輯結(jié)果 .電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程13例 判斷下列 H是否是前提 G1,G2的邏輯結(jié)果(1)　 H： Q； G1：P； G2： P→Q ；　(2)　 H： ┐ P； G1： P→Q ； G2： ┐ Q；(3)　 H： Q； G1：┐ P； G2： P→Q 。電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程9判定定理 （續(xù)） “ ?” 若 G1∧G 2∧…∧ Gn→H 是永真式，但 G1, G2, …, Gn ?Ｈ不是有效的推理形式， 故存在 G1, G2, …, Gn, H的一個解釋 I，使得 G1, G2, …, Gn都為真，而 H為假，故G1∧G 2∧…∧ Gn為真，而 H為假，即是說G1∧G 2∧…∧ Gn →H 為假，這 就與G1∧G 2∧…∧ Gn→H 是永真式相矛盾， 所以 G1, G2, …, Gn ?Ｈ 是有效的推理形式。記為 Г ? H。 記 G1, G2, …, Gn ?Ｈ ，此時稱 G1, G2, …, Gn ?Ｈ為有效的 (efficacious)，否則稱為 無效的 （inefficacious）。有效的推理 中可能包含為 “假 ”的前提 ，而 無效的推理 卻可能得到為 “真 ”的結(jié)論 。電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程5推理的有效性和結(jié)論的真實性有效的推理不一定產(chǎn)生真實的結(jié)論 ；而 產(chǎn)生真實結(jié)論的推理過程未必是有效的 。電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程7 推理的基本概念和推理形式 定義 設(shè) G1, G2, …, Gn,Ｈ是公式，稱 H是 G1, G2, …, Gn的邏輯結(jié)果 (G1, G2, …, Gn共同蘊(yùn)涵 H)， 當(dāng)且僅當(dāng) H 是 G1∧G 2∧…∧ Gn的邏輯結(jié)果 (logic conclusion)。又稱 H是前提集合的邏輯結(jié)果。于是，必存在 G1, G2, …, Gn， H的一個解釋 I，使得G1∧G 2∧…∧ Gn為真，而 H為假，因此對于該解釋 I，有 G1, G2, …, Gn都為真，而 H為假，這就與推理形式 G1, G2, …, Gn ?Ｈ是有效的相矛盾 .故： G1∧G 2∧…∧ Gn→H 是永真公式。 電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程11 判斷有效結(jié)論的常用方法 要求要求 Г= ｛ G1, G2, …, Gn｝ Г ? H也就是也就是 G1∧G 2∧…∧ Gn→ Ｈ為永真公式因而因而 真值表技術(shù)、演繹法和間接證明方法電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程12真值表技術(shù) 設(shè) P1,P2,…, Pn是出現(xiàn)在前提 G1,G2,…,G n和結(jié)論 H中的一切命題變元， 如果將 P1,P2,…, Pn中所有可能的解釋及G1,G2,…,G n， H的對應(yīng)真值結(jié)果都列在一個表中， 根據(jù) “ → ” 的定義， 則有判斷方法如下：1. 對所有 G1,G2,…,G n都具有真值 T的行 (表示前提為真的行 )， 如果在每一個這樣的行中， H也具有真值 T， 則 H是 G1,G2,…,G n的邏輯結(jié)果。 　 　　　　　　　 P　　 結(jié)論：我們外出旅游。 P→R　可描述為： P→ ┐ Q， ┐ Q→R ? P→R 　 (假言三段論 )電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程17例子 (續(xù) 1)3)、某 人 在某日晚歸家途中被殺害，據(jù)多方調(diào)查確證，兇手必為王某或陳某，但后又查證，作案之晚王某在工廠值夜班，沒有外出，根據(jù)上述案情可得 ：前提 ： 。 P→R 果某同學(xué)高考總分在 560分以上，則將被大學(xué)錄取。 YN觸發(fā)規(guī)則新事實 事實 =結(jié)論？事實庫 規(guī)則匹配公理庫將事實加入到事實庫中 結(jié)束引入事實電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程20引入推理規(guī)則在數(shù)理邏輯中，主要的推理規(guī)則有：① P規(guī)則（稱為前提引用規(guī)則）： 在推導(dǎo)的過程中，可 隨時引入前提集合中的任意一個前提；② 規(guī)則Ｔ（邏輯結(jié)果引用規(guī)則）： 在推導(dǎo)的過程中，可以 隨時引入公式 S， 該公式 S是由其前的一個或多個公式推導(dǎo)出來的邏輯結(jié)果 。 證明 Г ?G。 證明：Г ?G。電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程26例 設(shè) n是一個整數(shù)，證明：如果 n2是奇數(shù)，那么 n是奇數(shù)。因此，證明了所給的命題。電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程28定義 G1∧ G2∧ … ∧ Gn是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng) G1∧ G2∧ … ∧ Gn?Ｒ ∧ ┐Ｒ ,其中， R可為任意公式， R∧ ┐R為一矛盾式。 