【正文】 的一個(gè)容量為13的樣本：, , , , , , , , , , , , （1） 求的無(wú)偏估計(jì)；（2） 。16，Macatawa湖（位于密歇根湖的東側(cè)）分為東、西兩個(gè)區(qū)域。在面積相同的12塊內(nèi)墻上做試驗(yàn)，記錄干燥時(shí)間（以分計(jì)），得樣本均值分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分。（1） 求的無(wú)偏估計(jì)值。解：（1）根據(jù)已知結(jié)論，正態(tài)分布均值的最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量相同：。（1）。（2）根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的獨(dú)立同分布性質(zhì)，可以計(jì)算出，所以，是比更有效的無(wú)偏估計(jì)量。設(shè)有估計(jì)量， 。（2）①因?yàn)椋允堑臒o(wú)偏估計(jì)量。②設(shè)一星期中故障維修費(fèi)用為，求。解：根據(jù)題意，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)于總體和的似然函數(shù)分別為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 ， ，令對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別對(duì)和的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到，算出最大似然估計(jì)量分別為。解：根據(jù)題意，可寫(xiě)出似然函數(shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。（3）因?yàn)槠浞植悸蔀樗?，似然函?shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。（1） 總體的概率密度函數(shù)為，求參數(shù)的最大似然估計(jì)量和估計(jì)值。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。求的最大似然估計(jì)值。解：（1）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。參數(shù)未知。似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。4，（1）設(shè)總體未知，是來(lái)自的樣本，是相應(yīng)的樣本值。解：總體的數(shù)學(xué)期望為，令可得的矩估計(jì)量為。根據(jù)容量為9的樣本得到的樣本矩。（第5章習(xí)題解答完畢）第6章 參數(shù)估計(jì)1，設(shè)總體未知，是來(lái)自 的樣本。（1）問(wèn)，分別服從什么分布，并求。5。3，設(shè)總體，是來(lái)自的容量為3的樣本，求（1）；（2）。（第4章習(xí)題解答完畢）第5章 樣本及抽樣分布1,設(shè)總體X服從均值為1/2的指數(shù)分布，是來(lái)自總體的容量為4的樣本，求（1）的聯(lián)合概率密度；（2）；（3）；（4），；（5）。（2） 求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概率。（2）設(shè)要安裝部電話。則。由獨(dú)立同分布的中心極限定理可得 17，有400個(gè)數(shù)據(jù)相加，在相加之前，每個(gè)數(shù)據(jù)被舍入到最接近它的數(shù)，其末位為107。則。（2），可得 ，即 。所以。以記容器中飲料的重量。則，12，（1）設(shè)隨機(jī)變量，已知，求和；（2）相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求。11,設(shè)某地區(qū)女子的身高（以m計(jì)），男子身高（以m計(jì)）。（2）在（1）中若。（1） 根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布（本書(shū)101頁(yè)定理2）的性質(zhì)，立刻得到， ， （2） 因?yàn)?，所以 。（1）；（2）若要求，那么就有，即或者，從而，最后得到。7，一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命（以小時(shí)計(jì)）服從均值，均方差為的正態(tài)分布，若要求，允許最大為多少？解：根據(jù)題意。（1） （） （2），根據(jù)題意，所以。（2）因?yàn)椋?，即，從而。?章 正態(tài)分布1，（1）設(shè)，求，；（2）設(shè)，且，求。24，解：因?yàn)?，，所以，即，驗(yàn)證了X,Y不相關(guān)。 。（4）當(dāng)時(shí)，所以不存在。類似的，設(shè)，則經(jīng)過(guò)兩次積分以后可得到，在經(jīng)過(guò)兩次求導(dǎo)得到。18解， 。14，解：求出邊緣分布律如下YX01203/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/2810/2815/283/281， ，。（不符書(shū)上答案）11，解：R的概率密度函數(shù)為，所以。