【正文】 . 證明：設(shè) x1， x2 是區(qū)間 上的任意實(shí)數(shù)，且 x1＜ x2，則 ∵ 0＜ x1＜ x2≤ 1 ∴ x1x2＜ 0， 0＜ x1x2＜ 1 ∵ 0＜ x1x2＜ 1 故 ，即 f(x1)f(x2)＞ 0 ∴ x1＜ x2 時(shí)有 f(x1)＞ f(x2) 上是減函數(shù) . 總結(jié)升華：可以用同樣的方法證明此函數(shù)在 上是增函數(shù)；在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)碰到這個(gè)函數(shù)，在此可以嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性大致給出函數(shù)的圖象 . 2. 判斷下列 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (1)y=x23|x|+2； (2) 解： (1)由圖象對(duì)稱(chēng)性，畫(huà)出草圖 瘋狂國(guó)際教育（內(nèi)部） 12 ∴ f(x)在 上遞減，在 上遞減，在 上遞增 . (2) ∴圖象為 ∴ f(x)在 上遞增 . 3. 已知函數(shù) f(x)在 (0， +∞ )上是減函數(shù)，比較 f(a2a+1)與 的大小 . 解： 又 f(x)在 (0， +∞ )上是減函數(shù)，則 . 2．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)） （ 1）偶函數(shù) 一般地，對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè) x，都有 f(－ x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函 數(shù)． （ 2）．奇函數(shù) 一般地，對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè) x，都有 f(－ x)=— f(x)，那么 f(x)就叫做奇函數(shù)． （ 3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 瘋狂國(guó)際教育（內(nèi)部） 13 ○ 1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ○ 2 確定 f(－ x)與 f(x)的關(guān)系； ○ 3 作出相應(yīng)結(jié)論：若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，則 f(x)是偶函數(shù)；若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)． 注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)則函數(shù)是非奇非偶函數(shù) .若對(duì)稱(chēng)， (1)再根據(jù)定義判定 。 (3)或借助函數(shù)的圖象判定 . ： (1) (2) (3)f(x)=x24|x|+3 (4)f(x)=|x+3||x3| (5) (6) (7) 思路點(diǎn)撥：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷 . 解： (1)∵ f(x)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此 f(x)為非奇非偶函數(shù)； (2)∵ x1≥ 0，∴ f(x)定義域 不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴ f(x)為非奇非偶函數(shù)； (3)對(duì)任意 x∈ R，都有 x∈ R，且 f(x)=x24|x|+3=f(x)，則 f(x)=x24|x|+3 為偶函數(shù) ； (4)∵ x∈ R， f(x)=|x+3||x3|=|x3||x+3|=f(x)，∴ f(x)為奇函數(shù)； (5) ，∴ f(x)為奇函數(shù)； (6)∵ x∈ R， f(x)=x|x|+x ∴ f(x)=(x)|x|+(x)=x|x|x=f(x)，∴ f(x)為奇函數(shù)； (7) ，∴ f(x)為奇函數(shù) . 2. 設(shè)定義在 [3， 3]上的偶函數(shù) f(x)在 [0， 3]上是單調(diào)遞增，當(dāng) f(a1)＜ f(a)時(shí)，求 a 的取值范圍 . 解：∵ f(a1)＜ f(a) ∴ f(|a1|)＜ f(|a|) 而 |a1|， |a|∈ [0， 3] 瘋狂國(guó)際教育（內(nèi)部） 14 . 函數(shù)的解析表達(dá)式 （ 1）函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域 . （ 2）求函數(shù)的解析式的主要方法有： 湊配法 待定系數(shù)法 換元法 消參法 1. 求函數(shù)的解析式 (1)若 f(2x1)=x2，求 f(x)； (2)若 f(x+1)=2x2+1，求 f(x). 思路點(diǎn)撥：求函數(shù)的表達(dá)式可由兩種途徑 . 解： (1)∵ f(2x1)=x2，∴令 t=2x1，則 ； (2)f(x+1)=2x2+1，由對(duì)應(yīng)法則特征可得： f(x)=2(x1)2+1 即： f(x)=2x24x+3. 舉一反三： 【變式 1】 (1) 已知 f(x+1)=x2+4x+2，求 f(x)； (2)已知： ，求 f[f(1)]. 解： (1)(法 1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)1 ∴ f(x)=x2+2x1； (法 2)令 x+1=t，∴ x=t1，∴ f(t)=(t1)2+4(t1)+2=t2+2t1 ∴ f(x)=x2+2x1； (法 3)設(shè) f(x)=ax2+bx+c 則 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c ∴ a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2 ； (2)∵ 1＜ 0，∴ f(1)=2 函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) )(xfy? 的零點(diǎn)就是方程 0)( ?xf 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)， aan n ? ，當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)，??? ????? )0( )0(|| aaaaaan n 2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： )1,0( * ???? nNnmaaa n mnm ， )1,0(11 * ?????? nNnmaaaa n mnmnm 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0， 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義 3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1) (2) (3) （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) )1,0( ??? aaay x 且 叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?R． 注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和 1． 一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?. 瘋狂國(guó)際教育（內(nèi)部） 16 a1 0a1 65432114 2 2 4 601 65432114 2 2 4 601 定義域 R 定義域 R 值域 y＞ 0 值域 y＞ 0 在 R 上單調(diào)遞增 在 R 上單調(diào)遞減 非奇非偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（ 0， 1） 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（ 0， 1） 注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出： （ 1）在 [a， b]上， )1a0a(a)x(f x ??? 且值域是 )]b(f),a(f[ 或 )]a(f),b(f[ ； （ 2）若 0x? ，則 1)x(f ? ； )x(f 取