證明 對某兩個整數(shù) p和 q，假設(shè) (p/q)2=2成立，并且 p和 q沒有公因子。因此2q2＝p2＝ (2n)2=4n2， 即有 q2=2n2，所以 q2是偶數(shù)，從而 q是偶數(shù)，于是得到 p和 q都是偶數(shù)，故它們有一個公因子 2，這與假設(shè)相矛盾。推理過程中 推理規(guī)則、基本等值式和邏輯蘊(yùn)涵式的引用 要適當(dāng)，邏輯思維要清晰。 或者明天下午是天晴，或者是下雨；如果明天下午是天晴，則我將去看電影；如果我去看電影，我就不看書。 電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程37例 證明 P Q， P→R ， R→ ?S ? S→Q 。 則上述命題可符號化為：P∨Q ，P→ ?R， S→T ， ?S→R ， ?T ? Q 電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程40例 證明 （續(xù)）證明 1 采用 直接證明 方法（反證法請自行完成） （ 1） ?T Ｐ （ 2） S→T Ｐ （ 3） ?S Ｔ，（ 1），（ 2）， I （ 4） ?S→R Ｐ （ 5） R Ｔ，（ 3），（ 4）， I （ 6） P→┐R P （ 7） ?P Ｔ，（ 5），（ 6）， I （ 8） P∨Q Ｐ （ 9） Q Ｔ，（ 7），（ 8）， I 電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程41證明 令 P： 馬會飛； Q： 羊吃草； R： 母雞是飛鳥； S：烤熟的鴨子還會跑。所以羊不吃草。 H稱為 結(jié)論 (conclusion)。 電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程45一 推理定律 (對比第 4章 PPT，第 83頁 )教材 P129 ~ 130（ 1） I16： (?x)G(x) ? (?x)G(x)；（ 2） I17：(?x)G(x)∨( ?x)H(x)?(?x)(G(x)∨H(x )) I18：(?x)(G(x)∧H(x ))?(?x)G(x)∧( ?x)H(x)（ 3） I19：(?x)(G(x)→H(x ))?(?x)G(x)→( ?x)H(x) I20：(?x)(G(x)→H(x ))?(?x)G(x)→( ?x)H(x) 電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程46推理定律（續(xù)）（ 4） I21： (?x)(?y)G(x,y) ?(?y)(?x)G(x,y)； I22： (?x) (?y)G(x,y) ?(?y)(?x)G(x,y)； I23： (?y)(?x)G(x,y) ?(?x)(?y)G(x,y)； I24： (?y)(?x)G(x,y) ?(?x)(?y)G(x,y)； I25： (?x)(?y)G(x,y) ?(?y)(?x)G(x,y)； I26： (?y)(?x)G(x,y) ?(?x)(?y)G(x,y)；電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程47二 推理規(guī)則 US（全稱特指規(guī)則， Universal Specify）： (?x)G(x) ? G(y)，其中 G(x)對 y是 自由 的 推廣： (?x)G(x) ? G(c)，其中 c為 任意 個體常量 ES（存在特指規(guī)則， Existential Specify ）： (?x)G(x) ? G(c)，其中 c為 特定 個體常量電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程48推理規(guī)則（續(xù)） UG（全稱推廣規(guī)則， Universal Generalize ）： G(y) ? (?x) G(x)，其中 G(y)對 x是 自由的 EG（存在推廣規(guī)則， Existential Generalize ）： G(c) ? ( ?x) G(x)，其中 c為 特定 個體常量 推廣： G(y) ? (?x) G(x)，其中 G(y)對 x是 自由 的電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程49推理規(guī)則的正確使用 (1)例 設(shè)實數(shù)集中，語句 “不存在最大的實數(shù) ”可符號化為： (?x)(?y)G(x, y)。電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程50推理規(guī)則的正確使用（ 2）推導(dǎo) 2： （ 1） (?x)(?y)G(x, y) P （ 2） (?y)G(z, y) US，（ 1） （ 3） G(z, c) ES，（ 2） 分析 ：推導(dǎo) 2是錯誤的。（ 2）如果 結(jié)論是以條件的形式 (或析取形式 )給出，我們還可以 使用規(guī)則 CP。（ 6）在推導(dǎo)過程中， 對消去量詞的公式或公式中不含量詞的子公式 ，完全可以 引用命題演算中的基本等價公式和基本蘊(yùn)涵公式 。所以蘇格拉底是要死的。 ”正確 證明： (1)　 (?x)(H(x)?M(x)) P (2)　 H(s)?M(s) US,(1) (3)　 H(s) P (4)　 M(s) T,(2),(3)， I電子科技大學(xué)離散數(shù)學(xué)課程組 —— 國家精品課程57例 證明：(?x)(P(x)?Q(x))， (?x)P(x)?(?x)Q(x)有下面的推導(dǎo)（正確與否？） ： (1) (?x)(P(x)?Q(x)) P (2) (P(x)?Q(x)) US,(1) (3) (?x)P(x)