【正文】 列，且獨立，其中，證明：的分布函數(shù)弱收斂于正態(tài)分布。 設隨機變量服從分布，其分布密度為證：當時，的分布函數(shù)弱收斂于分布。 ，任取10000件，問不合格品不多于70件的概率等于多少？解：令則，記，其中，記，由中心極限定理有。解：令因為排版與校對是兩個獨立的工序，因而是獨立同分布隨機變量序列，令，其中，由中心極限定理有其中，查分布表即可得，即在校對后錯誤不多于15個的概率。，共同分布為試問是否服從大數(shù)定律？答：因為存在，由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。證：不妨設。 如果隨機變量序列，當時有，證明服從大數(shù)定律（馬爾柯夫大數(shù)定律）證：由契貝曉夫不等式即得。 設隨機變量序列按分布收斂于隨機變量，又隨機變量序列依概率收斂于常數(shù)，則按分布收斂于。，每個隨機變量的期望為，且方差存在，證明。 設為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數(shù)為令，證明。 設隨機變量服從柯西分布，其密度函數(shù)為證明。(1)知，結論得證。必要性，對任給的，令，因為，故存在充分大的使得當時有，于是有 ，由的任意性知，結論為真。證：不妨設對任意的，當時有，因而。證：（1）因為故即成立。證：對任意的，取充分大，使有對上述取定的，因為在上一致連續(xù)，故可取它的分點：，使有，再令，則有 （1）這時存在，使得當時有 （2）成立，對任意的，必存在某個，使得，由（2）知當時有 （3） （4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，結論得證。 （5）是的，拉普拉斯分布的特征函數(shù)為，所以也是特征函數(shù)。 判別下列函數(shù)是否為特征函數(shù)（說明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。由，故與不互相獨立。 設二維隨機變量具有聯(lián)合密度函數(shù)為證明：的特征函數(shù)等于的特征函數(shù)的乘積，但是并不相互獨立。證：柯西分布的特征函數(shù)故的特征函數(shù)為所以與同分布。 設是一個特征函數(shù)。 試舉一個滿足（1），（2），但是不是特征函數(shù)的例子。（2），所以是三點分布的特征函數(shù)。則是隨機變量的特征函數(shù)；（3）若獨立分布，其特征函數(shù)為。 解：。證：=，故。 若對連續(xù)型隨機變量，有，證明有。證：同分布，又，所以都存在且相等。解：。 =。解： 設隨機變量具有密度函數(shù)求及。 設二維隨機變量的聯(lián)合分布密度為證明：與不獨立，但與獨立。故令，則所以服從分布。解：時，時， 設隨機變量與獨立，都服從上的均勻分布，求的分布。 = =，其它 設隨機變量與獨立，服從相同的拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為求+的密度函數(shù)。解（1）其它。由于上的均勻分布，所以的分布函數(shù)，對任意的都成立。解：的反函數(shù)。由的密度函數(shù)，得的密度函數(shù)為 設隨機變數(shù)服從分布，求的分布密度。 設某類電子管的壽命（以小時計）具有如下分布密度：一臺電子管收音機在開初使用的150小時中，三個這類管子沒有一個要替換的概率是多少？三個這類管子全部要替換的概率又是多少？（假設這三個管子的壽命分布是相互獨立的）解：設這類電子管的壽命為，則所以三個這類管子沒有一個要替換的概率為；三個這類管子全部要替換的概率是。問與是否獨立？是否不相關？解：。所以，對任意實數(shù)，都有，故與相互獨立。（3） 證明：若隨機變數(shù)只取一個值，則與任意的隨機變數(shù)獨立。因此，為使成為二維分布的密度函數(shù)，必需且只需滿足條件（1）和（2）。解： 設的密度函數(shù)為求與中至少有一個小于的概率。解：當，時， ===所以 設二維隨機變數(shù)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求相應的分布函數(shù)；（3） 求。 （2）時 =， 時， =， 所以對、左連續(xù)。當時，； 當時。 某種電池的壽命服從正態(tài)分布，其中（小時），（小時）(1) 求電池壽命在250小時以上的概率； （2）求。 設隨機變數(shù)服從（0，5）上的均勻分布，求方程有實根的概率。（1）；（2）（3）解：（1）； （2），所以A=。解：因為，所以，密度函數(shù)為 隨機變數(shù)的分布函數(shù)為，求常數(shù)與及相應的密度函數(shù)。取，又令這時顯然，與對應的隨機變量不是取有限個或可列個值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。 設隨機變數(shù)具有對稱的分布密度函數(shù)，即證明：對任意的有（1）； （2）P（； （3）。 函數(shù)是否可以作為某一隨機變量的分布函數(shù)，如果（1）（2）0，在其它場合適當定義；（3），在其它場合適當定義。 設隨機變量，相互獨立，分別服從參數(shù)為與的普哇松分布，試證： 證明 由普哇松分布的可加性知+服從參數(shù)為+的普哇松分布，所以 設，…，為個相互獨立隨機變量，且服從同一幾何分布，即有。設產品數(shù)量很大，可以認為每次檢查到不合格品的概率都是，問平均每批要檢查多少件？解 略。解 設成功與失敗均出現(xiàn)時的試驗次數(shù)為，則，利用上題的結論，+=1+ 從一個裝有個白球、個黑球的袋中摸球，直至摸到白球時停止。 設為取非負整數(shù)值的隨機變量，證明：(1) 。 從數(shù)字0，1，…，n中任取兩個不同的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學期望。證 令為發(fā)生故障的儀器數(shù)，則，所以++。 用天平秤某種物品的重量（砝碼僅允許放在一個秤盤中），物品的重量以相同的概率為1克、2克、…、10克，現(xiàn)有三組砝碼： （甲組）1，2，2，5，10（克） （乙組）1，2，3，4，10（克） （丙組）1，1，2，5，10（克）問哪一組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少？解 設、分別表示及甲組、乙組、丙組砝碼秤重時所用的砝碼數(shù)，則有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是 所以，用乙組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少。 設為獨立同分布的離散型隨機變量，其分布列為 求的分布列。 已知離散型隨機變量的分布列為，求的分布列。同理。但是，因而不相互獨立。 拋擲三次均勻的硬幣，以表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求的聯(lián)合分布列及邊際分布列。解 。 一本500頁的書共有500個錯誤，每個錯誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上（每一頁的印刷符號超過500個）。查普哇松分布的數(shù)值表，得。由于得（不合要求）。 兩名籃球隊員輪流投籃，直到某人投中時為止，,，求每名隊員投籃次數(shù)的分布列。