7，解：=1/4。所以=6。所以取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。它們的字母數(shù)分別為4，5，6，7，7。YX01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解：（1）的分布律為如，其余類似。其分布函數(shù)為，所以密度函數(shù)為。33，（1）一條繩子長(zhǎng)為，將它隨機(jī)地分為兩段，以表示短的一段的長(zhǎng)度，寫(xiě)出的概率密度。（3） 求概率。31，設(shè)隨機(jī)變量X,Y都在(0,1)上服從均勻分布，且X,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。30隨機(jī)變量X和Y的概率密度分別為，X,Y相互獨(dú)立。解：因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，所以它們的聯(lián)合概率密度為。27，設(shè)一圓的半徑X是隨機(jī)變量，其概率密度為求圓面積A的概率密度。（2）此時(shí)。（3）設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 。解：根據(jù)題意，的概率密度為所以根據(jù)獨(dú)立定，的聯(lián)合概率密度為。并求。21，設(shè)是二維隨機(jī)變量，的概率密度為且當(dāng)時(shí)的條件概率密度為，（1） 求聯(lián)合概率密度；（2） 求關(guān)于的邊緣概率密度；（3） 求在的條件下的條件概率密度。解：（1）根據(jù)題意，（X，Y）的概率密度必定是一常數(shù)，故由，得到。；。（3）。（2）；18，設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合概率密度為，（1） 求關(guān)于的邊緣概率密度；（2） 求條件概率密度，寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的條件概率密度；（3） 求條件概率。；。A，B均有兩個(gè)加油管。；（2）；。解：（1）；（2）根據(jù)題意，所以其分布律為（3） 。解：（1）；（2）；（3）。解：（1）根據(jù)，得到；（2）；（3）；（4）。（1）；（2）設(shè)在給定的一分鐘內(nèi)5個(gè)訊息員中沒(méi)有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示，則Y~ B(5, )，所以。（1）求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個(gè)訊息員未收到訊息的概率。6，（1）設(shè)一天內(nèi)到達(dá)某港口城市的油船的只數(shù)X~，求（2）已知隨機(jī)變量X~，且有，求?，F(xiàn)有一系統(tǒng)，它由相互獨(dú)立的元件組成，求這一系統(tǒng)的可靠性。問(wèn)X服從什么分布？寫(xiě)出分布律。設(shè)各閥門的工作相互獨(dú)立。則要求的概率為，根據(jù)Bayes公式可得又設(shè)“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)”記為事件，根據(jù)題意有，而且，所以；故，（第1章習(xí)題解答完畢）第2章 隨機(jī)變量及其分布1，設(shè)在某一人群中有40%的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機(jī)地選人來(lái)驗(yàn)血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以Y記進(jìn)行驗(yàn)血的次數(shù)，求Y的分布律。那么系統(tǒng)的可靠性為　　　　21，用一種檢驗(yàn)法檢測(cè)產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。解：根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗(yàn)血型4次，也就是說(shuō)最遲可以第4個(gè)人才驗(yàn)出是ARH+型血。（1）設(shè)恰有一人進(jìn)球的概率為，則 （由獨(dú)立性） （2）設(shè)恰有二人進(jìn)球的概率為，則 （由獨(dú)立性） （3）設(shè)至少有一人進(jìn)球的概率為，則。即表明A和B，B和C，C和A兩兩獨(dú)立。根據(jù)Bayes公式，所要求的概率為17，將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H”，“第二次得H”，“兩次得同一面”。16，在通訊網(wǎng)絡(luò)中裝有密碼鑰匙，設(shè)全部收到的訊息中有95%是可信的。解：設(shè)“一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為患有關(guān)節(jié)炎”記為事件，“一名被檢驗(yàn)者確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎”記為事件。13，一在線計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨機(jī)選擇的進(jìn)入訊號(hào)無(wú)誤差地被接受的概率。