解 設“”表示前次取出白球，第次取出黑球，則的分布列為： 設某批電子管的合格品率為，不合格品率為，現(xiàn)在對該批電子管進行測試，設第次為首次測到合格品，求的分布列。解 根據(jù)題意知，其中常數(shù)待定。(3) . 解 設隨機變量的分布列為。 設隨機變量的分布列為：，求(1)。解 用表示“甲盒中尚余根火柴”， 用表示“乙盒中尚余根火柴”， 分別表示“第次在甲盒取”，“第次在乙盒取”， 表示取了次火柴，且第次是從甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。至少需要6門高射炮，同時發(fā)射一發(fā)炮彈，可保證99%的概率擊中飛機。解 (1)從5個人任選2人為型，共有種可能，在其余3人中任選一人為型，共有三種可能，在余下的2人中任選一人為型，共有2種可能，另一人為型，順此所求概率為： (2) (3) 設有兩門高射炮，求同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率是多少？又若有一架敵機入侵領空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。證明 （1）= （2） （3）= 試舉例說明由不能推出一定成立。當有一臺機床需要修理時，問這臺機床是車床的概率是多少？解 則 ， ，由貝時葉斯公式得 有朋友自遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、。解 用表示“母雞生個蛋”， 表示“母雞恰有個下一代”，則 某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手一人，一、二、三、求在一組內任選一名射手，該射手能通過選拔進入決賽的概率。解（1）設表示“所取產品中至少有一件是不合格品”， 表示“所取產品都是不合格品”，則 (2)設表示“所取產品中至少有一件合格品”， 表示“所取產品中有一件合格品，一件不合格品”。解 用分別表示男孩和女孩。要求。 對于任意的隨機事件、證明：證明 在某城市中共發(fā)行三種報紙：甲、乙、丙。 甲、乙兩人從裝有個白球與個黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到兩人中有一人取到白球時停止。所以[]（） 己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。(2) 能構成一個三角形的概率。設兩船?？坎次坏臅r間分別為1小時與兩小時，求有一艘船停靠泊位時必須等待一段時間的概率。 某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車到達，乘客到達汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3分鐘的概率。用表示“6根草恰好連成一個環(huán)”，這種連接，對頭而言仍有種連接法，而對尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。求放開手以后6根草恰好連成一個環(huán)的概率。(2)當該數(shù)的末位數(shù)是9之一時，其四次方的末位數(shù)是1，所以答案為(3)一個正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含個樣本點。事件“沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當于“從9層中任取7層，各有一位乘客離開電梯”。解 任意固定紅“車”的位置，黑“車”可處于個不同位置，當它處于和紅“車”同行或同列的個位置之一時正好相互“吃掉”。所以事件“所取三條線段能構成一個三角形”包含3個樣本點，于是。 有五條線段，長度分別為9。 在分別寫有1113的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個數(shù)字組成一個分數(shù)，求所得分數(shù)為既約分數(shù)的概率。 (3) 。 一個工人生產了個零件，以事件表示他生產的第個零件是合格品（）。(2)在什么條件下成立？(3)什么時候關系式是正確的？(4) 什么時候成立？解 (1)事件表示該是三年級男生，但不是運動員。(2)一個口袋中有2個白球、3個黑球、4個紅球，從中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得紅球。(1)10件產品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。(1) 敘述的意義。(4)當全系女生都在三年級并且三年級學生都是女生時`。 (2) 。(4)(5)(6) 證明 （1）—（4）顯然，（5）和（6）的證法分別類似于課文第10—12頁（）式和()式的證法。于是。所取三條線段能構成一個三角形，這三條線段必須是7或9或多或9。所以 在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求它們正好可以相互吃掉的概率。解 每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點總數(shù)為。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號碼中有數(shù)字8”的概率為多大？解 用表示“牌照號碼中有數(shù)字8”，顯然，所以 任取一個正數(shù)，求下列事件的概率：(1)該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1；(2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1；(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1；解 (1) 答案為。然后請另一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。取定一個頭，它可以與其它的5個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個之一相接，最后將剩下的兩個頭相接，故對頭而言有種接法，同樣對尾也有種接法，所以樣本點總數(shù)為。如果每一種放法都是等可能的，證明(1)某一個指定的盒子中恰好有個球的概率為，(2)恰好有個盒的概率為，(3)指定的個盒中正好有個球的概率為，解 略。 兩艘輪船都要?？客粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達。因此所求概率為 在線段上任取三點，求：(1) 位于之間的概率。分別用表示邊，二邊與平行線相交，則顯然。則事件“該點命中的中點”的概率等于零，但不是不可能事件。(2) .證明 (1) =(2) 由(1)和得第一個不等式，由概率的單調性和半可加性分別得第二、三個不等式。(1) ==30%(2) (3) ++=++=73%(4) (5) (6) 某班有個學生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結束后，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？解 用表示“第張考簽沒有被抽到”， 。則 ，…