最后要求的概率為；或者。解：（1）根據(jù)題意可得；；（2）根據(jù)條件概率公式：；（3）；（4）；（5）。解：設(shè)“得到的兩只球中至少有一只是紅球”記為事件，“另一只也是紅球”記為事件。解：（1）由題意可得，所以， ，。至少有1只配對(duì)的放法當(dāng)然就有62=4種。若一只球裝入與球同號(hào)的盒子，稱為一個(gè)配對(duì)。解: （1）所求概率為；（2） 所求概率為；（3）所求概率為。（1）該數(shù)是奇數(shù)的可能個(gè)數(shù)為個(gè)，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為（2）該數(shù)大于330的可能個(gè)數(shù)為，所以該數(shù)大于330的概率為5，袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。解：，，3，在100，101，…，999這900個(gè)3位數(shù)中，任取一個(gè)3位數(shù)，求不包含數(shù)字1個(gè)概率。（3） 連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。（2） 連續(xù)投擲一顆骰子直至6個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。2，設(shè)是兩個(gè)事件，已知，求。解：僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)。（3）4只中沒(méi)有白球。7，將3只球（1~3號(hào)）隨機(jī)地放入3只盒子（1~3號(hào)）中，一只盒子裝一只球。解：根據(jù)題意，將3只球隨機(jī)地放入3只盒子的總的放法有3！=6種：123，132，213，231，312，321；沒(méi)有1只配對(duì)的放法有2種：312，231。連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。9，一只盒子裝有2只白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，已知得到的兩只球中至少有一只是紅球，求另一只也是紅球的概率。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。從中任意連抽6張，由獨(dú)立性，第一次必須從這11張中抽出2個(gè)g中的任意一張來(lái)，概率為2/11；第二次必須從剩余的10張中抽出2個(gè)i中的任意一張來(lái)，概率為2/10；類似地，可以得到6次抽取的概率。解：（1）根據(jù)題意，有40%的人兩種癥狀都沒(méi)有，所以該人兩種癥狀都沒(méi)有的概率為；（2）至少有一種癥狀的概率為；（3）已知該人有癥狀B，表明該人屬于由只有癥狀B的30%人群或者兩種癥狀都有的10%的人群，總的概率為30%+10%=40%，所以在已知該人有癥狀B的條件下該人有兩種癥狀的概率為。已知人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎，問(wèn)一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)，認(rèn)為他沒(méi)有關(guān)節(jié)炎，而他卻有關(guān)節(jié)炎的概率。則根據(jù)全概率公式有　，根據(jù)Bayes公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為。解：設(shè)“一訊息是由密碼鑰匙傳送的”記為事件，“一訊息是可信的”記為事件。所以有。解：設(shè)“A,B,C進(jìn)球”分別記為事件。求病人能得救的概率。1第20題543解：設(shè)“元件能夠正常工作”記為事件。（注：本題較難，靈活應(yīng)用全概率公式和Bayes公式）解：設(shè)“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”記為事件，“對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)行3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)”記為事件。以X表示當(dāng)信號(hào)發(fā)出時(shí)水自A流至B的通路條數(shù)，求X的分布律。則，類似有，AB213,綜上所述，可得分布律為 X0123,據(jù)信有20%的美國(guó)人沒(méi)有任何健康保險(xiǎn)，現(xiàn)任意抽查15個(gè)美國(guó)人，以X表示15個(gè)人中無(wú)任何健康保險(xiǎn)的人數(shù)（設(shè)各人是否有健康保險(xiǎn)相互獨(dú)立）。（1）（2）；（3）；（4）4，設(shè)有一由個(gè)元件組成的系統(tǒng)，記為，這一系統(tǒng)的運(yùn)行方式是當(dāng)且僅當(dāng)個(gè)元件中至少有個(gè)元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作。（設(shè)各產(chǎn)品是否為次品相互獨(dú)立）解：根據(jù)題意，次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(8000, )，所以（查表得）。7，一電話公司有5名訊息員，各人在t分鐘內(nèi)收